北師大版初中數學八年級下冊第一單元《三角形的證明》單元測試卷（含答案解析）

北師大版初中數學八年級下冊第一單元《三角形的證明》單元測

試卷（含答案解析）

考試范圍：第一單元考試時間：120分鐘總分：120分

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.△ABC的三邊長a,b,c滿足a2+b2+c2-2a-2b=2c-3,貝IJAABC為.（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

2.下列命題的逆命題不正確的是（）

A.若。2=爐，貝i[a=bB.兩直線平行，內錯角相等

C.等腰三角形的兩個底角相等D.對頂角相等

3.如圖，平面直角坐標系中，點B在第一象限，點4在x軸的正半軸上，AAOB=AB=30°,

OA=2,將△408繞點。逆時針旋轉90。，點B的對應點用的坐標

是（）

A.(—■\/3,3)

B.(-3,73)

C.(-7^,2+V-3)

D.(—1,2+V3)

4.如圖，△ABC中，ABAC=90°,AD1BC,/ABC的平分線BE交AC于點F,4G平分N04C.

給出下歹lj結論：①NBA。=";②乙4EF=WE;③"BC="；④AG1EF,正確結論

有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如圖，在A/1BC中，4。是BC邊上的高，且乙4cB=NB4D,4E平分NC4D,交BC于點E,

過點E作EF//AC,分別交48、4D于點F、G.則下歹（）結論：①NBAC=90°:@^AEF=4BEF：

③NB4E=NBE4；④NB=2乙4EF,其中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

6.下列說法中，正確的有（）

①都含有70。的兩個直角三角形一定全等；

②都含有100。的兩個等腰三角形一定全等；

③底邊相等的兩個等腰三角形一定全等；

④邊長都為10cm的兩個等邊三角形一定全等；

⑤如果兩個等腰三角形的腰長相等，且一腰上的高與另--腰的夾角也恰好相等，那么這兩個

等腰三角形全等.

A.0個B.1個C.2個D.3個

7.如圖，點。是AABC邊4B,AC垂直平分線的交點，點P是〃BC,N4CB平分線的交點.設

Z.BOC=x,=y，貝燈與久的數量關系式是.（）

A.y=\x+90°B.y=-^x+180°C.y=D.無法確定

J4J2J2

8.如圖，在△ABC中，AB=AC=3,乙4=120。，。“垂直平分AB,垂足為點M,交BC于

點D,EN垂直平分4C,垂足為點N,交BC于點E,則五邊形AMDEN的周長為（）

M

A.3+0B.3+|qC.3+2>/~3D.30

9.如圖，RtsABC^,乙4c8=90。，NA=30。，分別以點4,C為

圓心，大于;AC長為半徑作弧，兩弧交于點D,E,以C為圓心，4c長

為半徑作弧，與直線DE交于點F,CF與48交于點G,若AB=4,則CG

的長為（）

A.1

B.2

C.y/~l

D.2V-3

10.如圖，在△ABC中，乙4cB=90。，點。為△力BC的三條角平分線的交點，0D1BC,0E1

AC,0F14B,點￡）,E,F是垂足，且48=10,BC=8,則點。到三邊AB,4C和BC的距

離分別是（

A.2,2,2C.4,4,4D.2,3,5

11.如圖，已知乙40B=30°,點P是4208平分線上一點，CP〃0B,交。4于點C,PD10B,

垂足為點D,且PC=4,則PD等于.

A.1B.2C.4D.8

12.如圖，點P是410B平分線0C上一點，PD10B,垂足為點D.若PD=2,貝U點P至U邊。4的

距離為.（）

A.2B.3C.y/~3D.4

第n卷（非選擇題）

二、填空題（本大題共4小題，共12.0分）

13.如圖，己知乙4。8=30°,點P在邊。力上，點M,N在邊08上，且PM=PN=10,MN=12,

則0P等于.

14.如圖，已知BEJ.AD,CFLAD,垂足分別為點E,F,給出下列條件：①AB=DC,

乙B=ZC;（2）AB=DC,AB//CD-,③AB=DC,BE=CF;@AB=DF,BE=CF.從中選擇

一組，可以判定Rt△力BEm的是.，（填序號）

CD

15.如圖，在AABC中，AB的垂直平分線分別交AB,BC于點M,P,AC的垂直平分線分別

交AC,BC于點N,Q,Z.BAC=110",則4P4Q=.

16.如圖，在4ABC中，NACB=90°,N4BC的平分線BO交AC于點。,

已知力C=3,4D=2,則點。到4B邊的距離為

三、解答題(本大題共9小題，共72.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題8.0分)

如圖，4城氣象臺測得臺風中心在4城正西方向320km的B處，以每小時40kni的速度向北偏東

60。的BF方向移動，距離臺風中心200km的范圍內是受臺風影響的區(qū)域.

(1)4城是否受到這次臺風的影響？為什

么？

(2)若4城受到這次臺風影響，那么4城遭受這次臺風影響有多長時

間？

18.(本小題8.0分)

如圖，在AABC中，AB=AC,CD是乙4cB的平分線，OE〃BC,交4c于點E.

(1)求證：DE=CE.

(2)若NCDE=35。，求乙4的度數.

19.(本小題8.0分)

如圖，在等腰直角三角形4CB中，44cB=90。，CA=CB.

操作：如圖①，過點4任作一條直線(不經過點C和點B)交BC所在的直線于點D,過點B作BF1

力。交4。于點F,交4c所在的直線于點E,連接。E.

圖①圖②圖③

(1)猜想△CDE的形狀.

(2)請利用圖②，圖③作與上述位置不同的直線，然后按上述方法操作，畫出相應的圖形.

(3)在經歷(2)之后，若你認為(1)中的結論是成立的，請利用圖②說明理曲若你認為不成立，

請利用其中一圖說明理由.

20.(本小題8.0分)

如圖，乙4=NB=90。，E是4B上的一點，S.AD=BE,Z1=z2.

求證：Rt△ADE=Rt△BEC.

21.(本小題8.0分)

如圖，在△ABC中，直線EF是邊AC的垂直平分線，分別交AB、4;于點E、F.(其中BC>CF,

圖①：ZC=90°,圖②：NC小于90。)

要求：

(1)用尺規(guī)分別在直線EF上找一點D,使得4ACC=2乙BDC.

(2)保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明.

圖①

22.(本小題8.0分)

如圖，在△4BC中，AB=AC,Z.BAC=120°,AB的垂直平分線交BC于點D,垂足為點E.

⑴求NB4D的度數；

(2)若B￡>=2cm,試求CD的長度.

23.(本小題8.0分)

如圖，在△ABC中，點C在的垂直平分線上，連接BC,作CE14B于點E,DF_LBC交BC的

延長線于點F,且CE=DF.

(1)求證：AB=AC；

(2)如果乙48D=102°,求乙4的度數.

A

24.（本小題8.0分）

已知：如圖，在△4BC中，4c=90。，4。是△ABC的角平分線，CD=|,BD=|,求4c的

長.

25.（本小題8.0分）

感知：如圖1,4。平分4B4C,Z_B+4C=180。，/.B=90°,易知I：DB=DC.

探究：（1）如圖2,4。平分4BAC,￡.ABD+/.ACD=180°,/.ABD<90°,求證：DB=DC；

（2）如圖3,40平分NBAC,BD=DC,ACAB,求證：AABD+^ACD=180°.

【變式】如圖，/-CAB=40。，點。為NC4B的平分線與線段BC的垂直平分線的交點，連接CD,

試求WCB的度數.

a

D

■B

答案和解析

1.【答案】D

【解析】略

2.【答案】D

【解析】略

3.【答案】A

■■■4A'B'H=30°,

A'H=^A'B'=1,B'H=V~3,

???OH=3,

夕(-C3),

故選A.

如圖，過點8'作B'Hly軸于”，利用含30。角的直角三角形求出4H,B'H即可.

本題考查坐標與圖形變化-旋轉，含30。角的直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助

線，構造直角三角形解決問題.

4.【答案】C

【解析】解：???NBAC=90。，AD1BC,

ZC+/.ABC=90°,

乙BAD+乙4BC=90°,

/.BAD=ZC,故①正確；

vBE是4aBe的平分線，

Z.ABE-Z.CBE,

vZ.ABE+Z.AEF=90°,

乙CBE+乙BFD=90°,

???Z.AEF=/.BFD,

又N4FE=NBFD（對頂角相等），

Z.AEF=Z.AFE,故②正確；

Z.ABE="BE,

只有“=30。時4EBC=",故③錯誤；

Z.AEF=Z.AFE,

AE=AF,

???4G平分ZJMC,

.-.AG1.EF,故④正確.

綜上所述，正確的結論是①②④.

故選：C.

根據同角的余角相等求出4BA。=乙C,再根據等角的余角相等和對頂角相等可以求出Z4EF=

乙4FE；根據等腰三角形三線合一的性質求出4G1EF.

本題考查了直角三角形的性質，等腰三角形的判定與性質，熟記各性質并準確識圖理清圖中各角

度之間的關系是解題的關鍵.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查三角形內角和定理，三角形的外角的性質，平行線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運

用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.①正確.證明/34。+乙。4。=90。即可.

②錯誤.如果￡71=EC,則結論成立，無法判斷區(qū)4=EC,故錯誤.

③正確.利用三角形的外角的性質，角的和差定義即可解決問題.

④正確.說明4B=即可解決問題.

【解答】

解：-ADA.BC,

???/.ADC=90°,

???ZC+/-CAD=90°,

v乙BAD=ZC,

???乙BAD+乙CAD=90°,

ZCAB=90°,故①正確，

Z-BAE=Z.BAD+Z.DAE,Z-DAE=4CAE,4BAD=Z-C,

???Z.BAE=ZC+Z-CAE=/.BEA,故③正確,

???EFIIAC,

Z-AEF=Z.CAE,

■:Z-CAD=2/-CAE,

??Z-CAD=2/-AEF9

???Z.CAD+乙BAD=90°,乙BAD+=90°,

AB=Z.CAD=2AAEF,故④正確，

無法判定E4=EC,故②錯誤.

故選：B.

6.【答案】C

【解析】解：①都含有70。的兩個直角三角形不一定相等，因為沒有對應邊相等，所以①錯誤；

②都含有100。的兩個等腰三角形不一定相等，因為沒有對應邊相等，所以②錯誤；

③底邊相等的兩個等腰三角形不一定相等，因為沒有對應角相等，所以③錯誤；

④邊長都為10cm的兩個等邊三角形一定全等，因為根據SSS或44s或S4S或4S4可以判定兩個三角

形全等，所以④正確；

⑤如果兩個等腰三角形的腰長相等，且一腰上的高與另--腰的夾角也恰好相等，那么這兩個等腰

三角形全等，因為根據條件可以得出兩個等腰三角形的底角，頂角對應相等，再根據SAS或A4s或

AS4可以判定兩個三角形全等，所以⑤正確；

所以正確的有④⑤這2個.

故選：C.

根據全等三角形的判定定理求解判斷即可得解.

此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵.

7.【答案】A

【解析】略

8.【答案】C

?：AB=AC=3,Z.A=120°,

NB=NC=30°,BF=CF=

???DM垂直平分AB,EN垂直平分AC,

13I3

???Z.BMD=Z.CNE=90°,BM=AM=^AB=|,CN=AN=^AC=

DM=篝=芋，NE=邕=?，BD=2DM=C，CE=2NE=C，

在RtMBF中，ZB=30。，

AF=^AB=|,BF=GAF=審，

???BC=2BF=3/3，

???DE=BC-BD-CE=30-O-O=V-3>

???五邊形4M0EN的周長=AM+MD+DE+EN+AN

=3+蟲+)+6+3

22v22

=3+2<3，

故選：c.

過點4作AFLBC,垂足為F,先利用等腰三角形的性質可得NB=NC=30。，BF=CF=；BC,

1q

再利用線段垂直平分線的性質可得NBMO=/CNE=90。，BM=AM=^AB=|,CN=AN=

^AC=l，從而利用含30度角的直角三角形的性質可得DM=￥，NE==，BD=C，CE=C，

44ZZ

然后在Rt△力BF中，利用含30度角的直角三角形的性質可得4F=看BF=號,從而可得BC=

4Z

2BF=3/2,進而可得DE=<3.最后利用五邊形的周長公式進行計算即可解答.

本題考查了含30度角的直角三角形，線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，根據題目的已

知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵.

9.【答案】C

【解析】解：在RtAHBC中，Z4CB=90°,44=30。，AB=4,

■■■BC==2,AC==2仁，

連接4F,由作圖知，DE垂直平分4C,

???CF=AF,

CF=CA,

AC=CF=AF,

：.^ACF=60。，

???乙BCG=30°,

???4B=60°,

???LCGB=90°,

???CG1AB,

■■S^ABC=\AC-BC=\ABCG,

.-^BC_2_x2_「

"CrGr~AB~4-V3

故選：C.

根據直角三角形的性質得到BC==2,AC=AB=2y/~3,連接力F，由作圖知，DE垂直

乙z

平分AC,根據線段垂直平分線的性質得到CF=4F,根據等邊三角形的性質得到NACF=60。，推

出CGLAB,根據三角形的面積公式即可得到結論.

本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定和性質，正確地作出輔

助線是解題的關鍵.

10.【答案】A

【解析】略

II.【答案】B

【解析】略

12.【答案】A

【解析】略

13.【答案】略

【解析】略

14.【答案】略

【解析】略

15.【答案】略

【解析】略

16.【答案】1

【解析】

【分析】/

本題主要考查角平分線的性質，掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是/

解題的關鍵.A--------D—C

過。作。E148于點E,由角平分線的性質可得OE=OC,由條件可求得CO的長，則可求得答案.

【解答】

解：

如圖，過。作DE于點E,

???乙ACB=90°,

???DC1BC,

???平分44BC,

.??DE=DC,

vAC=3,AD=2,

???CO=3—2=1,

??.DE=1,

故答案為：1.

17.【答案】解：(1)由A點向BF作垂線，垂足為C,

在RtzMBC中，乙48c=30。，AB=320km,則4c=160km,

因為160<200,所以4城要受臺風影響；

(2)在BF上取點D,04=200千米，則還有一點G,有4G=200千米.

因為。A=AG,所以AADG是等腰三角形，

因為ACLBF,所以4c是DG的垂直平分線，CD=GC,

在RtA/WC中，ZM=200千米，AC=160千米，

由勾股定理得，CD=120千米，

則。G=2DC=240千米，

遭受臺風影響的時間是：￡=240+40=6(小時).

【解析】此題主要考查了勾股定理的應用，含30。角的直角三角形，正確運用勾股定理是解題關鍵.

(1)根據垂線段最短，故應由4點向BF作垂線，垂足為C,若4C>200,貝必城不受影響，否則受

影響；

(2)點4到直線BF的長為200千米的點有兩點，分別設為D、G,則AADG是等腰三角形，由于4C，

BF,則C是DG的中點，在RtzMDC中，解出CD的長，則可求DG長，在DG長的范圍內都是受臺風

影響，再根據速度與距離的關系則可求時間.

18.【答案】(1)證明：?；C。是N4C8的平分線，

???乙BCD=Z.ECD.

???DE“BC,

???乙EDC=乙BCD,A

B'e

???乙EDC=乙ECD,

???DE=CE.

(2)解：1Z-ECD=乙EDC=35°,

???Z,ACB=2Z,ECD=70°.

：

?AB=ACf

???AABC=乙ACB=70°,

???AA=180°-70°-70°=40°.

【解析】本題考查了等腰三角形的判定與性質、平行線的性質以及角平分線，解題的關鍵是：(1)

根據平行線的性質結合角平分線的定義找出NEDC=NEC。；(2)利用角平分線的定義結合等腰三

角形的性質求出ZACB=乙4BC=70°.

(1)根據角平分線的定義可得出NBCO=NECD,由DE〃BC可得出NEDC=NBCD,進而可得出

乙EDC=4ECD,再利用等角對等邊即可證出OE=CE；

(2)由(1)可得出NECO=4EDC=35。，進而可得出乙4cB=2/EC。=70。，再根據等腰三角形的

性質結合三角形內角和定理即可求出44的度數.

19.【答案】略

【解析】略

20.【答案】證明：???41=42,

:.DE=CE.

-AD//BC,=90°,

???(B=90°.

???△4DE和AEBC是直角三角形，l^AD=BE.

???Rt△ADE=Rt△BECQHL)

【解析】根據已知條件，利用直角三角形的特殊判定方法可以證明題目結論.

本題考查了直角三角形全等的判定及性質：主要利用了直角三角形全等的判定方法HL,也利用了

等腰三角形的性質：等角對等邊，做題時要綜合利用這些知識.

21.【答案】解：(1)如下圖：點。即為所求;

(2)圖①中：以B為圓心，BC長為半徑作弧，與EF的交點即為所求；

圖②中：以C為圓心，CF為半徑作圓，再過B作圓的切線，與BF的交點即為。點.

【解析】(1)圖①根據線段的垂直平分線的性質和等邊對等角作圖；

圖②根據線段的垂直平分線的性質和圓的切線長定理作圖；

(2)根據(1)中的作法進行說明.

本題考查了復雜作圖，掌握線段的垂直平分線的性質和切線長定理是解題的關鍵.

22.【答案】解：(1)???AB=AC,ABAC=120°,

???乙B=zC=30°,

vDE是48的垂直平分線，

???Z.BAD=CB=30°；

(2)v乙BAC=120°,4BAD=30°,BD=AD=2cm,

???Z,CAD=90°,又4C=30°,

ACD=2AD=4cm.

【解析】(1)根據三角形內角和定理和等腰三角形的性質求出4B=NC=30。，根據垂直平分線的

性質解答即可；

(2)根據直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一半計算.

本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等

是解題的關鍵.

23.【答案】(1)證明：???CEJ.AB,DFLBC,

8。七和4CCF均是直角三角形，

在RtABCE和Rt△DC尸中，

(BC=CD

ICE=DF9

???Rt△BCE=Rt△DCF(HL),

???Z-ABC=乙DCF,

vZ-DCF=4ACB,

:.Z.ABC=乙ACB,

???AB=AC；

(2)解：???CD=BC,

:.Z-CBD=Z-CDB,

vZ-ACB=Z.CBD+Z-CDB,

???Z,ACB=2(CBD,

vZ.ABC=乙ACB,

???Z,ABC=2乙CBD,

v乙ABD=Z.ABC+乙CBD=3/-CBD=102°,

???乙CBD=34°,

???2LABC=2乙CBD=68°,

???44=180。-24/8。=44.

【解析】(1)先由”L判定RtZiBCE三RtZkCDF,得到乙/BC=然后由對頂角相等可得：

乙DCF=LACB,進而可得乙4BC=44CB,然后由等角對等邊，可得AB=4C；

(2)由CD=BC,可得"8。=乙CDB,然后由三角形的外角的性質可得：乙4cB=乙CBD+乙CDB=

2Z.CBD,由乙4BC=乙4CB,進而可得：乙ABC二2乙CBD,然后由乙4BD=乙4BC+4CBD=

3ZCBD=102°,進而可求4CBO的度數及L4BC的度數，然后由三角形的內角和定理即可求的

度數.

此題考查了直角三角形全等的判定與性質，及等腰三角形判定與性質，解題的關鍵是：熟記三角

形全等的判定與性質.

24.【答案】解：作DE14B于E,如圖所示:

3

???DE=CD=

-AD=ADfCD=DE,

:.Rt△ADC=Rt△ADE,

:.AC=AE,

在Rt△BDE中根據勾股定理得：

BE=y/BD2-DE2=J(|)2-(|)2=2>

設4C=x,則AB=x+2,

vCDBD=I，

A5C=|+|=4,

V71C2+BC2=/1B2,

22

A%+4=(x+2產

解得％=3,

答：力C的長為3.

【解析】作DEJ_48于凡根據角平分線的性質求出DE,根據勾股定理求出BE,根據勾股定理列

出方程，解方程即可.

本題主要考查的是角平分線的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌

握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

25.【答案】解：（1）如圖，DELAB于E,DFLAC^F,

???￡M平分NB/C,DELABfDFLAC,

???DE=DF,

???乙B+/LACD=180°,乙ACD+Z-FCD=180°,

:.乙B=Z-FCD,

在和△DEB中，