工程數(shù)學(xué)-積分變換(第4版)

工程數(shù)學(xué)——積分變換(第4版)2023REPORTING積分變換基本概念與性質(zhì)傅里葉級數(shù)與傅里葉變換拉普拉斯變換及其性質(zhì)離散時間信號與系統(tǒng)分析積分變換在電路分析中應(yīng)用數(shù)值計算方法在積分變換中應(yīng)用目錄CATALOGUE2023PART01積分變換基本概念與性質(zhì)2023REPORTING積分變換定義及分類定義積分變換是通過積分運(yùn)算，將一個函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個函數(shù)的方法。分類根據(jù)變換核的不同，積分變換可分為傅里葉變換、拉普拉斯變換、梅林變換等。VS積分變換具有線性性質(zhì)，即對于任意常數(shù)a、b和函數(shù)f(x)、g(x)，有∫[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*∫f(x)dx+b*∫g(x)dx。疊加原理若f1(x)、f2(x)分別是輸入函數(shù)，F(xiàn)1(u)、F2(u)是對應(yīng)的輸出函數(shù)，則f1(x)+f2(x)的輸出函數(shù)為F1(u)+F2(u)。線性性質(zhì)線性性質(zhì)與疊加原理收斂性對于某些積分變換，如傅里葉變換和拉普拉斯變換，需要滿足一定的收斂條件才能保證變換的存在性和有效性。例如，傅里葉變換要求函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處趨于零或具有有限個間斷點(diǎn)。存在性條件不同的積分變換有不同的存在性條件。例如，拉普拉斯變換要求函數(shù)在實軸上的增長速度不能超過指數(shù)函數(shù)e^st(s為實數(shù))的增長速度。收斂性與存在性條件常見函數(shù)空間及其性質(zhì)在積分變換中，常見的函數(shù)空間包括連續(xù)函數(shù)空間、平方可積函數(shù)空間、絕對可積函數(shù)空間等。函數(shù)空間不同的函數(shù)空間具有不同的性質(zhì)。例如，平方可積函數(shù)空間中的函數(shù)具有有限的能量；絕對可積函數(shù)空間中的函數(shù)可以進(jìn)行傅里葉變換等。這些性質(zhì)對于理解和應(yīng)用積分變換具有重要意義。性質(zhì)PART02傅里葉級數(shù)與傅里葉變換2023REPORTING三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系在一定區(qū)間內(nèi)具有正交性，即不同頻率的三角函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的積分為零。這一性質(zhì)使得傅里葉級數(shù)展開成為可能。傅里葉系數(shù)求解利用三角函數(shù)系的正交性，可以通過求解函數(shù)與三角函數(shù)系的積分來得到傅里葉系數(shù)。這些系數(shù)決定了周期函數(shù)在傅里葉級數(shù)展開中的各項振幅和相位。收斂性與吉布斯現(xiàn)象傅里葉級數(shù)展開的收斂性取決于原函數(shù)的性質(zhì)。對于某些函數(shù)，傅里葉級數(shù)在間斷點(diǎn)附近會出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，稱為吉布斯現(xiàn)象。周期函數(shù)傅里葉級數(shù)展開非周期函數(shù)的傅里葉變換公式包括傅里葉正變換和傅里葉反變換。正變換將時域函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域函數(shù)，而反變換則將頻域函數(shù)轉(zhuǎn)換回時域函數(shù)。通過傅里葉變換，可以分析非周期函數(shù)的頻域特性，如頻譜、帶寬等。這些特性在信號處理和通信等領(lǐng)域具有重要意義。非周期函數(shù)傅里葉變換公式頻域特性傅里葉變換對123傅里葉變換是線性的，即多個函數(shù)的線性組合進(jìn)行傅里葉變換等于各函數(shù)分別進(jìn)行傅里葉變換后的線性組合。線性性質(zhì)函數(shù)在時域中的平移對應(yīng)于其頻域中的相移。這一性質(zhì)使得我們可以通過調(diào)整信號的相位來改變其在時域中的位置。時移性質(zhì)函數(shù)在頻域中的平移對應(yīng)于其時域中的調(diào)制。這一性質(zhì)在通信中用于實現(xiàn)信號的頻率搬移。頻移性質(zhì)傅里葉變換基本性質(zhì)卷積定理指出，兩個時域函數(shù)的卷積等于它們頻域函數(shù)的乘積，反之亦然。這一定理在信號處理和圖像處理等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。卷積定理卷積定理在信號濾波、圖像模糊處理等方面有重要應(yīng)用。例如，在圖像處理中，可以通過對圖像和濾波器進(jìn)行卷積來實現(xiàn)圖像的平滑或銳化效果。應(yīng)用舉例卷積定理及應(yīng)用舉例PART03拉普拉斯變換及其性質(zhì)2023REPORTING拉普拉斯變換定義$F(s)=int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$，其中$s$為復(fù)數(shù)，$f(t)$為原函數(shù)。收斂域確定拉普拉斯變換的收斂域是使得積分收斂的所有$s$的集合。通?？梢酝ㄟ^分析原函數(shù)的性質(zhì)，如增長性、周期性等，來確定收斂域。拉普拉斯變換定義及收斂域確定位移性質(zhì)若$f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$e^{at}f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s-a)$。線性性質(zhì)若$a$和$b$為常數(shù)，$f_1(t)$和$f_2(t)$的拉普拉斯變換分別為$F_1(s)$和$F_2(s)$，則$af_1(t)+bf_2(t)$的拉普拉斯變換為$aF_1(s)+bF_2(s)$。微分性質(zhì)若$f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$f'(t)$的拉普拉斯變換為$sF(s)-f(0^-)$。積分性質(zhì)若$f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$int_{0}^{t}f(tau)dtau$的拉普拉斯變換為$frac{F(s)}{s}$。拉普拉斯變換基本性質(zhì)查表法通過查閱已知的拉普拉斯變換對表，找到對應(yīng)的原函數(shù)。部分分式法將拉普拉斯變換的表達(dá)式化為部分分式的形式，然后分別求出每個部分分式對應(yīng)的原函數(shù)。冪級數(shù)法將拉普拉斯變換的表達(dá)式展開為冪級數(shù)形式，然后通過逐項積分求出原函數(shù)。拉普拉斯逆變換求解方法如$y'+y=f(t)$，通過拉普拉斯變換可轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解。如$y''+y=f(t)$，同樣可以通過拉普拉斯變換轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解。在求解過程中，需要注意初始條件的處理和方程的簡化。一階常微分方程二階常微分方程線性常微分方程求解舉例PART04離散時間信號與系統(tǒng)分析2023REPORTING用時間序列表示離散時間信號，即$x[n]$，其中$n$為整數(shù)。序列表示法圖形表示法頻域表示法通過繪制信號的波形圖或時域圖來表示離散時間信號。通過傅里葉變換將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域，用頻譜表示信號。030201離散時間信號表示方法描述離散時間系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)方程，一般為線性常系數(shù)差分方程。差分方程描述系統(tǒng)特性的函數(shù)，通常表示為$H(z)$，是$z$變換的結(jié)果。系統(tǒng)函數(shù)用狀態(tài)變量和狀態(tài)方程來描述系統(tǒng)的動態(tài)行為。狀態(tài)空間表示法離散時間系統(tǒng)描述方式對于離散時間信號$x[n]$，其Z變換定義為$X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]z^{-n}$，其中$z$為復(fù)數(shù)變量。Z變換定義Z變換的收斂域是使得級數(shù)$sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]z^{-n}|$收斂的所有$z$的集合。常用的判斷方法有比值法、根式法和積分法。收斂域判斷Z變換定義及收斂域判斷線性性質(zhì)若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z變換分別為$X_1(z)$和$X_2(z)$，則$ax_1[n]+bx_2[n]$的Z變換為$aX_1(z)+bX_2(z)$。若$x[n]$的Z變換為$X(z)$，則$x[n-k]$的Z變換為$z^{-k}X(z)$。若$x[n]$的Z變換為$X(z)$，則$x[n]e^{jomegan}$的Z變換為$X(ze^{jomega})$。若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z變換分別為$X_1(z)$和$X_2(z)$，則它們的卷積$y[n]=sum_{k=-infty}^{infty}x_1[k]x_2[n-k]$的Z變換為$Y(z)=X_1(z)X_2(z)$。通過Z變換可以求出離散時間信號的初值和終值。初值定理指出，當(dāng)$n=0$時，$x[0]=lim_{ztoinfty}X(z)$；終值定理指出，當(dāng)$ntoinfty$時，若$lim_{ntoinfty}x[n]$存在且有限，則$lim_{ntoinfty}x[n]=lim_{zto1}(z-1)X(z)$。時移性質(zhì)卷積性質(zhì)初值定理和終值定理頻移性質(zhì)Z變換基本性質(zhì)和定理PART05積分變換在電路分析中應(yīng)用2023REPORTING阻抗函數(shù)的定義與性質(zhì)阻抗函數(shù)是描述電路元件對電流阻礙作用的函數(shù)，具有實部和虛部，其實部表示電阻，虛部表示電抗。阻抗函數(shù)與頻率相關(guān)，反映了電路元件在不同頻率下的阻抗特性。阻抗函數(shù)的求解方法根據(jù)電路元件的伏安特性，可以建立阻抗函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。對于線性時不變電路元件，其阻抗函數(shù)可以通過拉普拉斯變換或傅里葉變換求解。具體方法包括部分分式展開、留數(shù)定理等。電路元件阻抗函數(shù)求解一階動態(tài)電路的特點(diǎn)一階動態(tài)電路是指包含一個儲能元件（如電感或電容）和一個電阻的電路。其暫態(tài)過程是指電路從一種穩(wěn)態(tài)過渡到另一種穩(wěn)態(tài)的過程。要點(diǎn)一要點(diǎn)二一階動態(tài)電路暫態(tài)過程分析方法對于一階動態(tài)電路，可以采用經(jīng)典法或拉普拉斯變換法進(jìn)行分析。經(jīng)典法通過列寫電路方程并求解得到暫態(tài)過程的解析解；拉普拉斯變換法則是將電路方程轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域方程，通過求解復(fù)頻域方程得到暫態(tài)過程的象函數(shù)，再通過反變換得到原時域的解析解。一階動態(tài)電路暫態(tài)過程分析二階動態(tài)電路的特點(diǎn)二階動態(tài)電路是指包含兩個儲能元件（如兩個電感或兩個電容）和一個電阻的電路。其暫態(tài)過程比一階動態(tài)電路更為復(fù)雜，具有振蕩和衰減等特性。二階動態(tài)電路暫態(tài)過程分析方法對于二階動態(tài)電路，同樣可以采用經(jīng)典法或拉普拉斯變換法進(jìn)行分析。經(jīng)典法需要列寫二階常系數(shù)線性微分方程并求解；拉普拉斯變換法則是將微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域方程進(jìn)行求解。在求解過程中，需要注意二階電路的固有頻率、阻尼比等參數(shù)對暫態(tài)過程的影響。二階動態(tài)電路暫態(tài)過程分析高階動態(tài)電路的特點(diǎn)高階動態(tài)電路是指包含三個或三個以上儲能元件的電路。其暫態(tài)過程更為復(fù)雜，具有多個振蕩頻率和衰減時間常數(shù)等特性。高階動態(tài)電路暫態(tài)過程分析方法對于高階動態(tài)電路，由于其復(fù)雜性，一般采用數(shù)值計算方法進(jìn)行分析，如龍格-庫塔法、歐拉法等。這些方法通過迭代計算逐步逼近真實解，可以得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。同時，也可以采用近似方法進(jìn)行簡化分析，如主導(dǎo)極點(diǎn)法、帕德近似法等。這些方法可以在一定程度上降低計算復(fù)雜度，但需要注意其適用范圍和精度要求。高階動態(tài)電路暫態(tài)過程分析PART06數(shù)值計算方法在積分變換中應(yīng)用2023REPORTING將積分區(qū)間劃分為若干小區(qū)間，每個小區(qū)間上的函數(shù)值用矩形面積近似表示。矩形法將積分區(qū)間劃分為若干小區(qū)間，每個小區(qū)間上的函數(shù)值用梯形面積近似表示。梯形法在梯形法的基礎(chǔ)上，采用拋物線對函數(shù)進(jìn)行插值，得到更精確的近似值。辛普森法數(shù)值積分方法簡介利用傅里葉變換的對稱性和周期性，將原序列分解為多個子序列，分別進(jìn)行傅里葉變換，再合并結(jié)果。算法原理將原序列按奇偶性分解為兩個子序列，對子序列進(jìn)行傅里葉變換，利用旋轉(zhuǎn)因子合并結(jié)果。實現(xiàn)步驟降低了計算復(fù)雜度，提高了計算效率。優(yōu)點(diǎn)010203快速傅里葉變換算法原理及實現(xiàn)定義將時間域