復(fù)變函數(shù)與場論簡明教程：矢量分析與場論

矢量分析與場論

6.1矢量分析6.2場6.3數(shù)量場的梯度6.4矢量場的散度6.5矢量場的旋度6.6哈密頓算子及拉普拉斯算子6.7有勢場、管形場和調(diào)和場

6.1矢量分析

1.常矢與變矢

矢量是既有大小又有方向的量。在矢量代數(shù)中，主要研究常矢的運(yùn)算。例如，設(shè)a，b，c為矢量，λ為一實(shí)數(shù)，則：

（1）模：a的大小稱為a的模，記為|a|。

（2）和矢量：a+b表示按三角形法則（將b的起點(diǎn)移至a的終點(diǎn)）所形成的自a的起點(diǎn)至b的終點(diǎn)所確定的矢量。（3）矢量與實(shí)數(shù)的數(shù)乘運(yùn)算：λa是這樣一個(gè)矢量，其模等于|λ|·|a|，當(dāng)λ>0時(shí)其方向與a一致，當(dāng)λ<0時(shí)其方向與a相反，并約定λ0=0，其中0為零矢量，其大小為0，方向可以為任意方向。

（4）內(nèi)積（點(diǎn)乘）：約定a·b=|a||b|cos〈a,b〉，其中〈a,b〉表示a和b的夾角,a·b=0的充分且必要條件是a與b垂直。（5）外積（差乘）：a×b是這樣一個(gè)向量，其大小|a×b|=|a||b|sin〈a,b〉，其方向符合右手系法則,a×b=0的充分且必要條件是a與b共線，即存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使a=λb。（6）混合積：先做內(nèi)積后做外積的運(yùn)算稱為混合積，即a·(b×c)，a·(b×c)=0的充分且必要條件是a，b與

c共面。

矢量分析主要研究變矢，即模或方向至少其一會(huì)改變的矢量。例如，如圖6.1所示，質(zhì)點(diǎn)M沿曲線l運(yùn)動(dòng)，其速度v是變矢，其加速度也是變矢。圖6.1

2.矢性函數(shù)

定義變矢A隨數(shù)性變量t而變化，即

A=A(t)

(6.1.1)

則稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)矢性函數(shù)A(t)在Oxyz直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)（即它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影）都是t的函數(shù)：Ax(t)，Ay(t)，Az(t)。所以，矢性函數(shù)A(t)的坐標(biāo)表示式為

A=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k

(6.1.2)

其中,i，j，k為沿x，y，z三個(gè)坐標(biāo)軸正向的單位矢量。定義把A(t)的起點(diǎn)取在坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，矢量A(t)的終點(diǎn)M就描繪出一條曲線l，這條曲線叫做矢性函數(shù)A(t)的矢端曲線，亦叫做矢性函數(shù)A(t)的圖形，如圖6.2所示。同時(shí)，稱式(6.1.1)或式(6.1.2)為此曲線的矢量方程。圖6.2

定義起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)為M(x,y,z)的矢量OM叫做點(diǎn)M（對于O點(diǎn)）的矢徑，常用r表示：

r=OM=xi+yj+zk

定義當(dāng)把矢性函數(shù)A(t)的起點(diǎn)取在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，A(t)實(shí)際上就成為其終點(diǎn)M(x,y,z)的矢徑。因此，A(t)的三個(gè)坐標(biāo)Ax(t)，Ay(t)，Az(t)就對應(yīng)地等于其終點(diǎn)M的三個(gè)坐標(biāo)x，y，z，即有

x=Ax(t)，y=Ay(t)，z=Az(t)

(6.1.3)

此式就是曲線l的以t為參數(shù)的參數(shù)方程。［例1］圓柱螺旋線的參數(shù)方程為x=acost，

y=asint，z=bt，求其矢量方程。

解矢量方程為

r=acosti+asintj+btk

［例2］已知擺線的矢量方程為r=a(t－sint)i+

a(1－cost)j，求其參數(shù)方程。

解參數(shù)方程為

x=a(t－sint),y=a(1－cost)

3.矢性函數(shù)的極限

定義設(shè)矢性函數(shù)A(t)在點(diǎn)t0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義（但在t0處可以沒有定義），A0為一常矢。若對于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正數(shù)δ，使當(dāng)t滿足0<|z－z0|<δ時(shí)，就有|A(t)－A0|<ε成立，則稱A0為矢性函數(shù)A(t)當(dāng)t→t0時(shí)的極限，記作。設(shè)u(t)為數(shù)性函數(shù)，A(t)，B(t)為矢性函數(shù)，且當(dāng)t→t0時(shí)，u(t)，A(t)，B(t)均有極限存在，則矢性函數(shù)的極限運(yùn)算法則如下：(6.1.4)(6.1.5)(6.1.6)(6.1.7)設(shè)A=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k，則矢性函數(shù)的極限可歸結(jié)為求三個(gè)數(shù)性函數(shù)的極限：(6.1.8)

4.矢性函數(shù)的連續(xù)性

定義若矢性函數(shù)A(t)在點(diǎn)t0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，而且有(6.1.9)則稱A(t)在t=t0處連續(xù)。

5.矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

定義若矢性函數(shù)A(t)在點(diǎn)t的某一鄰域內(nèi)有定義，且在Δt→0時(shí)其極限存在，則稱此極限為矢性函數(shù)A(t)在點(diǎn)t處的導(dǎo)數(shù)（簡稱導(dǎo)矢），記作dA／dt或A′(t)，即(6.1.10)求矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以歸結(jié)為求三個(gè)數(shù)性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(6.1.11)導(dǎo)矢是一個(gè)矢量，非零導(dǎo)矢是矢端曲線的切向矢量，并始終指向?qū)?yīng)t值增大的一方。其理由如下：設(shè)l為A(t)的矢端曲線，如圖6.3所示。圖6.3［例3］已知擺線的矢量方程為r=a(t－sint)i+

a(1－cost)j，求其導(dǎo)矢。

解導(dǎo)矢為［例4］已知曲線矢量方程為r(t)=t2i+(2t－3)j+(t2－t)k,

求其在t=1處的單位切向矢量。

解曲線的切向矢量，即導(dǎo)矢為

r′(t)=2t

i+2j+(2t－1)k

在t=1處有

r′(1)=2i+2j+k其模故所求單位切向矢量［例5］求曲線

處的切線方程和法平面方程。

解曲線的導(dǎo)矢為

r′(t)=－4sinti+4costj+4k點(diǎn)M的切向矢量為因此，曲線的切線方程為法平面方程為或

6.矢性函數(shù)的微分

定義設(shè)有矢性函數(shù)A=A(t)，稱

dA=A′(t)dt

(6.1.12)

為A(t)在t處的微分。

顯然，當(dāng)dt>0時(shí)，dA與A(t)同向；當(dāng)dt<0時(shí)，dA與A(t)反向，如圖6.4所示。圖6.4［例6］設(shè)r=xi+yj+zk為矢端曲線l的矢徑，研究其微分dr=dxi+dyj+dzk與曲線弧微分ds的關(guān)系以及dr／ds的幾何意義（在無特別申明時(shí)，一般取t值增大的一方為l之正向）。

解若在曲線l上以M0作為計(jì)算弧長s的起點(diǎn)，取一段弧，則其中,當(dāng)M位于l增大一方時(shí),ds取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)，如圖6.5所示。而dr的模由此可見，有

|dr|=|ds|

這表明，矢性函數(shù)的微分的模等于其矢端曲線的弧微分的絕對值。

又由于因此有圖6.5

7.矢性函數(shù)的積分

1）不定積分

在t某個(gè)規(guī)定的區(qū)間I上，若有B′(t)=A(t)，則稱B(t)是A(t)的一個(gè)原函數(shù)。顯然，

A(t)的原函數(shù)有無窮多個(gè)，并且各原函數(shù)之間相差一個(gè)常矢。顯然，矢性函數(shù)A=Ax(t)i+Ay(t)j+Az(t)k的不定積分可以用三個(gè)數(shù)性函數(shù)的不定積分進(jìn)行計(jì)算：(6.1.14)

2）不定積分的性質(zhì)

設(shè)k為非零常數(shù)，a為非零常矢，A(t)，B(t)為矢性函數(shù)，則(6.1.15)(6.1.16)(6.1.17)(6.1.18)(6.1.19)

3）定積分

矢性函數(shù)的定積分與數(shù)性函數(shù)的定積分完全類似。矢性函數(shù)的定積分也可以用三個(gè)數(shù)性函數(shù)的定積分進(jìn)行計(jì)算，即有(6.1.19)

6.2場

1.場的概念

場是物理量的空間函數(shù)，如果對應(yīng)的量是數(shù)量，則稱為數(shù)量場，如果對應(yīng)的量是矢量，則稱為矢量場。既以空間又以時(shí)間為參變量的場，稱為不穩(wěn)定場，否則，稱為穩(wěn)定場。本書只討論穩(wěn)定場（其結(jié)果也適用于不穩(wěn)定場的每一瞬間情況）。由于場是物理的客觀存在，因此它不以坐標(biāo)系的不同而變化，但不同的坐標(biāo)系會(huì)有不同的外部現(xiàn)象。本書主要討論以O(shè)xyz直角坐標(biāo)系表示的空間場或Oxy直角坐標(biāo)系表示的平面場。

2.數(shù)量場

1）數(shù)量場定義

定義在空間中，數(shù)性函數(shù)u是點(diǎn)M(x,y,z)的函數(shù)，即

u=u(M)=u(x,y,z)(6.2.1)

則稱u是空間的一個(gè)數(shù)量場，如圖6.6所示。圖6.6

2）等值面

定義數(shù)性函數(shù)u取相同數(shù)值的點(diǎn)所組成的曲面稱為等值面。

等值面方程為

u(x,y,z)=c(c為常數(shù))

(6.2.2)

當(dāng)c為不同的數(shù)值時(shí)，對應(yīng)不同的等值面，如圖6.7所示。圖6.7不同的等值面互不相交。空間中的每一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)均僅屬于一個(gè)等值面，即

u(x,y,z)=u(x0,y0,z0)

(6.2.3)

同理，在函數(shù)u(x,y)所表示的平面數(shù)量場中，具有相同數(shù)值c的點(diǎn)，就組成此數(shù)量場的等值線：

u(x,y)=c

(6.2.4)［例1］求數(shù)量場u=ln(x2+y2+z2)通過點(diǎn)M(1,0,1)的等面值。

解函數(shù)在點(diǎn)M(1,0,1)處的值為

u=ln(x2+y2+z2)|M=ln2

故通過點(diǎn)M(1,0,1)的等面值為

ln(x2+y2+z2)=ln2

即

x2+y2+z2=2

3.矢量場

1）矢量場定義

定義在空間中，矢性函數(shù)A是點(diǎn)M(x,y,z)的函數(shù)，即

A=A(M)=A(x,y,z)

(6.2.5)

則稱A是空間的一個(gè)矢量場，如圖6.8所示。圖6.8進(jìn)一步，它的坐標(biāo)表示式為(6.2.6)其中，函數(shù)Ax，Ay，Az為矢量A的三個(gè)坐標(biāo)，后面我們均假定它們?yōu)閱沃怠⑦B續(xù)且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

2）矢量線

定義曲線上每一點(diǎn)都和對應(yīng)于該點(diǎn)的矢量A相切，則稱該曲線為矢量場A的矢量線，如圖6.9所示。

靜電場中的電力線、磁場中的磁力線、流速場中的流線等，都是物理現(xiàn)象中矢量線的例子。

已知矢量場A=Axi+Ayj+Azk，則矢量線方程的求法如下。圖6.9矢量線l上任一點(diǎn)M(x,y,z)的矢徑為r=xi+yj+zk，則

dr=dxi+dyj+dzk

的方向是矢量線l的切線方向。它必定在點(diǎn)M處與場矢量

A=Axi+Ayj+Azk

共線，因此有(6.2.7)對場中的任一曲線C（非矢量線），其上的每一點(diǎn)處，有且僅有一條矢量線通過，這些矢量線全體構(gòu)成一張通過曲線C的曲面，稱為矢量面，如圖6.10所示。當(dāng)C為一閉合曲線時(shí)，該矢量面就構(gòu)成一管形曲面，又稱之為矢量管，如圖6.11所示。圖6.10圖6.11［例2］設(shè)點(diǎn)電荷q處于坐標(biāo)原點(diǎn)，研究其電力線。解點(diǎn)電荷q在其周圍空間的任一點(diǎn)M(x,y,z)處所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為其中,ε為介電常數(shù)，r=xi+yj+zk,為M點(diǎn)的矢徑，

則電力線所應(yīng)滿足的微分方程為這等價(jià)于解之得C1，C2為任意常數(shù)這就是電場強(qiáng)度E的矢量線方程，即電力線。當(dāng)q為正時(shí)，電力線向外，如圖6.12所示；當(dāng)q為負(fù)時(shí)，電力線向內(nèi)。圖6.12［例3］求矢量場A=i+j+(x+2y)k通過點(diǎn)M(2,1,1)的矢量線方程。

解矢量線所滿足的微分方程為由dx=dy解得x=y+C1。又由或解得故矢量線族的方程為于是得所求矢量線方程為

6.3數(shù)量場的梯度

1.方向余弦

定義設(shè)矢量A=Axi+Ayj+Azk，并設(shè)為矢量A的模，則(6.3.1)在這一方向的單位矢量lo為(6.3.2)易知(6.3.3)［例1］證明A=2i+5j+3k與B=6i+15j+9k相互平行。

證明

A的方向余弦為B的方向余弦為

2.方向?qū)?shù)

1）沿射線方向的方向?qū)?shù)

定義設(shè)M0為數(shù)量場u=u(M)中的一點(diǎn)，在沿射線l方向上取一動(dòng)點(diǎn)M，記M0M=Δl，如圖6.13所示，若當(dāng)M→M0時(shí)，比式的極限存在，則稱此極限為u(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記作即圖6.13(6.3.4)

定理一若函數(shù)u=u(x,y,z)在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處可微，則u在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必存在，且有(6.3.5)其中，是在點(diǎn)M0處的偏導(dǎo)數(shù)；cosα，cosβ，cosγ為l方向的方向余弦。，，證明設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x0+Δx，y0+Δy,z0+Δz)，因u在點(diǎn)M0可微，故有將上式兩端除以Δl，得取極限，得［例2］求函數(shù)在點(diǎn)M(1,0,1)處

沿l1=i+2j+2k及l(fā)2=2i+j－2k所在方向的方向?qū)?shù)。

解在點(diǎn)M(1,0,1)處有l(wèi)1的方向余弦為l2的方向余弦為因此可得［例3］設(shè)有數(shù)量場u=xyz，求在點(diǎn)M(3,3,3)處沿曲面2z－xy=－3下側(cè)法線方向的方向?qū)?shù)。解在點(diǎn)M(3,3,3)處有記曲面為F(x,y,z)=2z－xy+3，則此曲面在點(diǎn)M(3,3,3)處的偏導(dǎo)為

Fx|M=－y|M=－3,Fy|M=－x|M=－3,Fz|M=2

則n=3i+3j－2k為曲面下側(cè)法向量，其方向余弦為于是所求的方向?qū)?shù)

2）沿曲線方向的方向?qū)?shù)

定義若在有向曲線C上取一點(diǎn)M，沿C之正向取一點(diǎn)M1，記弧長，如圖6.14所示。若當(dāng)M→M1時(shí)，

比式

定理二若在點(diǎn)M處函數(shù)u可微、曲線C光滑，則有證明由于在點(diǎn)M處函數(shù)u可微、曲線C光滑，

定理三若在點(diǎn)M處函數(shù)可微、曲線C光滑，在點(diǎn)M處沿C之正向作一與C相切的射線l，如圖6.14所示，則函數(shù)u沿l方向的方向?qū)?shù)就等于函數(shù)u對s的全導(dǎo)數(shù)，即(6.3.7)

證明在曲線C上，函數(shù)u可以表示為以s為參數(shù)的形式：u=u［x(s),y(s),z(s)］

在點(diǎn)M處，由于函數(shù)u可微、曲線C光滑，按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，可得u對s的全導(dǎo)數(shù)又由于恰是曲線C之正向切線l的方向余弦，可將其寫成cosα，cosβ，cosγ，則推論若在點(diǎn)M處函數(shù)u可微、曲線C光滑，則有即函數(shù)u在點(diǎn)M處沿曲線C（正向）的方向?qū)?shù)與函數(shù)u在點(diǎn)M處沿曲線的切線方向（正向）的方向?qū)?shù)相等。［例4］求數(shù)量場u=x2z+xy+z2在點(diǎn)M(1,－1,1)處沿曲線x=t,y=t2,z=t3朝t增大一方的方向?qū)?shù)。

解根據(jù)上述推論，所求方向?qū)?shù)等于函數(shù)u在點(diǎn)M處沿曲線切線正向的方向?qū)?shù)。曲線上點(diǎn)M所對應(yīng)的參數(shù)為t=1，從而在點(diǎn)M處沿所取方向，曲線的切線方向?qū)?shù)為又于是所求方向?qū)?shù)為

3.梯度

1）梯度定義

根據(jù)式(6.3.5)，可將u在點(diǎn)M0處沿l方向的方向?qū)?shù)表達(dá)成兩個(gè)矢量的點(diǎn)積形式，即其中，lo=cosαi+cosβj+cosγk，恰為l方向的單位矢量。取則式(6.3.5)可寫為(6.3.9)上式表明：G在l方向上的投影正好等于函數(shù)u在該方向上的方向?qū)?shù)，如圖6.15所示。當(dāng)方向G與l的方向一致時(shí)，有cos(G,lo)=1，此時(shí)方向?qū)?shù)取得最大值，其值為

我們把G稱為u(M)在給定點(diǎn)處的梯度。圖6.15

定義數(shù)量場u(M)在點(diǎn)M處存在這樣一個(gè)矢量G，其方向?yàn)閡(M)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模是這個(gè)最大變化率的數(shù)值,稱矢量G為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M處的梯度，記作gradu，即

grad

u=G梯度是一個(gè)矢量，它是數(shù)量場u在點(diǎn)M處的固有特性，由u的分布所決定，與坐標(biāo)系無關(guān)。在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式為(6.3.10)

2）梯度性質(zhì)

梯度的兩個(gè)重要性質(zhì)如下：

（1)由式(6.3.9)可知，數(shù)量場u(M)在方向l上的方向?qū)?shù)是梯度grad

u在l方向上的投影。

（2)數(shù)量場u(M)在點(diǎn)M處的梯度方向，垂直于過該點(diǎn)的等值面（線），且指向函數(shù)u(M)增大的方向。性質(zhì)（2）的理由如下：由前所述，等值面上的方向

導(dǎo)數(shù)為0，若以lc表示等值面（線）的切向矢量，則有

，因此可知gradu與lc垂直。又因?yàn)樵谔荻鹊姆较蚩色@得最大的方向?qū)?shù)，因此沿梯度方向的方向?qū)?shù)|gradu|=|G|>0，即梯度方向指向函數(shù)u(M)增大的方向.圖6.16給出了等值線與梯度的關(guān)系。圖6.16

3）梯度運(yùn)算公式

關(guān)于梯度運(yùn)算的基本公式如下：［例5］數(shù)量場u=x2yz3在點(diǎn)M(2,－1,1)處沿哪個(gè)方向的方向?qū)?shù)最大？這個(gè)最大值又是多少？

解此數(shù)量場u在該點(diǎn)處的梯度為故u沿該梯度方向的方向?qū)?shù)為最大值，該方向的方向余弦為方向?qū)?shù)最大值為［例6］求平面數(shù)量場u(x,y)=(x+1)2+y2沿曲線y=x2過點(diǎn)M(2,4)的切線方向的方向?qū)?shù)及梯度。

解該點(diǎn)梯度為曲線在點(diǎn)M切線方向的單位矢量為方向?qū)?shù)為［例7］求曲面x2y+2xz=4在點(diǎn)M(1,－2,3)處的法線方程和切平面方程。

解所給曲面可視為數(shù)量場u=x2y+2xz，當(dāng)u取值為4時(shí)的一張等值面。因此，在其點(diǎn)M處的梯度，就是曲面在該點(diǎn)的法矢量。場u在點(diǎn)M處的梯度為故所求的法線方程為所求切平面方程為

2(x－1)+(y+2)+2(z－3)=0

或

2x+y+2z－6=0

［例8］設(shè)為點(diǎn)M(x,y,z)的矢徑r=xi+yj+zk的模，求grad

r，并求點(diǎn)M(1,0,1)處沿l=i+2j+2k所在方向的方向?qū)?shù)。解同樣于是即grad

r為單位矢徑。在點(diǎn)M(1,0,1)處，有又l方向的單位矢量為因此［例9］設(shè)有位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q，在其周圍空間的任一點(diǎn)M(x,y,z)處所產(chǎn)生的電位為，其中,ε為介電常數(shù),r=xi+yj+zk，r=|r|，試求電位v的梯度。解

6.4矢量場的散度

1.有向曲面

我們?nèi)《p側(cè)曲面S的一側(cè)作為正側(cè)，另一側(cè)作為負(fù)側(cè)，這種取定了正側(cè)的曲面，叫做有向曲面，如圖6.17所示。通常，我們規(guī)定有向曲面S的方向?yàn)榍嫱夥ň€n所指的方向。如果曲面是封閉的，則取其外側(cè)為正側(cè)，如圖6.18所示。圖6.17圖6.18

2.通量

1）通量定義

定義在有向曲面S上取一曲面元素dS，并以dS表示其面積，

no表示其單位法矢量，因此有dS=nodS。在矢量場A(M)中，沿有向曲面S的曲面積分(6.4.1)叫做矢量場A(M)穿過曲面S的通量，其中An=A·no為A在no上的投影，如圖6.19所示。圖6.19事實(shí)上，我們在物理學(xué)中也遇到通量的概念。例如，在電位移矢量D分布的電場中，穿過曲面S的電通量為在磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B分布的磁場中，穿過曲面S的磁通量為

2）通量疊加性

若則有(6.4.2)

3）直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式

設(shè)A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，又則通量可以寫成(6.4.3)

4）正源和負(fù)源

對于dS上的通量dΦ=A·dS，當(dāng)A從dS的負(fù)側(cè)穿到正側(cè)時(shí)，A與no相交成銳角，此時(shí)dΦ>0，為正通量，如圖6.20(a)所示；反之，當(dāng)A從dS的正側(cè)穿到負(fù)側(cè)時(shí)，A與no相交成鈍角，此時(shí)dΦ<0，為負(fù)通量，如圖6.20(b)所示。圖6.20對于總通量一般理解為從正側(cè)穿過曲面S

的正通量與負(fù)通量的代數(shù)和。設(shè)S為一封閉曲面，此時(shí)積分在無特別申明時(shí)，即指沿S

的外側(cè)。此時(shí)通量為當(dāng)Φ>0，我們稱S

內(nèi)有正源；當(dāng)Φ<0，我們稱S

內(nèi)有負(fù)源。這兩種情況合稱為S內(nèi)有源。當(dāng)Φ=0時(shí)，我們不能斷言S內(nèi)無源。因?yàn)檫@時(shí)，在S

內(nèi)可能出現(xiàn)既有正源又有負(fù)

源，二者恰好相互抵消而使得Φ=0的情況。［例1］設(shè)矢量場為r=xi+yj+zk，求矢量場穿過以下曲面S的通量Φ：

(1)S為上半球面x2+y2+z2=a2(z>0)；

(2)S為封閉球面x2+y2+z2=a2；

(3)S為圓錐面x2+y2=z2及平面z=H(H>0)所圍成的封閉

曲面。解(1)S的法矢n與r同指向(2)同上，S的法矢n與r同指向

(3)以S1表示曲面S的平面部分，以S2表S的錐面部分，則對于右端第一個(gè)積分對于右端第二個(gè)積分，注意到在S2上其法矢量n=2xi+2yj－2zk，與r垂直，因此綜上，有

[例2］在點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場中，任何一點(diǎn)M處的電位移矢量為，其中r

是點(diǎn)電荷q

到點(diǎn)M

的距離，r=xi+yj+zk。設(shè)S

為以點(diǎn)電荷為中心，R為半徑的球面，求從內(nèi)穿出S的電通量Φ。解在球面S上恒有r=R，且法矢量n=2xi+2yj+2zk,與

r的方向一致，所以

3.散度

1）散度定義

定義設(shè)有矢量場A(M)，在場中一點(diǎn)M的某個(gè)鄰域作一包含M點(diǎn)在內(nèi)的任一閉曲面ΔS，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)棣う?，以ΔV表示其體積，以ΔΦ表示從其內(nèi)穿出ΔS的通量。若當(dāng)ΔΩ以任意方向縮向M

點(diǎn)時(shí)，比式的極限存在，則稱此極限為矢量場A(M)在點(diǎn)M處的散度，記作divA，即(6.4.4)

2）直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式

與梯度一樣，散度由場的特性決定，與坐標(biāo)系無關(guān)。對于矢量場A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其在直角坐標(biāo)系下任一點(diǎn)M(x,y,z)處的散度為(6.4.5)

證明由奧氏公式設(shè)M*為在ΔΩ內(nèi)的某一點(diǎn)，則由中值定理有因此當(dāng)ΔΩ縮向M點(diǎn)時(shí)，

M*就趨于點(diǎn)M,所以

3）通量和散度的關(guān)系

通過奧氏公式，可以將通量寫成如下形式：(6.4.6)因此，穿過封閉曲面S的通量，等于S所圍的區(qū)域Ω上的散度在Ω上的三重積分。［例4］在點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的靜電場中，求電位移矢量D在任何一點(diǎn)M處的散度divD。

解取點(diǎn)電荷所在之點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。于是有所以可見，除點(diǎn)電荷q所在的原點(diǎn)（r=0）外，電位移D的散度處處為零，即為一無源場。［例5］已知A=(axz+x2)i+(by+xy2)j+(z－z2+cxz－2xyz)k，試確定a,b,c,使得A是一個(gè)無源場。

解

divA=az+2x+b+2xy+1－2z+cx－2xy

=(a－2)z+(2+c)x+b+1

若A是一個(gè)無源場，則divA=0，因此

a－2=0,2+c=0,b+1=0

即a=2,b=－1,c=－26.5矢量場的旋度

1.閉合有向曲線

有向曲線是指設(shè)定了正向和負(fù)向的曲線。對閉合有向曲線而言，一般取符合“右手螺旋法則”的方向?yàn)檎?。在本?jié)討論中，我們規(guī)定有向曲線的切向矢量t恒指向我們研究問題的一方。

2.環(huán)量

1）環(huán)量定義

定義在有向曲線l上取一弧元素dl，以dl表示其長，to表示其單位法矢量，因此有dl=todl。矢量場A(M)沿場中閉合有向曲線l的曲線積分(6.5.1)在實(shí)際中，我們經(jīng)常遇到環(huán)量的概念。例如，在磁場強(qiáng)度H(M)所構(gòu)成的磁場中，根據(jù)安培環(huán)路定律，磁場的環(huán)線積分等于穿過環(huán)線l內(nèi)部的電流I，即有：又例如，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線l運(yùn)轉(zhuǎn)一周時(shí)，場力F所作的功可用積分表示為

2）直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式

在直角坐標(biāo)系中,設(shè)A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，又

dl=dxi+dyi+dzi

則環(huán)量可以寫成(6.5.2)［例1］設(shè)有平面矢量場A=－yi+xj，l為場中的星形線x=Rcos3θ,y=Rsin3θ,求此矢量場沿l

正向的環(huán)量Γ。解［例2］一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在力場F=xi+yj+zk的作用下，沿螺旋線x=acost,y=asint,z=bt運(yùn)動(dòng)，求其從t=0到t=2π時(shí)所做的功。

解dω=F·dr=F

·(dxi+dyj+dzk)=Fxdx+Fydy+Fzdz

3.環(huán)量面密度

1）環(huán)量面密度定義

定義設(shè)M為矢量場A中的一點(diǎn)，在M點(diǎn)處取定一個(gè)方向n，再過M點(diǎn)任作一微小曲面ΔS,以n為其在M點(diǎn)處的法矢;對此曲面，我們以ΔS表示其面積，其周界Δl之正向取

作與n構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，則矢量場沿Δl之正向的環(huán)量ΔΓ與面積ΔS之比.則稱其為矢量A在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)量面密度，記作(6.5.3)

2）直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式

在直角坐標(biāo)系中，設(shè)A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，又設(shè)cosα，cosβ，cosγ為ΔS在M點(diǎn)處的法矢n的方向余弦，則A在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)量面密度為(6.5.4)

證明由斯托克斯公式有設(shè)M*為ΔS上某一點(diǎn)，按積分中值定理有當(dāng)ΔS→M時(shí)，有M*→M，于是得式(6.5.4)。［例3］求矢量場A=x(z－y)i+y(x－z)j+z(y－x)k在點(diǎn)M(1,2,1)處沿方向n=i+2j+3k的環(huán)量面密度。

解由n=i+2j+3k得又P=x(z－y),Q=y(x－z),R=z(y－x)，因而

4.旋度

1）旋度定義

根據(jù)式(6.5.4)，可將A在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)量面密度表達(dá)成兩個(gè)矢量的點(diǎn)積形式，即其中，no=cosαi+cosβj+cosγk,恰為n方向的單位矢量。取則式(6.5.4)可寫為(6.5.5)(6.5.6)

定義若在矢量場A中的一點(diǎn)M處存在這樣的一個(gè)矢量R，矢量場A在點(diǎn)M處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，這個(gè)最大的數(shù)值，正好就是|R|，則稱矢量R為矢量場A在點(diǎn)M處的旋度，記作rot

A，即

rotA=R可見，旋度矢量在數(shù)值和方向上表示出了最大的環(huán)量面密度。旋度矢量在任一方向上的投影，就等于該方向上的環(huán)量面密度，即有

μn=rotA·no

(6.5.7)

例如，在磁場H中，旋度rotH的方向是最大電流密度的方向，其模即為最大電流密度的數(shù)值，而且rotH在任一方向上的投影就是該方向上的電流密度。

2）直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式

旋度的上述定義，是與坐標(biāo)系無關(guān)的。在直角坐標(biāo)系中，有或(6.5.9)(6.5.8)

3）環(huán)量和旋度的關(guān)系

通過斯托克斯公式，可以將通量寫成如下形式：(6.5.10)

4）雅可比矩陣

定義對矢量場A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，稱為矢量場A的雅可比（Jacobi）矩陣，等號(hào)左端的DA是其記號(hào)。將此矩陣與散度計(jì)算公式和旋度計(jì)算公式［例4］求矢量場A=x(z－y)i+y(x－z)j+z(y－x)k在點(diǎn)M(1,2,1)處的旋度，并利用旋度求其沿方向n=i+2j+3k的環(huán)量面密度。

解由P=x(z－y),Q=y(x－z),R=z(y－x)有又n=i+2j+3k的單位矢量為故［例5］求矢量場A=xy2z2i+z2sinyj+x2eyk的散度和旋度。解

［例6］在點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的靜電場中，求電位移矢量D在任何一點(diǎn)M處的旋度rotD。

解設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn),此時(shí)，其中

r=xi+yj+zk，

r=|r|,則有因此

6.6哈密頓算子及拉普拉斯算子

由于場的特性往往需要考慮微分運(yùn)算，因此引入哈密頓（Hamilton）算子：哈密頓算子也稱算子（讀作“那勃勒(Nabla)”），它是一個(gè)矢性微分算子，在運(yùn)算中既具有微分運(yùn)算又具有矢量的雙重特性。其運(yùn)算規(guī)則為因此，梯度、散度和旋度可用算子表示為此外，引入拉普拉斯（Laplace）算子：記號(hào)Δ可讀作拉普拉遜（Laplacian）。此時(shí)

6.7有勢場、管形場和調(diào)和場

1.有勢場

定義設(shè)有矢量場A，若存在單值函數(shù)v滿足(6.7.1)則稱此矢量場為有勢場，稱v為這個(gè)場的勢函數(shù)。

定理一矢量場A為有勢場的充要條件是A為無旋場，即。

證明（1）必要性設(shè)A=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,

如果A為有勢場，則存在函數(shù)v(x,y,z)，它滿足即有假定P,Q,R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因此有同理，有所以在矢量場內(nèi)處處滿足 （2）充分性設(shè)在場中處處有，則由斯托克斯公式可知，對于場中的任何閉合曲線l，都有于是有因積分與路徑無關(guān)，故這個(gè)積分可以在直線段MN上取。這時(shí)，y與z均為常數(shù)，從而dy=0，dz=0，即按積分中值定理有因此可得同理可證，于是從而采用從M0(x0,y0,z0)經(jīng)M1(x,y0,z0)，M2(x,y,z0)到M(x,y,z)的路徑：

推論若A為保守場，v為其勢函數(shù)，則積分

證明因A為保守場，所以曲線積分與路徑無關(guān)，設(shè)M0為場中任一點(diǎn)，于是［例1］驗(yàn)證矢量場A=2xyz2i+(x2z2+zcosy)j+2x2yzk

為有勢場，并求其勢函數(shù)。

解由A的雅可比矩陣得故A為有勢場。因此勢函數(shù)全體為

C為常數(shù)［例2］驗(yàn)證A=2xyz3i+x2z3j+3x2yz2k為保守場，并計(jì)算曲線積分，其中l(wèi)

是從A(1,4,1)到B(2,3,1)的任一路徑。

解由A的雅可比矩陣得故A為保守場。

取M0(0,0,0)，M1(x,0,0)，M2(x,y,0)，