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公式及方法大全
待定系數(shù)法(因式分解)
待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法,應(yīng)用很廣
泛,這里介紹它在酶分解中的應(yīng)用.
在因式分解時(shí),一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析,可以斷定它能分
解成某幾個(gè)因式,但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定,這
時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù).由于該多項(xiàng)式等于這
幾個(gè)因式的乘積,根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì),兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)
應(yīng)該相等,或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值,列出關(guān)于
待定系數(shù)的方程(或方程組),解出待定字母系數(shù)的值,這種
因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.
常用的羈纏公式:
例1分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3.
分析由于
(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),
若原式可以分解因式,那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是
x+2y+m和x+y+n的形式,應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和
n,使問題得到解決.
解設(shè)
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,
比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù),則有
解之得m=3,n=l.所以
原式二(x+2y+3)(x+y+l).
說明本題也可用雙十字相乘法,請(qǐng)同學(xué)們自己解一下.
例2分解因式:x4-2x3-27x2-44x+7.
分析本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式,根據(jù)前面講過
的求根法,若原式有有理根,則只可能是±1,±7(7的約數(shù)),
經(jīng)檢驗(yàn),它們都不是原式的根,所以,在有理數(shù)集內(nèi),原式
沒有一次因式.如果原式能分解,只能分解為
(x2+ax+b)(x2+cx+d)的開鄉(xiāng)式.
解設(shè)
原式:(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,
所以有
由bd=7,先考慮b=l,d=7有
所以
原式:(x2-7x+l)(x2+5x+7).
說明由于因式分解的唯一性,所以對(duì)b=-l,d=-7等
可以不加以考慮.本題如果b=l,d=7代入方程組后,無法
確定a,c的值,就必須將bd=7的其他解代入方程組,直
到求出待定系數(shù)為止.
本題沒有一次因式,因而無法運(yùn)用求根法分解因式.但
利用待定系數(shù)法,使我們找到了二次因式.由此可見,待定
系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.
求根法(因式分解)
我們把形如anxn+an-lxn-l+...+alx+aO(n為非負(fù)整
數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式,并用f(x),g(x),…
等記號(hào)表示,如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,...,
當(dāng)x=a時(shí),多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式
f(x)f(l)=12-3x
nn1
我們把形如anx+an-ix-+...+aix+ao(n為非負(fù)整數(shù))的
代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式,并用f(x),g(x),…等記號(hào)
表示,如
f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,...,
當(dāng)x二a時(shí),多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多
項(xiàng)式f(x)
f(l)=l2-3xl+2=0;
f(-2)=(-2)2-3x(-2)+2=12.
若f(a)=O,則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.
定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根,即
f(a)=O成立,則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a.
根據(jù)因式定理,找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵
是求多項(xiàng)式f(x)的根.對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x),要求出它的根
是沒有一般方法的,然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的荽數(shù)都是整數(shù)時(shí),
即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí),經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理
根.
定理2
的根,則必有p是切的約數(shù),q是加的約數(shù).特別地,
當(dāng)時(shí),整系數(shù)多項(xiàng)式的整數(shù)根均為的約數(shù).
a0=lf(x)an
我們根據(jù)上述定理,用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一
次因式,從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.
例2分解因式:x3-4x2+6x-4.
分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式,原式若有整數(shù)根,
必是-4的約數(shù),逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù):±1,±2,±4,只有
f(2)=23-4x22+6x2-4=0,
即x=2是原式的一個(gè)根,所以根據(jù)定理1,原式必有因
式x-2.
解法1用分組分解法,使每組都有因式(x-2).
原式:(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2).
解法2用多項(xiàng)式除法,將原式除以(x-2),
所以
原式:(x-2)(x2-2x+2).
說明在上述解法中,特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根
一定是-4的約數(shù),反之不成立,即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)
式的根.因此,必須對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證.
例3分解因式:9x4-3x3+7x2-3x-2.
分析因?yàn)?的約數(shù)有±1,±3,±9;-2的約數(shù)有±1,
為:
所以,原式有因式9x2-3x-2.
解9x4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
=(9x2-3x-2)(x2+l)
=(3x+l)(3x-2)(x2+l)
說明若整系數(shù)多項(xiàng)式有縫根,可將所得出的含有分
數(shù)的因式化為整系數(shù)因式,如上題中的因式
可以化為9x2-3x-2,這樣可以簡(jiǎn)化分解過程.
總之,對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x),如果能找到一個(gè)一次因
式(x-a),那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)
低一次的一元多項(xiàng)式,這樣,我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分
解了.
雙十字相乘法(因式分解)
分解二次三項(xiàng)式時(shí),我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二
元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十
字相乘法分解因式.例如,分解因式
2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降幕排列,并把
y當(dāng)作常數(shù),于是上式可變形為
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可
分解二次三項(xiàng)式時(shí),我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二
元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十
字相乘法分解因式.
例如,分解因式2x2-7xy_22y2-5x+35y_3.我們彳等上式
按x降幕排列,并把v當(dāng)作常數(shù),于是上式可變形為
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),
可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.
對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言,它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式,也可以用
十字相乘法,分解為
即
-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+l).
再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解
所以
原式二[x+(2y-3)][2x+(-lly+l)]
=(x+2y-3)(2x-lly+l).
上述因式分解的過程,實(shí)施了兩次十字相乘法.如果把
這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起,可得到下圖:
它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式:
(x+2y)(2x-lly)=2x2-7xy-22y2;
(x-3)(2x+l)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.
這就是所謂的雙十字相乘法.
用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)
行因式分解的步驟是:
Q)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個(gè)十字相
乘圖(有兩列);
(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上要求第二、
第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey,第一、第
三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.
例1分解因式:
(l)x2-3xy-10y2+x+9y-2;
(2)x2-y2+5x+3y+4;
(3)xy+y2+x-y-2;
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.
解Q)
原式:(x-5y+2)(x+2y-l).
(2)
原式二(x+y+l)(x-y+4).
(3)原式中缺x2項(xiàng),可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來分解.
原式:(y+l)(x+y-2).
(4)
原式二(2x-3y+z)(3x+y-2z).
說明(4)中有三個(gè)字母,解法仍與前面的類似.
筆算開平方
對(duì)于一個(gè)數(shù)的開方,可以不用計(jì)算機(jī),也不用查表,直
接筆算出來,下面通過一個(gè)例子來說明如何筆算開平方,對(duì)
于其它數(shù)只需模仿即可
例求316.4841的平方根.
第一步,先將被開方的數(shù),從小數(shù)點(diǎn)位置向左右每隔兩位用逗
號(hào),分段,如把數(shù)316.4841分段成3,16.48,41.
第二步,找出第一段數(shù)字的初商,使初商的平方不超過第一
段數(shù)字,而初商加1的平方則大于第一段數(shù)字,本例中第一
段數(shù)字為3,初商為1,因?yàn)?2=1<3,而Q+l)2=4>3.
第三步,用第一段數(shù)字減去初商的平方,并移下第二段數(shù)字,
組成第一余數(shù),在本例中第一余數(shù)為216.
第四步,找出試商,使(20x初商+試商)x試商不超過第一余
數(shù),而【20x初商+(試商+1)】x(試商+1)則大于第一余數(shù).
第五步,把第一余數(shù)減去(20x初商+試商)X試商,并移下第
三段數(shù)字組成第二余數(shù)本例中試商為7第二余數(shù)為2748.
依此法繼續(xù)做下去,直到移完所有的段數(shù),若最后余數(shù)為零,
則開方運(yùn)算告結(jié)束.若余數(shù)永遠(yuǎn)不為零,則只能取某一精度的
近似值.
第六步,定小數(shù)點(diǎn)位置,平方根小數(shù)點(diǎn)位置應(yīng)與被開方數(shù)的
小數(shù)點(diǎn)位置對(duì)齊.本例的算式如下:
根式的概念
【方根與根式】數(shù)a的n次方根是指求一個(gè)數(shù),它的n次
方恰好等于a.a的n次方根記為②(n為大于1的自然數(shù)).作
為代數(shù)式,出稱為根式m稱為根指數(shù),a稱為根底數(shù).在實(shí)數(shù)
范圍內(nèi),負(fù)數(shù)不能開偶次方,一個(gè)正數(shù)開偶次方有兩個(gè)方根,
其絕對(duì)值相同,符號(hào)相反.
【算術(shù)根】正數(shù)的正方根稱為算術(shù)根.零的算術(shù)根規(guī)定為委.
【基本性質(zhì)】由方根的定義,有
忑根式運(yùn)算
【乘積的方根】乘積的方根等于各因子同次方根的乘積;
反過來,同次方根的乘積等于乘積的同次方根,即
=如述3之0,八0)
【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除,
即
獷礪,o,b>0)
【根式的乘方】哂)J行31)
【根式化簡(jiǎn)】
衍=行(*0)
(a>0,b>0,a^b,c>Q,d>0)
(a>0,b>Q,a>Q;C|>Q)
【同類根式及其加減運(yùn)算】根指數(shù)和根底數(shù)都相同的根式
稱為同類根式,只有同類根式才可用加減運(yùn)算加以合并.
于進(jìn)位制的基與數(shù)字
任一正數(shù)可表為通常意義下的有限小數(shù)或無限小數(shù),各數(shù)字
的值與數(shù)字所在的位置有關(guān),任何位置的數(shù)字當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向右
移一位時(shí)其值擴(kuò)大10倍,當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向左移一位時(shí)其值縮小
10倍.例如
一般地,任一正數(shù)a可表為
這就是10進(jìn)數(shù),記作a(10),數(shù)10稱為進(jìn)位制的基,式中
ai在{0,l,2,L,9}中取值,稱為10進(jìn)數(shù)的數(shù)字,顯然沒有理由
說進(jìn)位制的基不可以取其他的數(shù).現(xiàn)在取q為任意大于1的
正整數(shù)當(dāng)作進(jìn)位制的基,于是就得到q進(jìn)數(shù)表示
A
%)=4,]…aqj%???=+與血*」+…+&q+/+aAq++-
Q)
式中數(shù)字ai在。L2,...,q-1}中取值,2冏口..總出0稱為q進(jìn)
數(shù)a(q)的整數(shù)部分,記作[a(q)];
a-la-2…稱為a(q)的分?jǐn)?shù)部分,記作{a(q)}.常用進(jìn)位制,除
10進(jìn)制外,還有2進(jìn)制、8進(jìn)制、16進(jìn)制等,其數(shù)字如下
2進(jìn)制0,1
8進(jìn)制0,1,2,3,4,5,6,7
16進(jìn)制0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
各種進(jìn)位制的相互轉(zhuǎn)換
lq-10轉(zhuǎn)換適用通常的10進(jìn)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則,根據(jù)公式
(1),可以把q進(jìn)數(shù)a(q)轉(zhuǎn)換為10進(jìn)數(shù)表示.例如
210-q轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換時(shí)必須分為整數(shù)部分和縫部分進(jìn)行.
對(duì)于整數(shù)部分其步驟是:
⑴用q去除[a(10)],得到商和余數(shù).
(2)記下余數(shù)作為q進(jìn)數(shù)的最后一個(gè)數(shù)字.
(3)用商替換口(10)]的位置重復(fù)Q)和(2)兩步,直到商等于零
為止.
對(duì)于分?jǐn)?shù)部分其步驟是:
⑴用q去乘{a(10)}.
(2)記下乘積的整數(shù)部分作為q進(jìn)數(shù)的分?jǐn)?shù)部分第一個(gè)數(shù)字.
(3)用乘積的分?jǐn)?shù)部分替換{a(10)}的位置,重復(fù)(1)和(2)兩步,
直到乘積變?yōu)檎麛?shù)為止,或直到所需要的位數(shù)為止.例如:
103.118(10)=147.074324…⑻
整數(shù)部分的分?jǐn)?shù)部分的
草式草式
3p-q轉(zhuǎn)換通常情況下其步驟是:a(p)-a(10)Ta(q).如果
p,q是同一數(shù)s的不同次賽,其步驟是:a(p)-a(s)-a(q).
例如,8進(jìn)數(shù)127.653(8)轉(zhuǎn)換為16進(jìn)數(shù)時(shí),由于8=23,
16=24,所以s=2,其步驟是:首先把8進(jìn)數(shù)的每個(gè)數(shù)字根
據(jù)8-2轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換為2進(jìn)數(shù)(三位一組)
127.653(8)=001010111.110101011(2)
然后把2進(jìn)數(shù)的所有數(shù)字從小數(shù)點(diǎn)起(左和右)每四位一組分
組,從16-2轉(zhuǎn)換表中逐個(gè)記下對(duì)應(yīng)的16進(jìn)數(shù)的數(shù)字,即
正多邊形各量換算公式
n為邊數(shù)R為外接圓半徑a為邊長(zhǎng)燎為內(nèi)切圓半徑為圓
心角S為多邊形面積重心G與外接圓心O重合正多邊形各
量換算公式表各量正三角形
n為邊數(shù)R為外接圓半徑
a為邊長(zhǎng)燎為內(nèi)切圓半徑
&為圓心角「丁」S為多邊形面積
重心G與外接圓心。重合
正多邊形各量換算公式表
所謂初等幾何作圖問題,是指使用無刻度的直尺和圓規(guī)
來作圖.若使用尺規(guī)有限次能作出幾何圖形,則稱為作圖可
能,或者說歐幾里得作圖法是可能的,否則稱為作圖不可能.
很多平面圖形可以用直尺和圓規(guī)作出,例如上面列舉的
正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形等.而另一些就不
能作出,例如正七邊形、正九邊形、正十一邊形等,這些多
邊形只能用近似作圖法.如何判斷哪些作圖可能,哪些作圖不
可能呢?直到百余年前,用代數(shù)的方法徹底地解決了這個(gè)問
題,即給出一個(gè)關(guān)于尺規(guī)作圖可能性的準(zhǔn)則:作圖可能的充
分必要條件是,這個(gè)作圖問題中必需求出的未知量能夠由若
干已知量經(jīng)過有限次有理運(yùn)算及開平方運(yùn)算而算出.幾千年
來許多數(shù)學(xué)家耗費(fèi)了不少的精力,企圖解決所謂“幾何三大
問題”:
1。立方倍積問題,即作一個(gè)立方體,使它的體積二倍于一
已知立方體的體積.
2。三等分角問題,即三等分一已知角.
3?;瘓A為方問題,即作一正方形,使它的面積等于一已知
圓的面積.
后來已嚴(yán)格證明了這三個(gè)問題不能用尺規(guī)作圖.
代數(shù)式的求值
代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切.許多代數(shù)
式是先化簡(jiǎn)再求值,特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題,
往往需要利用乘法公式、絕對(duì)值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基
本性質(zhì)、通分、
求值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧
和方法.下面結(jié)合例題逐一介紹.
1.利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形,在代數(shù)式化簡(jiǎn)求
值中,經(jīng)常被采用.
分析X的值是通過一個(gè)一元二次方程給出的,若解出X
后,再求值,將會(huì)很麻煩.我們可以先將所求的代數(shù)式變形,
看一看能否利用已知條件.
解已知條件可變形為3x2+3x-l=0,所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-l)+l
=(3x2+3x-l)(2z2+3x+l)+l
=0+1=1.
說明在求代數(shù)式的值時(shí),若已知的是一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)
式的值,這時(shí)要盡可能避免解謔(或方程組),而要將所要
求值的代數(shù)式適當(dāng)變形,再將已知的代數(shù)式的值整體代入,
會(huì)使問題得到簡(jiǎn)捷的解答.
例2已知a,b,c為實(shí)數(shù),且滿足下式:
a2+b2+c2=l,①
求a+b+c的值.
解將②式因式分解變形如下
即
所以
a+b+c=0sKbc+ac+ab=0.
若bc+ac+ab=0,則
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)
=a2+b2+c2=l,
所以a+b+c二±1.所以a+b+c的值為0,1,-1.
說明本題也可以用如下方法對(duì)②式變形:
即
前一解法是加一項(xiàng),再減去一項(xiàng);這個(gè)解法是將3拆成
1+1+1,最終都是將②式變形為兩個(gè)式子之積等于零的形
式.
2.利用乘法公式求值
例3已知x+y=m,x3+y3=n,m/0,求x?+y2的值.
解因?yàn)閤+y=m,所以
m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m-xy,
所以
岡
________________________I求x2+6xy+y2的值.
分析將x,y的值直接代入計(jì)算較繁,觀察發(fā)現(xiàn),已知
中x,y的值正好是一對(duì)共輾無理數(shù),所以很容易計(jì)算出x+y
與xy的值,由此得到以下解法.
解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy
=(x+y)2+4xy
3.設(shè)參數(shù)法與換元法求值
如果代數(shù)式字母較多,式子較繁,為了使求值簡(jiǎn)便,有
時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)(也叫輔助未知數(shù)),以便溝通數(shù)量關(guān)系,
這叫作設(shè)參數(shù)法.有時(shí)也可把代數(shù)式中某一部分式子,用另
外的一個(gè)字母來替換,這叫換元法.
分析本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn),可引入?yún)?shù)
k,用它表示連比的比值,以便把它們分割成幾個(gè)等式.
x=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.
所以
x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=O.
u+v+w=l,①
由②有
把①兩邊平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=l,
所以u(píng)2+v2+w2=l,
即
兩邊平方有
所以
4.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值
若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為委,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為零,這個(gè)性
質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用.
例8若x2-4x+|3x-y|=-4,求yx的值.
分析與解x,y的值均未知,而題目卻只給了一個(gè)方程,
似乎無法求值,但仔細(xì)挖掘題中的隱含條件可知,可以利用
非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解.
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