新教材高考數(shù)學(xué)數(shù)列專題8. 數(shù)列中的高斯取整函數(shù)研究1

數(shù)列中的高斯取整函數(shù)研究一．基本性質(zhì).1.高斯取整函數(shù)：表示實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，即是不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù).，常稱為的“小數(shù)部分”或“尾數(shù)部分”.2.高斯函數(shù)圖像及小數(shù)部分圖像.取整函數(shù)的圖象.小數(shù)函數(shù)：的圖象性質(zhì)：=1\*GB3①定義域：；性質(zhì)：=1\*GB3①定義域：；=2\*GB3②值域：；=2\*GB3②值域：；=3\*GB3③圖象：臺(tái)階型線段.=3\*GB3③周期性：.3.函數(shù)性質(zhì)：顯然三者之間的關(guān)系：且（1）高斯函數(shù)是一個(gè)分段表達(dá)的不減的無界函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，有（2），（3）（4）若，則，，其中（5），有（6）（7）若整數(shù)滿足（，，是整數(shù)且），則（8）是正實(shí)數(shù)，是正整數(shù)，則在不超過的正整數(shù)中，的倍數(shù)共有個(gè).注：上述結(jié)論中，第（7）條結(jié)論非常重要，它刻畫了高斯取整函數(shù)與帶余除法的基本練習(xí)，因此，我們就可通過帶余除法和同余的基本關(guān)系，通過分組求和去掉從而計(jì)算出結(jié)果，這是強(qiáng)基和聯(lián)賽一試中一類常見問題.4.補(bǔ)充知識(shí).同余的概念與性質(zhì).（1）設(shè)，若、的差被整除，即.我們就說、關(guān)于模同余（同余于模），或簡稱同余，記作：.否則，稱關(guān)于模不同余，記作：.（2）同余的性質(zhì)：（1）自反性：；（2）對(duì)稱性：若，則；（3）傳遞性：若且，則；（4）若，，則；（5）若，，則.特別地，若，則二．高考試題中的應(yīng)用.例1.(2010陜西高考)某學(xué)校要召開學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表，那么各班可推選代表人數(shù)與該班人數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)(表示不大于的最大整數(shù))可以表示為()A.B.C.D.例2.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如．（1）求；（2）求數(shù)列的前1000項(xiàng)和．解：（1）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得．所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．，，．（2）因?yàn)樗詳?shù)列的前項(xiàng)和為．例3．已知數(shù)列滿足，，用表示不超過的最大整數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4解析：因?yàn)?，所以，即，所以，由，可得，，，，則數(shù)列是遞增數(shù)列，，則，則.故選：B.例4．函數(shù)稱為高斯函數(shù)，表示不超過，x的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，且，若，則數(shù)列的2022項(xiàng)和為___________.解析：，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；所以故答案為：4959例5．在①；②公差為，且成等比數(shù)列；③；三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.問題：已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，______.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值.解析：（1）依題意，數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為.若選①，則，解得，所以.若選②，則，解得，所以.若選③，則，所以.（2）若選①，，則當(dāng)時(shí)，有：，所以.若選②，，則當(dāng)時(shí)，有：，所以.若選③，,則當(dāng)時(shí)，有：，所以.例6．為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，.(