專題4.1指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)（十二個(gè)重難點(diǎn)突破）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破及混淆易錯(cuò)規(guī)避（人教A版2019必修第一冊）（原卷版）

專題4.1指數(shù)運(yùn)算與指數(shù)函數(shù)知識點(diǎn)1根式1.根式的概念一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.（1）當(dāng)是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),這時(shí),的次方根用符號表示.（2）當(dāng)是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根有兩個(gè),記為,負(fù)數(shù)沒有偶次方根.（3）0的任何次方根都是0,記作.式子叫做根式,其中,且叫做根指數(shù),叫做被開方數(shù).2.根式的性質(zhì)根據(jù)次方根的意義,可以得到:（1）.（2）當(dāng)是奇數(shù)時(shí),;當(dāng)是偶數(shù)時(shí),溫馨提示:中當(dāng)為奇數(shù)時(shí),為偶數(shù)時(shí),,而中.知識點(diǎn)2指數(shù)冪1．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義溫馨提示：（1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不可以理解為個(gè)相乘．（2）對于正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，規(guī)定其底數(shù)是正數(shù)．2．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）; （2）;（3）.3．無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪(是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．溫馨提示：（1）對于無理指數(shù)冪，只需了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．（2）是正無理數(shù))．（3）定義了無理數(shù)指數(shù)冪后，冪的指數(shù)由原來的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．重難點(diǎn)1根式的化簡與求值1．化簡：（

）A．1 B． C． D．2．（多選）若，化簡的結(jié)果可能為（

）A． B． C． D．3．化簡（其中）.4．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．5．若，求的取值范圍．6．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列根式（式中字母都是正數(shù)）：(1)；(2)；(3)．重難點(diǎn)2指數(shù)冪的化簡7．（

）A． B． C． D．8．已知，則．9．計(jì)算與化簡：（1）；（2）．10．化簡或計(jì)算下列各式：(1)(2)11．計(jì)算：(1)；(2)12．計(jì)算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)重難點(diǎn)3條件求值問題13．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．14．已知，則等于（

）A．7 B．9 C．11 D．1315．已知，則的最小值為16．已知，且，求的值．17．已知，求的值．18．已知且，，，則，．知識點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)且)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)闇剀疤崾荆褐笖?shù)函數(shù)解析式的3個(gè)特征：（1）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．（2）自變量的位置在指數(shù)上，且的系數(shù)是1.（3）的系數(shù)是1.知識點(diǎn)4指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的圖形及性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域值域定點(diǎn)過定點(diǎn)單調(diào)性是R上的增函數(shù)是R上的增函數(shù)溫馨提示：（1）當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“上升”的；當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象是“下降”的．（2）指數(shù)函數(shù)且)的圖象恒過點(diǎn)，只要確定了這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可快速地畫出指數(shù)函數(shù)且)的大致圖象．2．圖象位置關(guān)系底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低．（1）在軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，“底大圖高”．作出直線，與圖象的交點(diǎn)從上至下即為底數(shù)從大到小的排列順序．（2）在軸左側(cè)，圖象正好相反．如圖所示的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的大小關(guān)系為.重難點(diǎn)4指數(shù)函數(shù)的辨析與求值19．給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．420．已知函數(shù)，則（

）A．2 B．1 C． D．21．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．22．（多選）下列函數(shù)中，不是指數(shù)函數(shù)的為（

）A． B． C． D．23．已知函數(shù)，則.重難點(diǎn)5求指數(shù)函數(shù)的解析式24．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或 B．C． D．且25．（多選）已知指數(shù)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．26．如果函數(shù)和都是指數(shù)函數(shù)，則（

）A． B．1 C．9 D．827．函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值為．28．函數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則.29．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：①；②.則滿足條件的的一個(gè)解析式為.重難點(diǎn)6求指數(shù)（型）函數(shù)的定點(diǎn)問題30．已知函數(shù)（，）恒過定點(diǎn)，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限31．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．32．函數(shù)恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．33．已知曲線且過定點(diǎn)，若且，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．34．函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)是.35．若函數(shù)（且的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則.重難點(diǎn)7指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用36．函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

37．已知指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

38．函數(shù)①；②；③；④的圖象如圖所示，a，b，c，d分別是下列四個(gè)數(shù)：，，，中的一個(gè)，則a，b，c，d的值分別是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，39．函數(shù)與的圖象如圖所示，則實(shí)數(shù)a的值可能是（

）A．2 B．3 C． D．40．（多選）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

41．（多選）已知，則函數(shù)的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

42．設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，，.已知函數(shù)的圖象如圖所示，求a，b的取值范圍.

重難點(diǎn)8求指數(shù)（型）函數(shù)的定義域問題43．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．44．函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．45．函數(shù)的定義域?yàn)?46．函數(shù)的定義域是．47．求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)．48．求下列函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)；(4)．重難點(diǎn)9指數(shù)（型）函數(shù)的單調(diào)性問題49．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．50．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．51．已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為.52．已知奇函數(shù)在R上為增函數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．53．設(shè)，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．354．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)55．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．重難點(diǎn)10指數(shù)冪比較大小及解不等式56．設(shè)，則（

）A． B．C． D．57．已知，則下列正確的是（

）A． B． C． D．58．已知，，，則（

）A． B．C． D．59．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．60．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．61．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．62．已知為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷并用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；(3)解關(guān)于的不等式.重難點(diǎn)11求指數(shù)（型）函數(shù)的值域問題63．函數(shù)，的值域是（

）A． B． C． D．64．若函數(shù)（且）在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C．3 D．65．已知函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的值為.66．求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)；(2)；(3)；(4).67．已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值68．已知指數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)．求函數(shù)的值域．69．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的值域；(2)若在上最小值為，求實(shí)數(shù)的值.重難點(diǎn)12恒成立問題70．已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．71．已知函數(shù)(其中是常數(shù))．若當(dāng)時(shí)，恒有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．72．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍.73．已知函數(shù)．(1)求證：是奇函數(shù)；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；(3)