初中八年級數(shù)學(xué)課件-課題學(xué)習(xí)：最短路徑問題

13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問題第十三章軸對稱

八年級數(shù)學(xué)上（RJ）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題.（難點）2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．（重點）導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入1.如圖，連接A、B兩點的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因為兩點之間，線段最短2.如圖，點P是直線l外一點，點P與該直線l上各點連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因為垂線段最短講授新課牧人飲馬問題一“兩點的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱之為最短路徑問題.

現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問題”.AB①②③PlABCD

如圖，牧馬人從點A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問題作圖問題：在直線l上求作一點C,使AC+BC最短問題.實際問題ABl問題1

現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求.連接AB,與直線l相交于一點C.問題2

如果點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，又應(yīng)該如何解決？想一想：對于問題2，如何將點B“移”到l

的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？ABl利用軸對稱，作出點B關(guān)于直線l的對稱點B′.方法揭曉作法：（1）作點B

關(guān)于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點C．則點C即為所求．ABlB′C問題3你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點C′(與點C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′練一練：如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個村莊.欲在l上的某處修建一個水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMPQlCMPQlDMD例1

如圖，已知點D、點E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點，AD=5，點F是AD邊上的動點，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定典例精析解析：△ABC為等邊三角形，點D是BC邊的中點，即點B與點C關(guān)于直線AD對稱.∵點F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長即為BF+EF的最小值.B方法總結(jié)：此類求線段和的最小值問題，找準(zhǔn)對稱點是關(guān)鍵，而后將求線段長的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長，而再根據(jù)已知條件求解.例2

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長最小時點C的坐標(biāo)是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B點關(guān)于y軸對稱點B′，連接AB′，交y軸于點C′，此時△ABC的周長最小，然后依據(jù)點A與點B′的坐標(biāo)可得到BE、AE的長，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．B′C′EA方法總結(jié)：求三角形周長的最小值，先確定動點所在的直線和固定點，而后作某一固定點關(guān)于動點所在直線的對稱點，而后將其與另一固定點連線，連線與動點所在直線的交點即為三角形周長最小時動點的位置.方法歸納解決最短路徑問題的方法

在解決最短路徑問題時，我們通常利用軸對稱、平移等變換把未知問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題，從而作出最短路徑的選擇.1.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP=10．在OA上有一點Q，OB上有一點R．若△PQR周長最小，則最小周長是（）A．10B．15C．20D．30A2.如圖，邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點均在格點上，點A、B的坐標(biāo)分別是A（3，2），B（1，3）．點P在x軸上，當(dāng)PA+PB的值最小時，在圖中畫出點P．xyOBAB'P課堂小結(jié)原理線段公理和垂線段最短牧馬人飲馬問題解題方法最短路徑問題軸對稱知識+線段公理（1）如圖①，在AB直線一側(cè)C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D、P三點組成的三角形的周長最短，找出此點并說明理由．（2）如圖②，在∠AOB內(nèi)部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N，四點組成的四邊形的周長最短，找出E、F兩點，并說明理由．拓展提升ABCDPOABNO