數(shù)學-專題22 平行線中的動態(tài)問題壓軸題（帶答案）

專題22平行線中的動態(tài)問題壓軸題（解析版）類型一動點問題1．（2022春?安鄉(xiāng)縣期末）問題情境：（1）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝128°，∠PCD＝132°，求∠APC的度數(shù)．小穎同學的解題思路是：如圖2，過點P作PE∥AB，請你接著完成解答；問題遷移：（2）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α．∠BCP＝∠β，試判斷∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關系？請說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你猜想∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關系，并畫出相應的圖形說明理由．思路引領：（1）過P作PE∥AB，構造同旁內角，利用平行線性質，可得∠APC＝100°．（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形（分兩種情況：①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．解：（1）過P作PE∥AB，如圖2：∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝180°﹣128°＝52°，∠CPE＝180°﹣∠PCD＝180°﹣132°＝48°，∴∠APC＝52°+48°＝100°；

（2）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（3）當P在BA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當P在BO之間時，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．綜上所述，∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關系為：∠CPD＝∠β﹣∠α或∠CPD＝∠α﹣∠β．總結提升：本題考查了平行線的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角．2．（2022春?房山區(qū)期末）如圖，由線段AB，AM，CM，CD組成的圖形像，稱為“形BAMCD”．（1）如圖1，形BAMCD中，若AB∥CD，∠AMC＝60°，則∠A+∠C＝60°；（2）如圖2，連接形BAMCD中B，D兩點，若∠ABD+∠BDC＝160°，∠AMC＝α，試猜想∠BAM與∠MCD的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，當點M在線段BD的延長線上從上向下移動的過程中，請直接寫出∠BAM與∠MCD所有可能的數(shù)量關系．思路引領：（1）過M作MN∥AB，利用平行線的性質計算可求求解；（2）過A點作AP∥CD交BD于點P，利用平行線的性質及三角形的內角和定理可求得∠BAP＝20°，結合（1）的結論可求解；（3）可分兩種情況：當D，C位于AM兩側時，當D，C位于AM同側時，利用平行線的性質及三角形外角的性質可分別計算求解．

解：（1）過M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠AMN＝∠A，∠MCD＝∠C，∴∠A+∠C＝∠AMN+∠MCD＝∠AMC＝60°，故答案為：60°；（2）∠BAM+∠MCD＝α+20°．理由：過A點作AP∥CD交BD于點P，∴∠APB＝∠D，∵∠BAP+∠APB+∠B＝180°，∠B+∠D＝160°，∴∠BAP＝180°﹣160°＝20°，由（1）可得∠AMC＝∠PAM+∠MCD，∵∠AMC＝α，∴∠PAM+∠MCD＝α，∴∠BAM+∠MCD＝α+20°；（3）如圖，當D，C位于AM兩側時，

∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，∵∠AMQ＝∠B+∠BAM，∠CMQ＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，∴α＝∠AMQ﹣∠CMQ＝∠B+∠BAM﹣（∠MCD+∠CDM）＝∠BAM﹣∠MCD﹣20°，即∠BAM﹣∠MCD＝α+20°；當D，C位于AM同側時，∵∠ABD+∠BDC＝160°，∠CDM+∠BDC＝180°，∴∠CDM﹣∠ABD＝20°，∵∠AMO＝∠B+∠BAM，∠CMO＝∠MCD+∠CDM，∠AMC＝α，∴α＝∠CMO﹣∠AMO＝∠MCD+∠CDM﹣（∠B+∠BAM）＝∠MCD﹣∠BAM+20°，即∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．綜上，∠BAM﹣∠MCD＝α+20°或∠MCD﹣∠BAM＝α﹣20°．總結提升：本題主要考查平行線的性質，三角形外角的性質，三角形的內角和定理，掌握平行線的性質是解題的關鍵．3．（2022春?武漢期末）已知：點E在直線AB上，點F在直線CD上，AB∥CD．（1）如圖1，連EF，EP平分∠AEF，F(xiàn)P平分∠CFE，求∠P的度數(shù)．

（2）如圖2，若∠EGF＝160°，射線EH，F(xiàn)H分別在∠AEG，∠CFG的內部，且∠EHF＝40°，當∠AEG＝4∠AEH時，求∠GFH∠CFG（3）如圖3，在（1）的條件下，在直線CD上有一動點M（點M不與點F重合），EN平分∠MEF，若∠PEN＝α（0°＜α＜90°），請直接寫出∠EMF＝2α或180﹣2α（結果用含α的式子表示）．思路引領：（1）過點P作GH∥AB，根據(jù)AB∥CD，可得GH∥CD．所以∠EPF＝∠AEP+∠CFP，然后根據(jù)EP、FP分別平分∠AEF和∠CEF，可得∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，進而可以解決問題；（2）過點G，H作GK∥AB，HL∥AB，然后根據(jù)平行線的性質即可解決問題；（3）由題意可得EN平分∠MEF，F(xiàn)P平分∠CFE，所以∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，然后利用三角形內角和定理即可解決問題．解：（1）如圖1，過點P作GH∥AB，∴∠EPH＝∠AEP．∵AB∥CD，∴GH∥CD．∴∠FPH＝∠CFP．∴∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP．即：∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∵EP、FP分別平分∠AEF和∠CEF，∴∠AEF＝2∠AEG，∠CEF＝2∠CFG，∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，∴2∠AEG+2∠CFG＝180°，∴∠AEG+∠CFG＝90°，∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝90°；（2）如圖2，過點G，H作GK∥AB，HL∥AB，∵AB∥CD，∴GK∥CD，HL∥CD，∴∠AEH＝∠EHL．∠CFH＝∠LHF．∠AEG＝∠EGK．∠CFG＝∠FGK．∵∠EGF＝∠EGK+∠FGK＝160°，∠EHF＝∠EHL+∠LHF＝40°，∴∠EGF＝4（∠EHL+∠LHF），∴∠EGK+∠FGK＝∠AEG+∠CFG＝4（∠AEH+∠HFC），∵∠AEG＝4∠AEH，∴∠CFG＝4∠HFC，∴∠GFH∠CFG（3）如圖3，由題意可知：EN平分∠MEF，F(xiàn)P平分∠CFE，∴∠MEN＝∠FEN，∠EFP＝∠CFP，∵∠EPF＝∠FEP+∠EFP＝90°，∠PEN＝α∴∠PEN+∠FEN+∠EFP＝α+∠FEN+∠EFP＝α+∠MEN+∠CFP＝90°，∵∠ENM＝∠FEN+∠EFN＝∠FEN+∠EFP+∠CFP，在△EMN中，∠EMN+∠ENM+∠MEN＝180°，

∴∠EMN+∠FEN+∠EFP+∠CFP+∠MEN＝180°，∴∠EMN＝180°﹣（∠MEN+∠CFP）﹣（∠FEN+∠EFP），∴∠EMF＝∠EMN＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α．當M在F點右側時，∠EMF＝180﹣2α．故答案為：2α或180﹣2α．總結提升：本題主要考查了平行線的性質，解決問題的關鍵是作平行線構造內錯角或同位角，利用平行線的性質以及角的和差關系進行推算．4．（2020春?馬山縣期末）如圖，已知AM∥BN，∠A＝60°．點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN．（1）求∠ABN的度數(shù)．（2）當點P運動時，∠CBD的度數(shù)是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請求出它的度數(shù)．若變化，請寫出變化規(guī)律．（3）當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，求∠ABC的度數(shù)．思路引領：（1）根據(jù)平行線的性質可直接求解；（2）利用角平分線的定義可計算求解；（3）結合平行線的性質易得∠1＝∠4，再利用角平分線的定義可求解．（1）證明：∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°；（2）沒有變化．∵CB平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠1=12∠ABP，∠2=1∴∠CBD＝∠1+∠2=12(∠ABP

=1＝60°；（3）∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，∴∠CBN﹣∠CBD＝∠ABD﹣∠CBD，即∠1＝∠4，又∵CB平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝120°÷4＝30°，即∠ABC＝30°．總結提升：本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，靈活運用平行線的性質及角平分線的定義是解題的關鍵．類型二動線問題5．（2022春?鹽都區(qū)月考）當光線經過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等．例如：在圖①、圖②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．設鏡子AB與BC的夾角∠ABC＝α．（1）如圖①，若α＝90°，判斷入射光線EF與反射光線GH的位置關系，并說明理由．（2）如圖②，若90°＜α＜180°，入射光線EF與反射光線GH的夾角∠FMH＝β．探索α與β的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖③，若α＝110°，設鏡子CD與BC的夾角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光線EF從鏡面AB開始反射，經過n（n為正整數(shù)，且n≤3）次反射，當?shù)趎次反射光線與入射光線EF平行時，請直接寫出γ的度數(shù)．（可用含有m的代數(shù)式表示）

思路引領：（1）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，可得∠2+∠3＝90°，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等可得，∠FEG+∠EGH＝180°，進而可得EF∥GH；（2）在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，可得∠2+∠3＝180°﹣α，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等可得，∠MEG＝2∠2，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，可得α與β的數(shù)量關系；（3）分兩種情況畫圖討論：①當n＝3時，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等，及△GCH內角和，可得γ＝90°+m．②當n＝2時，如果在BC邊反射后與EF平行，則α＝90°，與題意不符；則只能在CD邊反射后與EF平行，根據(jù)三角形外角定義，可得∠G＝γ﹣70°，由EF∥HK，且由（1）的結論可得，γ＝160°．解：（1）EF∥GH，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∵∠1+∠2+∠FEG＝180°，∠3+∠4+∠EGH＝180°，∴∠FEG+∠EGH＝180°，∴EF∥GH；（2）β＝2α﹣180°，理由如下：在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，∴∠2+∠3＝180°﹣α，∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB，

∴∠2＝∠MEB，∴∠MEG＝2∠2，同理可得，∠MGE＝2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°，∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE）＝180°﹣（2∠2+2∠3）＝180°﹣2（∠2+∠3）＝180°﹣2（180°﹣α）＝2α﹣180°；（3）90°+m或160°．理由如下：①當n＝3時，如圖所示：∵∠BEG＝∠1＝m，∴∠BGE＝∠CGH＝50°﹣m，∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（50°﹣m），∵EF∥HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，則∠GHK＝100°，則∠GHC＝40°，由△GCH內角和，得γ＝90°+m．②當n＝2時，如果在BC邊反射后與EF平行，則α＝90°，與題意不符；

則只能在CD邊反射后與EF平行，如圖所示：根據(jù)三角形外角定義，得∠G＝γ﹣70°，由EF∥HK，且由（1）的結論可得，∠G＝γ﹣70°＝90°，則γ＝160°．綜上所述：γ的度數(shù)為90°+m或160°．總結提升：本題考查了平行線的性質、列代數(shù)式，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質，注意分類討論思想的利用．6．（2021春?南湖區(qū)校級期中）為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照燈．如圖1所示燈A射線從AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈B射線從BP開始順時針旋轉至BQ便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉動的速度是每秒2度，燈B轉動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝3：2．（1）填空：∠BAN＝72°．（2）若燈B射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前若射出的光束交于點C，過C作∠ACD交PQ

于點D，且∠ACD＝126°，則在轉動過程中，請求出∠BAC與∠BCD的數(shù)量關系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關系，若改變，請說明理由．思路引領：（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2，即可得到∠BAN的度數(shù)；（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行討論：當0＜t＜90時，根據(jù)2t＝1?（30+t），可得t＝30；當90＜t＜150時，根據(jù)1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，可得t＝110；（3）設燈A射線轉動時間為t秒，根據(jù)∠BAC＝2t﹣108°，∠BCD＝126°﹣∠BCA＝t﹣54°，即可得出∠BAC：∠BCD＝2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關系不會變化．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝3：2，∴∠BAN＝180°×2故答案為：72°；（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，①當0＜t＜90時，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠CAM＝∠PBD，∴2t＝1?（30+t），解得t＝30；②當90＜t＜150時，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA＝180°，∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD+∠CAN＝180°，∴1?（30+t）+（2t﹣180）＝180，解得t＝110，綜上所述，當t＝30或110時，兩燈的光束互相平行；（3）∠BAC與∠BCD的數(shù)量關系不變，∠BAC＝2∠BCD，理由如下：

設燈A射線轉動時間為t秒，∵∠CAN＝180°﹣2t，∴∠BAC＝72°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣108°，又∵∠ABC＝108°﹣t＝78°﹣t，∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180﹣t，而∠ACD＝126°，∴∠BCD＝126°﹣∠BCA＝126°﹣（180°﹣t）＝t﹣54°，∴∠BAC：∠BCD＝2：1，即∠BAC＝2∠BCD．總結提升：本題主要考查了平行線的性質以及角的和差關系的運用，解決問題的關鍵是運用分類思想進行求解，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．類型三三角板（三角形）旋轉問題7．（2022春?義烏市校級月考）如圖1，將三角板ABC與三角板ADE擺放在一起；如圖2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，將三角板ADE繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角∠CAE＝α（0°＜α≤90°）．（1）當α為15度時，AD∥BC；（2）在旋轉過程中，試探究∠CAD與∠BAE之間的關系；（3）若旋轉角∠CAE＝α的范圍改為0°＜α＜180°．當△ADE旋轉速度為5°/秒時，且它的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時，直接寫出時間t的所有值．思路引領：（1）根據(jù)平行線的判定定理即可求解；

（2）分①當0°＜α≤45°，45°＜α≤90°、α＞90°時3種情況，畫圖計算即可；（3）分AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、AE∥BC四種情況，分別求解即可．解：（1）當α＝15°時，AD∥BC，圖形如下：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝30°，∴∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°．故答案為15；（2）設：∠CAD＝γ，∠BAE＝β，①如上圖，當0°＜α≤45°時，α+β＝90°，α+γ＝45°，故β﹣γ＝45°；②當45°＜α≤90°時，同理可得：γ+β＝45°，（3）①當AD∥BC時，α＝15°，t＝3；②當DE∥AB時，α＝45°，t＝9；③當DE∥BC時，α＝105°，t＝21；④當DE∥AC時，α＝135°，t＝27；⑤當AE∥BC時，α＝150°，t＝30；綜上，t＝3或9或21或27或30．總結提升：解答此題的關鍵是通過畫圖，確定旋轉后△ADE的位置，還注意分類求解，避免遺漏．8．（2022?蘇州模擬）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°：（1）①若∠DCE＝45°，則∠ACB的度數(shù)為135°；

②若∠ACB＝140°，求∠DCE的度數(shù)；（2）由（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關系，并說明理由．（3）當∠ACE＜180°且點E在直線AC的上方時，這兩塊三角尺是否存在一組邊互相平行？若存在，請直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說明理由），若不存在，請說明理由．思路引領：（1）①根據(jù)∠DCE和∠ACD的度數(shù)，求得∠ACE的度數(shù)，再根據(jù)∠BCE求得∠ACB的度數(shù)；②根據(jù)∠BCE和∠ACB的度數(shù)，求得∠ACE的度數(shù)，再根據(jù)∠ACD求得∠DCE的度數(shù)；（2）根據(jù)∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，進行計算即可得出結論；（3）分五種情況進行討論：當CB∥AD時，當EB∥AC時，當CE∥AD時，當EB∥CD時，當BE∥AD時，分別求得∠ACE角度．（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°∴∠ACE＝45°∵∠BCE＝90°∴∠ACB＝90°+45°＝135°故答案為：135°；②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°；（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE又∵∠ACB＝∠ACE+90°∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE即∠ACB+∠DCE＝180°；

（3）30°、45°、120°、135°、165°．理由：當CB∥AD時，∠ACE＝30°；當EB∥AC時，∠ACE＝45°；當CE∥AD時，∠ACE＝120°；當EB∥CD時，∠ACE＝135°；當BE∥AD時，∠ACE＝165°．總結提升：本題主要考查了平行線的性質，以及直角三角形的性質，解題時注意分類討論思想的運用，分類時注意不能重復，也不能遺漏．9．（2022春?朝陽區(qū)校級期中）如圖1，AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，過點A作AG⊥BE的延長線交于點G，交CD于點N，AK平分∠BAG，交EF于點H，交BE于點M．（1）直接寫出∠AHE，∠FAH，∠KEH之間的關系：∠AHE＝∠FAH+∠KEH．（2）若∠BEF=12∠BAK，求∠（3）如圖2，在（2）的條件下，將△KHE繞著點E以每秒5°的速度逆時針旋轉，旋轉時間為t，當KE邊與射線ED重合時停止，則在旋轉過程中，當△KHE的其中一邊與△ENG的某一邊平行時，直接寫出此時t的值．思路引領：（1）根據(jù)平行線的性質和三角形的外角性質可得答案；（2）根據(jù)∠BEF=12∠BAK，分別表示出∠BAK、∠BEC、∠BAK、∠KAG、∠AME和∠AHE，再由AG⊥BE，可得∠

（3）結合（2），分以下幾種情況求解：①當KH∥NG時，延長KE交GN邊于P，②當KH∥EG時，③當KH∥EN時，即EK與EG在同一直線上時，④當KE∥NG時，⑤當HE∥NG時．解：（1）∵AB∥CD，∴∠KEH＝∠AFH，∵∠AHE是△AHF的外角，∴∠AHE＝∠AFH+∠FAH，∴∠AHE＝∠FAH+∠KEH．故答案為：∠AHE＝∠FAH+∠KEH；（2）∵AB∥CD，∴∠BAK＝∠MKE，∠ABE＝∠BEC，∵∠BEF=1∴∠BAK＝2∠BEF，∵∠BEC＝2∠BEF，∴∠BAK＝∠BEC，∴∠BAK＝∠ABE，∴AK平分∠BAG，∴∠BAK＝∠GAK＝∠ABE，∵AG⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴3∠BAK＝90°，∴∠BAK＝∠ABE＝∠GAK＝30°，∴∠BEF=1∴∠CEF＝45°，∴∠CEF＝∠AFE＝45°，∴∠AHE＝∠AFE+∠BAK＝75°．（3）①當KH∥NG時，延長KE交GN邊于P，

∵∠EKH＝∠EPG＝30°，∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°，∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°，∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°，∴∠CEK＝∠PEN＝30°，∴當△KHE繞E點旋轉30°時，EK∥GN，∴t=30°②當KH∥EG時，∴∠EKH＝∠KEG＝30°，∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°，∴∠NEK＝60°，∴∠CEK＝120°，∴當△KHE繞點E旋轉120°時，HK∥EG，∴t=120°③當KH∥EN時，即EK與EG在同一直線上時，∴∠CEK＝150°，∴當△KHE繞點E旋轉150°時，KH∥EN，

∴t=150°∴當△KEH的其中一邊與△ENG的某一邊平行時t的值為6秒或24秒或30秒．④當KE∥NG時，∵∠GEN＝30°，∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°．∴當△KHE旋轉60°時，KE∥NG．∴t=60⑤當HE∥NG時，∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°，∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°．∴當△KHE旋轉105°時，HE∥NG．∴t=105當△KEH的其中一邊與△ENG的某一邊平行時t的值為6秒或24秒或30秒或12秒或21秒．總結提升：本題考查了平行線的性質、角平分線的性質、三角形外角的性質、三角形的內角和及一元一次方程在幾何問題中的應用，理清題中的數(shù)量關系并分類討論是解題的關鍵．類型三三角板（圖形）平移問題10．（2022春?海淀區(qū)校級期中）如圖，直線AB∥CD，直線EF與AB，CD分別交于點G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安將一個含30°角的直角三角板PMN按如圖①放置，使點N、M分別在直線AB、CD上，且在點C、H的右側，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空；∠PNB+∠PMD＝∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；

（2）若∠MNG的平分線NO交直線CD于點O，如圖②．①當NO∥EF，PM∥EF時，求α的度數(shù)；②小安將三角板PMN沿直線AB左右移動，保持PM∥EF，點N、M分別在直線AB和直線CD上移動，請直接寫出∠MON的度數(shù)（用含α的式子表示）．思路引領：（1）過P點作PQ∥AB，根據(jù)平行線的性質可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，進而可求解；（2）①由平行線的性質可得∠ONM＝∠PMN＝60°，結合角平分線的定義可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行線的性質可求解；②可分兩種情況：點N在G的右側時，點N在G的左側時，利用平行線的性質及角平分線的定義計算可求解．解：（1）過P點作PQ∥AB，

∴∠PNB＝∠NPQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠PMD＝∠QPM，∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，故答案為：＝（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，∴PO∥PM，∴∠ONM＝∠NMP，∵∠PMN＝60°，∴∠ONM＝∠PMN＝60°，∵NO平分∠MNO，∴∠ANO＝∠ONM＝60°，∵AB∥CD，∴∠NOM＝∠ANO＝60°，∴α＝∠NOM＝60°；②點N在G的右側時，如圖②，∵PM∥EF，∠EHD＝α，∴∠PMD＝α，∴∠NMD＝60°+α，∵AB∥CD，∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，∵NO平分∠ANM，

∴∠ANO=12∠ANM＝30°+∵AB∥CD，∴∠MON＝∠ANO＝30°+12點N在G的左側時，如圖，∵PM∥EF，∠EHD＝α，∴∠PMD＝α，∴∠NMD＝60°+α，∵AB∥CD，∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，∵NO平分∠MNG，∴∠BNO=12[180°﹣（60°+α）]＝60°?∴∠MON＝60°?12綜上所述，∠MON的度數(shù)為30°+12α或60°?總結提升：本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，分類討論是解題的關鍵．11．（2022春?沈丘縣期末）如圖1，將一副直角三角板放在同一條直線AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°（1）觀察猜想將圖1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至圖②的位置，使得點O與點N重合，CD與MN相交于點E，則∠CEN＝105°．（2）操作探究

將圖1中的三角尺OCD繞點O按順時針方向旋轉，使一邊OD在∠MON的內部，如圖3，且OD恰好平分∠MON，CD與NM相交于點E，求∠CEN的度數(shù)；（3）深化拓展將圖1中的三角尺OCD繞點O按沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，當邊OC旋轉75或255°時，邊CD恰好與邊MN平行．（直接寫出結果）思路引領：（1）在△CEN中，依據(jù)三角形的內角和定理求解即可；（2）根據(jù)角平分線的定義求出∠DON＝45°，利用內錯角相等兩直線平行求出CD∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補求解即可；（3）當CD在AB上方時，CD∥MN，設OM與CD相交于F，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠OFD＝∠M＝60°，然后根據(jù)三角形的內角和定理列式求出∠MOD，即可得解；當CD在AB的下方時，CD∥MN，設直線OM與CD相交于F，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠DFO＝∠M＝60°，然后利用三角形的內角和定理求出∠DOF，再求出旋轉角即可．解：（1）∵∠ECN＝45°，∠ENC＝30°，∴∠CEN＝105°．故答案為：105°．（2）∵OD平分∠MON，∴∠DON=12∠MON∴∠DON＝∠D＝45°，∴CD∥AB，∴∠CEN＝180°﹣∠MNO＝180°﹣30°＝150°；．（3）如圖1，CD在AB上方時，設OM與CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠OFD＝∠M＝60°，在△ODF中，∠MOD＝180°﹣∠D﹣∠OFD，＝180°﹣45°﹣60°，＝75°，當CD在AB的下方時，設直線OM與CD相交于F，∵CD∥MN，∴∠DFO＝∠M＝60°，

在△DOF中，∠DOF＝180°﹣∠D﹣∠DFO＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴旋轉角為75°+180°＝255°，綜上所述，當邊OC旋轉75°或255°時，邊CD恰好與邊MN平行．故答案為：75或255．總結提升：本題考查了旋轉的性質，三角形的內