初中數(shù)學(xué)九年級上冊 第22章 相似形（通用）（全國一等獎）

第22章相似形（通用）例題（課本P88例1）一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高線AD=60cm，要把該鐵皮加工成矩形零件，使矩形的兩邊之比為2:1，且矩形長的一邊位于BC邊上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB、AC上，求這個矩形零件的邊長.

高線AD與PQ相交于點(diǎn)E.PQ//BC=>△APQ∽△ABC

解得：x=24，2x=48.答：這個矩形零件長為48cm和24cm.=>解：設(shè)加工成的矩形PSRQ較短邊為PS=xcm,則邊SR的長為2xcm,點(diǎn)P、Q分在AB、AC上，則分析：本題可根據(jù)三角形平行相似，然后再利用相似三角形性質(zhì)得出比例關(guān)系，從而列出方程來求解．拓展1：當(dāng)AE為多少時？矩形PSRQ的面積最大，最大面積為多少？解：設(shè)AE為xcm，矩形PSRQ的面積為Scm2

∵PQ//BC

=>△APQ∽△ABC=>即PQ=x∴S=PQ·ED=x（60-x）=-x2+80x∴S=-（x-30）2+1200∵-＜0∴S有最大值

,當(dāng)x=30(在0＜x＜60范圍內(nèi)）時，S最大值=1200即當(dāng)AE為30cm時，矩形PSRQ的面積最大，最大面積為1200cm2

(0＜x＜80)x:60=PQ:80分析：本題仍可利用例題解答方法,根據(jù)相似三角形形性質(zhì)得出對應(yīng)的比例方程，從而將矩形的長和寬用x的代數(shù)式表示，然后再根據(jù)矩形的面積公式把該矩形的面積用關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式表示，最后再用二次函數(shù)的最值求解拓展2：如圖，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB、AC上，當(dāng)矩形PQMN與△ABC的面積之比為3∶8時，求矩形PQMN的周長.解：由拓展1可知:矩形面積S=-x2+120x（其中x是AE的長），S△ABC=BC·AD=×120×80=4800

∴得：x2-80x+120=0∴（x-20）（x-60）=0∴x1=20，x2=60當(dāng)x1=20時，即AE=20，ED=PQ=80-20=60,又由相似三角形性質(zhì)可知PN=1.5x=30∴矩形PQMN周長為=2（PQ+PN）=180（mm）分析：可利用上述解法，仍設(shè)AE為xmm而得出矩形面積為S=-x2+120x.然后再利用已知條件進(jìn)行求解拓展3：若設(shè)此題圖中BC=a,高AD=b,正方形PSRQ邊為,求證：分析：本題結(jié)論可演變?yōu)楦鶕?jù)這種形式容易聯(lián)想到面積公式，因此我們不妨用等面積法試證.證明：連接DP、DQ∵SΔABC=SΔBPD＋SΔDQC＋S四邊形ＡＰＤＱ∵正方形PSRQ∴PS＝QR∵，∴∴∴答：矩形PQMN的周長為180mm或220mm。∴矩形PQMN的周長為2（PQ+PN）=220（mm）當(dāng)x=60時