二階常系數(shù)齊次線性微分方程的課件

二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解

2/18/20241精選課件ppt一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2/18/20242精選課件ppt二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根2/18/20243精選課件ppt有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為2/18/20244精選課件ppt反之：2/18/20245精選課件ppt有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為2/18/20246精選課件ppt反之：2/18/20247精選課件ppt有一對共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為2/18/20248精選課件ppt定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例12/18/20249精選課件ppt例1

求方程y

-2y

-3y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為r2

-2r–3=0,它有兩個不等的實根r1=-1，r2=3,

其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為y1=e-

x與y2=e3x,所以方程的通解為2/18/202410精選課件ppt

例2

求方程y

-4y

+4y=0

的滿足初始條件y(0)=1，y(0)=4的特解.

解

該方程的特征方程為r2

-4r

+4=0，求得將y(0)=1，y

(0)=4代入上兩式，得C1=1，C2=2，y=

(1+2x)e2x.其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為y1=e2x與y2=xe2x，所以通解為因此，所求特解為它有重根r=2.2/18/202411精選課件ppt解特征方程為解得故所求通解為例22/18/202412精選課件ppt例3

求方程2y

+2y

+3y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為2r2

+2r

+3=0，它有共軛復(fù)根對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解為所以方程的通解為2/18/202413精選課件ppt例4

求方程y

+4y=0

的通解.

解

該方程的特征方程為r2

+4=0，它有共軛復(fù)根r1,2=2i.即a=0，b=2.對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解y1=cos2x.y2=sin2x.所以方程的通解為2/18/202414精選課件ppt2/18/202415精選課件ppt三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征方程的根通解中的對應(yīng)項2/18/202416精選課件ppt注意n次代數(shù)方程有n個根,而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項,且每一項各一個任意常數(shù).2/18/202417精選課件ppt特征根為故所求通解為解特征方程為例42/18/202418精選課件ppt二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)2/18/202419精選課件ppt2/18/202420精選課件ppt思考題求微分方程