專(zhuān)題11三角全章復(fù)習(xí)（12個(gè)考點(diǎn)）強(qiáng)化訓(xùn)練（原卷版）

專(zhuān)題11三角全章復(fù)習(xí)（12個(gè)考點(diǎn)）強(qiáng)化訓(xùn)練考點(diǎn)一．象限角、軸線角在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角（1）象限角：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就認(rèn)為這個(gè)角是第幾象限角．（2）若角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．（3）所有與角α終邊相同的角連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α+k?360°，k∈Z}．【解題方法點(diǎn)撥】（1）注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類(lèi)角，第一類(lèi)是象限角，第二類(lèi)、第三類(lèi)是區(qū)間角．（2）角度制與弧度制可利用180°＝πrad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．（3）注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．考點(diǎn)二．任意角的三角函數(shù)的定義任意角的三角函數(shù)1定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝．2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是（1，0）．【解題方法點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值，需確定三個(gè)量：（1）角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x；（2）縱坐標(biāo)y；（3）該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況（點(diǎn)所在象限不同）．考點(diǎn)三．三角函數(shù)值的符號(hào)三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（為正）．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．考點(diǎn)四．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的思路1．“負(fù)化正”，運(yùn)用公式三將任意負(fù)角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù)．2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于180°的角的三角函數(shù)化為0°到180°的三角函數(shù)．3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù)．4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數(shù)后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計(jì)算器求得．考點(diǎn)五．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．【解題方法點(diǎn)撥】誘導(dǎo)公式記憶口訣：對(duì)于角“±α”（k∈Z）的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”．“符號(hào)看象限”是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”．考點(diǎn)六．三角函數(shù)恒等式的證明三角函數(shù)恒等式：1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）═﹣sinα3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．考點(diǎn)七．兩角和與差的三角函數(shù)（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．考點(diǎn)八．二倍角的三角函數(shù)二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α＝．對(duì)于這個(gè)公式要求是能夠正確的運(yùn)用其求值化簡(jiǎn)即可．考點(diǎn)九．半角的三角函數(shù)半角的三角函數(shù)關(guān)系主要是指正切函數(shù)與正余弦函數(shù)之間的關(guān)系（正余弦的半角關(guān)系其實(shí)就是二倍角關(guān)系），其公式為：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．考點(diǎn)十．三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時(shí)，如何轉(zhuǎn)化成我們常見(jiàn)的數(shù)值比較小的而且相等的三角函數(shù)，主要的方法就是運(yùn)用它們的周期性．公式①正弦函數(shù)有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函數(shù)有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函數(shù)有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，④余切函數(shù)有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．考點(diǎn)十一．正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問(wèn)題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無(wú)解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無(wú)解．2、三角形常用面積公式1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問(wèn)題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問(wèn)題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問(wèn)題．（2）測(cè)量高度問(wèn)題：解題思路：①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．②對(duì)于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測(cè)量問(wèn)題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測(cè)建筑物的相關(guān)長(zhǎng)度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱(chēng)為俯角．考法十二．解三角形1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對(duì)角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問(wèn)題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時(shí)，常用定理及公式如下表：名稱(chēng)公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝一．任意角的三角函數(shù)的定義（共9小題）1．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，，則角的余弦值為．2．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則角的正弦值是．3．（2023春?寶山區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，銳角的大小如圖所示，則．4．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為．5．（2023春?虹口區(qū)校級(jí)期中）設(shè)為實(shí)數(shù)，點(diǎn)為角的終邊上一點(diǎn)，且，則．6．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知任意角以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為始邊，若終點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且，定義：，稱(chēng)“”為“正余弦函數(shù)”，對(duì)于“正余弦函數(shù)”，有同學(xué)得到以下性質(zhì)，其中正確的是．（填上所有正確的序號(hào)）①該函數(shù)的值域?yàn)椋虎谠摵瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為．7．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與以點(diǎn)為圓心的圓交于點(diǎn)，則．8．（2023春?靜安區(qū)校級(jí)期中）角的頂點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，若，則．9．（2023秋?奉賢區(qū)期末）已知平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角始邊與軸的正半軸重合，終邊與一次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．二．三角函數(shù)值的符號(hào)（共3小題）10．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知點(diǎn)在第四象限，則角的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）設(shè)是第三象限角，則下列函數(shù)值一定為負(fù)數(shù)的是A． B． C． D．12．（2023秋?寶山區(qū)期末）已知，，則角的終邊在第象限．三．運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值（共6小題）13．（2023秋?虹口區(qū)期末）若是任意實(shí)數(shù)，則A． B． C． D．14．（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期末）與一定相等的是A． B． C． D．15．（2023春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知，則的值為．16．（2023春?黃浦區(qū)期末）若，則．17．（2023秋?寶山區(qū)期末）已知．（1）求；（2）若角為第二象限角，且，求的值．18．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知，求下列各式的值：（1）若不是第二象限角，求的值；（2）求的值．四．同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系（共8小題）19．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）是成立的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件20．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)月考）已知，且，其中，則關(guān)于的值，在以下四個(gè)答案中，可能正確的是A． B． C． D．221．（2023秋?寶山區(qū)期末）已知，則．22．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）在等腰三角形中，已知頂角的余弦值是，則底角的余弦值是．23．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知，，則．24．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）已知，則的值等于．25．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知．（1）求的值；（2）求的值．26．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知，計(jì)算下列各式的值．（1）；（2）．五．三角函數(shù)恒等式的證明（共2小題）27．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）證明：．28．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)月考）（1）化簡(jiǎn)：．（2）證明恒等式：．六．兩角和與差的三角函數(shù)（共5小題）29．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中）的值為．30．（2023春?松江區(qū)校級(jí)月考）已知，，且，則．31．（2023春?奉賢區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，對(duì)于任意，都有成立，則．32．（2023春?寶山區(qū)期末）已知，點(diǎn)是平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)由0連續(xù)變到時(shí)，線段掃過(guò)的面積是．33．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知，，是三個(gè)銳角，則，，中，大于的數(shù)至多有個(gè)A．0 B．1 C．2 D．3七．二倍角的三角函數(shù)（共4小題）34．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知，則．35．（2023春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知，則．36．（2023春?青浦區(qū)校級(jí)期中）已知，且有，則．37．（2023春?閔行區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．若，則．八．半角的三角函數(shù)（共1小題）38．（2023春?靜安區(qū)校級(jí)月考）已知且，則．九．三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值（共5小題）39．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）若，則．40．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)月考）若，則的值為A． B． C． D．41．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期末）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)的結(jié)果是A． B． C． D．42．（2023春?靜安區(qū)校級(jí)月考）若，則的值為A．0 B．1 C．2 D．43．（2023春?金山區(qū)校級(jí)月考）已知，求：（1）化簡(jiǎn)；（2）求的值．一十．正弦定理（共5小題）44．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）在三角形中，，，，則A． B． C．或 D．或45．（2023春?虹口區(qū)校級(jí)期中）在中，，則的取值范圍是A． B． C． D．46．（2023春?青羊區(qū)校級(jí)月考）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的外接圓的面積為A． B． C． D．47．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別是，，，且，則的取值范圍是．48．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）（1）已知在中，，求；（2）在中，，求、．一十一．余弦定理（共3小題）49．（2023春?松江區(qū)校級(jí)月考）在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，若，則的值為A．2021 B．2022 C．2023 D．202450．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關(guān)注健康，重視鍛煉．通過(guò)“小步道”，走出“大健康”，健康步道成為引領(lǐng)健康生活的一道亮麗風(fēng)景線．如圖，為某區(qū)的一條健康步道，、為線段，是以為直徑的半圓，，，．（1）求的長(zhǎng)度；（2）為滿(mǎn)足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃新建健康步道，在兩側(cè)），其中，為線段．若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少長(zhǎng)度？（精確到51．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)處下山至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車(chē)到，然后從沿直線步行到．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車(chē)到，在處停留后，再?gòu)膭蛩俨叫械剑僭O(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量，，．（1）求索道的長(zhǎng)；（2）問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車(chē)上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？一十二．解三角形（共4小題）52．（2023春?松江區(qū)校級(jí)月考）小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的