因式分解公式大全

公式及方法大全

待定系數(shù)法(因式分解)

待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法，應(yīng)用很廣

泛,這里介紹它在酶分解中的應(yīng)用.

在因式分解時(shí)，一些多項(xiàng)式經(jīng)過分析,可以斷定它能分

解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這

時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù).由于該多項(xiàng)式等于這

幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)多項(xiàng)式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)

應(yīng)該相等，或取多項(xiàng)式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于

待定系數(shù)的方程(或方程組)，解出待定字母系數(shù)的值，這種

因式分解的方法叫作待定系數(shù)法.

常用的羈纏公式：

例1分解因式:x2+3xy+2y2+4x+5y+3.

分析由于

(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),

若原式可以分解因式，那么它的兩個(gè)一次項(xiàng)一定是

x+2y+m和x+y+n的形式，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出m和

n，使問題得到解決.

解設(shè)

x2+3xy+2y2+4x+5y+3

=(x+2y+m)(x+y+n)

=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,

比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有

解之得m=3,n=l.所以

原式二(x+2y+3)(x+y+l).

說明本題也可用雙十字相乘法,請(qǐng)同學(xué)們自己解一下.

例2分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7.

分析本題所給的是一元整系數(shù)多項(xiàng)式，根據(jù)前面講過

的求根法，若原式有有理根，則只可能是±1,±7(7的約數(shù))，

經(jīng)檢驗(yàn)，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi),原式

沒有一次因式.如果原式能分解，只能分解為

(x2+ax+b)(x2+cx+d)的開鄉(xiāng)式.

解設(shè)

原式:(x2+ax+b)(x2+cx+d)

=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,

所以有

由bd=7,先考慮b=l,d=7有

所以

原式:(x2-7x+l)(x2+5x+7).

說明由于因式分解的唯一性，所以對(duì)b=-l,d=-7等

可以不加以考慮.本題如果b=l,d=7代入方程組后，無法

確定a,c的值，就必須將bd=7的其他解代入方程組,直

到求出待定系數(shù)為止.

本題沒有一次因式，因而無法運(yùn)用求根法分解因式.但

利用待定系數(shù)法，使我們找到了二次因式.由此可見，待定

系數(shù)法在因式分解中也有用武之地.

求根法(因式分解)

我們把形如anxn+an-lxn-l+...+alx+aO(n為非負(fù)整

數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x),g(x)，…

等記號(hào)表示，如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,...,

當(dāng)x=a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多項(xiàng)式

f(x)f(l)=12-3x

nn1

我們把形如anx+an-ix-+...+aix+ao(n為非負(fù)整數(shù))的

代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項(xiàng)式，并用f(x),g(x)，…等記號(hào)

表示,如

f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,...,

當(dāng)x二a時(shí)，多項(xiàng)式f(x)的值用f(a)表示.如對(duì)上面的多

項(xiàng)式f(x)

f(l)=l2-3xl+2=0;

f(-2)=(-2)2-3x(-2)+2=12.

若f(a)=O,則稱a為多項(xiàng)式f(x)的一個(gè)根.

定理1(因式定理)若a是一元多項(xiàng)式f(x)的根，即

f(a)=O成立，則多項(xiàng)式f(x)有一個(gè)因式x-a.

根據(jù)因式定理，找出一元多項(xiàng)式f(x)的一次因式的關(guān)鍵

是求多項(xiàng)式f(x)的根.對(duì)于任意多項(xiàng)式f(x),要求出它的根

是沒有一般方法的，然而當(dāng)多項(xiàng)式f(x)的荽數(shù)都是整數(shù)時(shí)，

即整系數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理

根.

定理2

的根，則必有p是切的約數(shù),q是加的約數(shù).特別地,

當(dāng)時(shí)，整系數(shù)多項(xiàng)式的整數(shù)根均為的約數(shù).

a0=lf(x)an

我們根據(jù)上述定理，用求多項(xiàng)式的根來確定多項(xiàng)式的一

次因式，從而對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.

例2分解因式：x3-4x2+6x-4.

分析這是一個(gè)整系數(shù)一元多項(xiàng)式，原式若有整數(shù)根，

必是-4的約數(shù)，逐個(gè)檢驗(yàn)-4的約數(shù)：±1,±2,±4,只有

f(2)=23-4x22+6x2-4=0,

即x=2是原式的一個(gè)根，所以根據(jù)定理1,原式必有因

式x-2.

解法1用分組分解法，使每組都有因式(x-2).

原式:(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)

=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2).

解法2用多項(xiàng)式除法，將原式除以(x-2),

所以

原式:(x-2)(x2-2x+2).

說明在上述解法中，特別要注意的是多項(xiàng)式的有理根

一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項(xiàng)

式的根.因此，必須對(duì)-4的約數(shù)逐個(gè)代入多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)證.

例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2.

分析因?yàn)?的約數(shù)有±1,±3,±9;-2的約數(shù)有±1,

為：

所以，原式有因式9x2-3x-2.

解9x4-3x3+7x2-3x-2

=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2

=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2

=(9x2-3x-2)(x2+l)

=(3x+l)(3x-2)(x2+l)

說明若整系數(shù)多項(xiàng)式有縫根，可將所得出的含有分

數(shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式

可以化為9x2-3x-2,這樣可以簡(jiǎn)化分解過程.

總之，對(duì)一元高次多項(xiàng)式f(x),如果能找到一個(gè)一次因

式(x-a),那么f(x)就可以分解為(x-a)g(x),而g(x)是比f(x)

低一次的一元多項(xiàng)式，這樣，我們就可以繼續(xù)對(duì)g(x)進(jìn)行分

解了.

雙十字相乘法(因式分解)

分解二次三項(xiàng)式時(shí)，我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二

元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十

字相乘法分解因式.例如，分解因式

2x2-7xy-22y2-5x+35y-3.我們將上式按x降幕排列，并把

y當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可

分解二次三項(xiàng)式時(shí),我們常用十字相乘法.對(duì)于某些二

元二次六項(xiàng)式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十

字相乘法分解因式.

例如，分解因式2x2-7xy_22y2-5x+35y_3.我們彳等上式

按x降幕排列，并把v當(dāng)作常數(shù)，于是上式可變形為

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),

可以看作是關(guān)于x的二次三項(xiàng)式.

對(duì)于常數(shù)項(xiàng)而言，它是關(guān)于y的二次三項(xiàng)式，也可以用

十字相乘法，分解為

即

-22y2+35y-3=(2y-3)(-lly+l).

再利用十字相乘法對(duì)關(guān)于x的二次三項(xiàng)式分解

所以

原式二[x+(2y-3)][2x+(-lly+l)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述因式分解的過程，實(shí)施了兩次十字相乘法.如果把

這兩個(gè)步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：

它表示的是下面三個(gè)關(guān)系式:

(x+2y)(2x-lly)=2x2-7xy-22y2;

(x-3)(2x+l)=2x2-5x-3;

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

這就是所謂的雙十字相乘法.

用雙十字相乘法對(duì)多項(xiàng)式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進(jìn)

行因式分解的步驟是：

Q)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個(gè)十字相

乘圖(有兩列)；

(2)把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上要求第二、

第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第

三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.

例1分解因式：

(l)x2-3xy-10y2+x+9y-2;

(2)x2-y2+5x+3y+4;

(3)xy+y2+x-y-2;

(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2.

解Q)

原式:(x-5y+2)(x+2y-l).

(2)

原式二(x+y+l)(x-y+4).

(3)原式中缺x2項(xiàng)，可把這一項(xiàng)的系數(shù)看成0來分解.

原式:(y+l)(x+y-2).

(4)

原式二(2x-3y+z)(3x+y-2z).

說明(4)中有三個(gè)字母，解法仍與前面的類似.

筆算開平方

對(duì)于一個(gè)數(shù)的開方，可以不用計(jì)算機(jī)，也不用查表，直

接筆算出來，下面通過一個(gè)例子來說明如何筆算開平方，對(duì)

于其它數(shù)只需模仿即可

例求316.4841的平方根.

第一步，先將被開方的數(shù)，從小數(shù)點(diǎn)位置向左右每隔兩位用逗

號(hào)，分段，如把數(shù)316.4841分段成3,16.48,41.

第二步，找出第一段數(shù)字的初商，使初商的平方不超過第一

段數(shù)字，而初商加1的平方則大于第一段數(shù)字，本例中第一

段數(shù)字為3,初商為1,因?yàn)?2=1<3,而Q+l）2=4>3.

第三步，用第一段數(shù)字減去初商的平方，并移下第二段數(shù)字,

組成第一余數(shù)，在本例中第一余數(shù)為216.

第四步，找出試商，使（20x初商+試商）x試商不超過第一余

數(shù)，而【20x初商+（試商+1）】x（試商+1）則大于第一余數(shù).

第五步，把第一余數(shù)減去（20x初商+試商）X試商，并移下第

三段數(shù)字組成第二余數(shù)本例中試商為7第二余數(shù)為2748.

依此法繼續(xù)做下去，直到移完所有的段數(shù)，若最后余數(shù)為零,

則開方運(yùn)算告結(jié)束.若余數(shù)永遠(yuǎn)不為零，則只能取某一精度的

近似值.

第六步，定小數(shù)點(diǎn)位置，平方根小數(shù)點(diǎn)位置應(yīng)與被開方數(shù)的

小數(shù)點(diǎn)位置對(duì)齊.本例的算式如下：

根式的概念

【方根與根式】數(shù)a的n次方根是指求一個(gè)數(shù)，它的n次

方恰好等于a.a的n次方根記為②（n為大于1的自然數(shù)）.作

為代數(shù)式，出稱為根式m稱為根指數(shù)，a稱為根底數(shù).在實(shí)數(shù)

范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開偶次方，一個(gè)正數(shù)開偶次方有兩個(gè)方根,

其絕對(duì)值相同,符號(hào)相反.

【算術(shù)根】正數(shù)的正方根稱為算術(shù)根.零的算術(shù)根規(guī)定為委.

【基本性質(zhì)】由方根的定義，有

忑根式運(yùn)算

【乘積的方根】乘積的方根等于各因子同次方根的乘積；

反過來，同次方根的乘積等于乘積的同次方根，即

=如述3之0,八0)

【分式的方根】分式的方根等于分子、分母同次方根相除,

即

獷礪，o,b>0)

【根式的乘方】哂)J行31)

【根式化簡(jiǎn)】

衍=行(*0)

(a>0,b>0,a^b,c>Q,d>0)

(a>0,b>Q,a>Q；C|>Q)

【同類根式及其加減運(yùn)算】根指數(shù)和根底數(shù)都相同的根式

稱為同類根式，只有同類根式才可用加減運(yùn)算加以合并.

于進(jìn)位制的基與數(shù)字

任一正數(shù)可表為通常意義下的有限小數(shù)或無限小數(shù)，各數(shù)字

的值與數(shù)字所在的位置有關(guān)，任何位置的數(shù)字當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向右

移一位時(shí)其值擴(kuò)大10倍，當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向左移一位時(shí)其值縮小

10倍.例如

一般地，任一正數(shù)a可表為

這就是10進(jìn)數(shù)，記作a(10),數(shù)10稱為進(jìn)位制的基，式中

ai在｛0,l,2,L,9｝中取值，稱為10進(jìn)數(shù)的數(shù)字，顯然沒有理由

說進(jìn)位制的基不可以取其他的數(shù).現(xiàn)在取q為任意大于1的

正整數(shù)當(dāng)作進(jìn)位制的基,于是就得到q進(jìn)數(shù)表示

A

%)=4，］…aqj%???=+與血*」+…+&q+/+aAq++-

Q)

式中數(shù)字ai在。L2,...,q-1｝中取值,2冏口..總出0稱為q進(jìn)

數(shù)a(q)的整數(shù)部分，記作［a(q)］;

a-la-2…稱為a(q)的分?jǐn)?shù)部分,記作｛a(q)｝.常用進(jìn)位制,除

10進(jìn)制外，還有2進(jìn)制、8進(jìn)制、16進(jìn)制等，其數(shù)字如下

2進(jìn)制0,1

8進(jìn)制0,1,2,3,4,5,6,7

16進(jìn)制0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

各種進(jìn)位制的相互轉(zhuǎn)換

lq-10轉(zhuǎn)換適用通常的10進(jìn)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)則,根據(jù)公式

(1),可以把q進(jìn)數(shù)a(q)轉(zhuǎn)換為10進(jìn)數(shù)表示.例如

210-q轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換時(shí)必須分為整數(shù)部分和縫部分進(jìn)行.

對(duì)于整數(shù)部分其步驟是：

⑴用q去除［a(10)］,得到商和余數(shù).

(2)記下余數(shù)作為q進(jìn)數(shù)的最后一個(gè)數(shù)字.

(3)用商替換口(10)］的位置重復(fù)Q)和(2)兩步，直到商等于零

為止.

對(duì)于分?jǐn)?shù)部分其步驟是：

⑴用q去乘｛a(10)｝.

(2)記下乘積的整數(shù)部分作為q進(jìn)數(shù)的分?jǐn)?shù)部分第一個(gè)數(shù)字.

(3)用乘積的分?jǐn)?shù)部分替換｛a(10)｝的位置，重復(fù)(1)和(2)兩步,

直到乘積變?yōu)檎麛?shù)為止，或直到所需要的位數(shù)為止.例如：

103.118(10)=147.074324…⑻

整數(shù)部分的分?jǐn)?shù)部分的

草式草式

3p-q轉(zhuǎn)換通常情況下其步驟是：a(p)-a(10)Ta(q).如果

p,q是同一數(shù)s的不同次賽,其步驟是：a(p)-a(s)-a(q).

例如，8進(jìn)數(shù)127.653(8)轉(zhuǎn)換為16進(jìn)數(shù)時(shí),由于8=23,

16=24,所以s=2,其步驟是：首先把8進(jìn)數(shù)的每個(gè)數(shù)字根

據(jù)8-2轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換為2進(jìn)數(shù)(三位一組)

127.653(8)=001010111.110101011(2)

然后把2進(jìn)數(shù)的所有數(shù)字從小數(shù)點(diǎn)起(左和右)每四位一組分

組，從16-2轉(zhuǎn)換表中逐個(gè)記下對(duì)應(yīng)的16進(jìn)數(shù)的數(shù)字，即

正多邊形各量換算公式

n為邊數(shù)R為外接圓半徑a為邊長(zhǎng)燎為內(nèi)切圓半徑為圓

心角S為多邊形面積重心G與外接圓心O重合正多邊形各

量換算公式表各量正三角形

n為邊數(shù)R為外接圓半徑

a為邊長(zhǎng)燎為內(nèi)切圓半徑

&為圓心角「丁」S為多邊形面積

重心G與外接圓心。重合

正多邊形各量換算公式表

所謂初等幾何作圖問題，是指使用無刻度的直尺和圓規(guī)

來作圖.若使用尺規(guī)有限次能作出幾何圖形，則稱為作圖可

能，或者說歐幾里得作圖法是可能的，否則稱為作圖不可能.

很多平面圖形可以用直尺和圓規(guī)作出，例如上面列舉的

正五邊形、正六邊形、正八邊形、正十邊形等.而另一些就不

能作出，例如正七邊形、正九邊形、正十一邊形等，這些多

邊形只能用近似作圖法.如何判斷哪些作圖可能，哪些作圖不

可能呢？直到百余年前，用代數(shù)的方法徹底地解決了這個(gè)問

題，即給出一個(gè)關(guān)于尺規(guī)作圖可能性的準(zhǔn)則：作圖可能的充

分必要條件是，這個(gè)作圖問題中必需求出的未知量能夠由若

干已知量經(jīng)過有限次有理運(yùn)算及開平方運(yùn)算而算出.幾千年

來許多數(shù)學(xué)家耗費(fèi)了不少的精力，企圖解決所謂“幾何三大

問題”：

1。立方倍積問題，即作一個(gè)立方體，使它的體積二倍于一

已知立方體的體積.

2。三等分角問題，即三等分一已知角.

3?；瘓A為方問題，即作一正方形，使它的面積等于一已知

圓的面積.

后來已嚴(yán)格證明了這三個(gè)問題不能用尺規(guī)作圖.

代數(shù)式的求值

代數(shù)式的求值與代數(shù)式的恒等變形關(guān)系十分密切.許多代數(shù)

式是先化簡(jiǎn)再求值，特別是有附加條件的代數(shù)式求值問題，

往往需要利用乘法公式、絕對(duì)值與算術(shù)根的性質(zhì)、分式的基

本性質(zhì)、通分、

求值中的方法技巧主要是代數(shù)式恒等變形的技能、技巧

和方法.下面結(jié)合例題逐一介紹.

1.利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一種代數(shù)恒等變形，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求

值中，經(jīng)常被采用.

分析X的值是通過一個(gè)一元二次方程給出的，若解出X

后，再求值，將會(huì)很麻煩.我們可以先將所求的代數(shù)式變形,

看一看能否利用已知條件.

解已知條件可變形為3x2+3x-l=0,所以

6x4+15x3+10x2

=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-l)+l

=(3x2+3x-l)(2z2+3x+l)+l

=0+1=1.

說明在求代數(shù)式的值時(shí)，若已知的是一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)

式的值，這時(shí)要盡可能避免解謔(或方程組)，而要將所要

求值的代數(shù)式適當(dāng)變形，再將已知的代數(shù)式的值整體代入，

會(huì)使問題得到簡(jiǎn)捷的解答.

例2已知a,b,c為實(shí)數(shù)，且滿足下式：

a2+b2+c2=l,①

求a+b+c的值.

解將②式因式分解變形如下

即

所以

a+b+c=0sKbc+ac+ab=0.

若bc+ac+ab=0,則

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)

=a2+b2+c2=l,

所以a+b+c二±1.所以a+b+c的值為0,1,-1.

說明本題也可以用如下方法對(duì)②式變形：

即

前一解法是加一項(xiàng)，再減去一項(xiàng)；這個(gè)解法是將3拆成

1+1+1,最終都是將②式變形為兩個(gè)式子之積等于零的形

式.

2.利用乘法公式求值

例3已知x+y=m,x3+y3=n,m/0,求x?+y2的值.

解因?yàn)閤+y=m,所以

m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m-xy,

所以

岡

________________________I求x2+6xy+y2的值.

分析將x,y的值直接代入計(jì)算較繁，觀察發(fā)現(xiàn)，已知

中x,y的值正好是一對(duì)共輾無理數(shù)，所以很容易計(jì)算出x+y

與xy的值，由此得到以下解法.

解x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy

=(x+y)2+4xy

3.設(shè)參數(shù)法與換元法求值

如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡(jiǎn)便，有

時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)(也叫輔助未知數(shù))，以便溝通數(shù)量關(guān)系，

這叫作設(shè)參數(shù)法.有時(shí)也可把代數(shù)式中某一部分式子，用另

外的一個(gè)字母來替換，這叫換元法.

分析本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)

k,用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個(gè)等式.

x=(a-b)k,y=(b-c)k,z=(c-a)k.

所以

x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=O.

u+v+w=l,①

由②有

把①兩邊平方得

u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=l,

所以u(píng)2+v2+w2=l,

即

兩邊平方有

所以

4.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求值

若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為委,則每個(gè)非負(fù)數(shù)都為零，這個(gè)性

質(zhì)在代數(shù)式求值中經(jīng)常被使用.

例8若x2-4x+|3x-y|=-4,求yx的值.

分析與解x,y的值均未知，而題目卻只給了一個(gè)方程,

似乎無法求值，但仔細(xì)挖掘題中的隱含條件可知，可以利用

非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解.