專題4.4等比數列（十一個重難點突破）-2023-2024學年高二數學上學期重難點突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019）（原卷版）

專題4.4等比數列知識點一等比數列的概念與通項公式1.等比數列的定義一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比都等于同一個常數,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,通常用字母q表示（顯然）.注意：（1）等比數列中不能有0項（2）常數列都是等差數列,但卻不一定是等比數列.如常數列是各項都為0的數列,它就不是等比數列;當常數列各項不為0時,是等比數列,對于含字母的數列應注意討論.2.等比中項如果在與中間插入一個數,使成等比數列,那么叫做與的等比中項,此時,.3.等比數列的通項公式（1）已知等比數列的首項為,公比為,則數列的通項公式為.（2）第項與第項的關系為,變形得.（3）由可知,當且時,等比數列的第項是指數函數當時的函數值,即.知識點二等比數列的常用性質（1）如果,則有.（2）如果,則有.（3）若成等差數列,則成等比數列.（4）在等比數列中,每隔項取出一項,按原來的順序排列,所得的新數列仍為等比數列.（5）如果均為等比數列,且公比分別為,那么數列仍是等比數列,且公比分別為.（6）等比數列的項的對稱性:在有窮等比數列中,與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積,即（7）等比數列的單調性①當或時,等比數列為遞增數列;②當或時,等比數列為遞減數列;③當時,等比數列為擺動數列.重難點1利用定義判斷等比數列1．在數列中，，則（

）A．12 B．16 C．32 D．642．已知數列滿足：對任意的m，，都有，且，則（

）A． B． C． D．3．已知數列的通項公式為，則數列是（

）A．以1為首項，為公比的等比數列 B．以3為首項，為公比的等比數列C．以1為首項，3為公比的等比數列 D．以3為首項，3為公比的等比數列4．（多選）設是等比數列，則（

）A．是等比數列 B．是等比數列C．是等比數列 D．是等比數列5．已知和為項數相同的等比數列，公比分別為和．求證：為等比數列，其公比為．6．已知是各項均為正數的等比數列，公比為q，求證：是等比數列，并求該數列的公比．重難點2等比數列基本量的計算7．在等比數列中，若，則的公比（

）A． B． C． D．48．在等比數列中，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．29．若等差數列和等比數列滿足，，，則的公差為（

）A． B． C． D．10．在等比數列中，成等差數列，則（

）A．3 B． C．9 D．11．已知正項等比數列滿足:，若存在兩項使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．不存在12．在等比數列中，若，則.重難點3等比中項及其應用13．與的等比中項是．14．在等比數列中，，則與的等比中項為.15．已知等比數列滿足，，則.16．在等比數列中，，是方程的兩根，則的值為．17．記為等差數列的前項和．若，且成等比數列，則的值為．18．已知數列，，，成等差數列，，，成等比數列，則的值是.重難點4等比數列的性質19．在等比數列中，，則的值為（

）A．48 B．72 C．144 D．19220．已知等比數列的公比q為整數，且，，則（

）A．2 B．3 C．-2 D．-321．數列為等比數列，且，則．22．等比數列滿足：，則的最小值為．23．若等比數列滿足，，則．24．設等比數列滿足，則.25．在數列中：(1)若為等差數列，且，求．(2)若為正項等比數列，且，求的值．重難點5等比數列的證明26．已知數列的首項為3，且滿足.(1)求證：是等比數列；(2)求數列的通項公式，并判斷數列是否是等比數列.27．已知數列滿足，.(1)求證：是等比數列.(2)求.28．已知數列滿足，.(1)若數列滿足，求證：是等比數列；(2)求數列的前n項和.29．已知數列{an}滿足，，，成等差數列，證明:數列是等比數列，并求{an}的通項公式.30．已知數列滿足，且點在函數的圖象上，求證：是等比數列，并求的通項公式：31．已知數列滿足，，求證：數列是等比數列，并求數列的通項公式；知識點三等比數列的前n項和公式已知量公式首項與公比首項,末項與公比知識點四等比數列前項和的性質（1）等比數列中,若項數為,則;若項數為,則.（2）若等比數列的前項和為,則成等比數列(其中均不為,公比為.（3）若一個非常數列的前項和,則數列為等比數列,即數列為等比數列.重難點6前n項和基本量運算32．已知正項等比數列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．33．已知為等比數列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則S5等于（

）A． B． C． D．34．已知等比數列的公比為，前項和為.若，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．735．已知正項等比數列的前項和為，且，則公比的值為36．已知等比數列的公比為q，前n項和為，若，則．37．在公比為的等比數列中，為其前項和，（），且，則．38．等比數列的前項和為，若，則.重難點7前n項和的性質39．已知等比數列有項，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．540．已知一個等比數列的項數是是偶數，其奇數項之和1011，偶數項之和為2022，則這個數列的公比為（

）.A．8 B． C．4 D．241．在正項等比數列中，為其前n項和，若，，則（

）A．786 B．240 C．486 D．72642．記等比數列的前項和為.若，，則（

）A． B． C． D．43．設等比數列的前項和是.已知,，則.44．已知是正項等比數列的前項和，，則的最小值為.重難點8與的關系45．已知等比數列的前項和為，且，則（

）A．3 B．6 C．9 D．1846．已知數列的前項和為．若，，則（

）A． B． C． D．47．等比數列的前項和，則的值為.48．已知等比數列的前n項和為，且，則．49．已知數列的前n項和為，，．(1)證明：為等比數列，并寫出它的通項公式：(2)若正整數m滿足不等式，求m的最大值．50．已知數列，的前n項和分別為，，且，．(1)求數列的通項公式；(2)求證：當時，．重難點9等比數列的實際應用51．某家庭打算為子女儲備“教育基金”，計劃從2021年開始，每年年初存入一筆專用存款，便這筆款到2027年底連本帶息共有40萬元收益.如果每年的存款數額相同，依年利息并按復利計算（復利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息），則每年應該存入約（

）萬元.（參考數據：，）A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．652．有一個人進行徒步旅行，他6天共走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半.則此人第4天和第7天共走了里.53．一個小球從54米高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的處，則小球第2次落地時，經過的路程是米；小球第次落地時，經過的路程是米．54．我國某西部地區(qū)要進行沙漠治理，已知某年（第1年）年底該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中是沙漠.從第2年起，該地區(qū)進行綠化改造，每年把原有沙漠的改造成綠洲，同時原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠.設綠洲面積為萬平方千米，第年綠洲面積為萬平方千米.(1)求數列的通項公式；(2)至少經過幾年，綠洲面積可超過（參考數據：）？重難點10等比數列與數學文化的結合55．我國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題（意為）：“有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”那么，此人第1天走的路程是（

）A．24里 B．60里 C．192里 D．216里56．《塵劫記》是元代一部經典的古典數學著作，里面記載了一個有趣的數學問題：假設每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個月后，每對老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類推.記每個月新生的老鼠數量為，每個月老鼠的總數量為，數列，的前項和分別為，，可知，，，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．57．公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗58．南宋數學家楊輝在《詳解九章算術》中提出了高階等差數列的問題，即一個數列本身不是等差數列，但從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列（則稱數列為一階等差數列），或者仍舊不是等差數列，但從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列（則稱數列為二階等差數列），依次類推，可以得到高階等差數列．類比高階等差數列的定義，我們亦可定義高階等比數列，設數列1，1，2，8，64…是一階等比數列，則該數列的第8項是（

）．A． B． C． D．59．明代朱載堉發(fā)現的十二平均律，又稱“十二等程律”，是世界上通用的一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的波長之比完全相同.已知大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應鐘的波長成等比數列，且大呂和林鐘的波長分別是m，n，則夾鐘和南呂的波長之積為（

）A． B．C． D．60．（多選）《塵劫記》是元代一部經典的古典數學著作，里面記載了一個有趣的數學問題：假設每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個月后，每對老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類推.記每個月新生的老鼠數量為，每個月老鼠的總數量為，數列，的前n項和分別為，可知，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．重難點11等差等比的綜合應用61．（多選）已知等比數列的前項和為，且，，成等差數列，則數列的公比可能為（