北交通信系統(tǒng)原理主要知識點(diǎn)

2學(xué)問點(diǎn)及層次確知信號時(shí)－頻域分析現(xiàn)代通信系統(tǒng)周期信號的傅氏級數(shù)表示和非周期信號的傅氏積分。幾個簡潔且常用的傅氏變換對及其互易性。信號與系統(tǒng)特征－卷積相關(guān)－維鈉－辛欽定理。隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特征二維隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征。廣義平穩(wěn)特征、自相關(guān)函數(shù)與功率譜特點(diǎn)。高斯過程的統(tǒng)計(jì)特征。高斯型白噪聲統(tǒng)計(jì)特征抱負(fù)白噪聲及限帶高斯白噪聲特征。窄帶高斯白噪聲主要統(tǒng)計(jì)特征。以上三個層次是一個層層深入的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，最終旨在解決信號、系統(tǒng)及噪聲性能分析，是全書各章的根本理論根底，也是系統(tǒng)分析的最主要的數(shù)學(xué)方法。2章信號與噪聲分析學(xué)問點(diǎn)及層次確知信號時(shí)－頻域分析現(xiàn)代通信系統(tǒng)周期信號的傅氏級數(shù)表示和非周期信號的傅氏積分。幾個簡潔且常用的傅氏變換對及其互易性。信號與系統(tǒng)特征－卷積相關(guān)－維鈉－辛欽定理。隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特征二維隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征廣義平穩(wěn)特征、自相關(guān)函數(shù)與功率譜特點(diǎn)。高斯過程的統(tǒng)計(jì)特征。高斯型白噪聲統(tǒng)計(jì)特征抱負(fù)白噪聲及限帶高斯白噪聲特征。窄帶高斯白噪聲主要統(tǒng)計(jì)特征。以上三個層次是一個層層深入的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，最終旨在解決信號、系統(tǒng)及噪聲性能分析，是全書各章的根本理論根底，也是統(tǒng)分析的最主要的數(shù)學(xué)方法。傅里葉分析是從時(shí)域、頻域描述信號的有效方法。狹義而言，通信過程更是信號與傳輸信道在頻域相適應(yīng)的過程。往往信號和系統(tǒng)的頻域特征分析更有利于解決傳輸問題。[例2-1]求圖2-1所示信號f(t)的頻譜。解：這一結(jié)果說明，頻譜是兩局部構(gòu)成，為虛軸上奇對稱于原點(diǎn)。證明白奇對稱實(shí)信號的頻譜為虛頻譜奇對稱形式。[例2-2]由隨機(jī)過程定義，典型的數(shù)學(xué)表達(dá)式是無法寫出的。一般地，在一個確知形式的時(shí)間函數(shù)中，假設(shè)其中一個〔或2〕變量是隨機(jī)的，稱準(zhǔn)隨機(jī)過程。設(shè)隨機(jī)過程 ，其中是均值為0、方差為 的高斯變量， 是內(nèi)均勻分布的相位隨機(jī)變量，且與 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立?！?〕X(t)為廣義平穩(wěn)?！?〕X(t)是否遍歷性平穩(wěn)？〔3〕X(t)信號功率譜與平均功率。解：〔1〕這里p(x,t)并沒有給出，而只給出了與的分布。為此，利用一維隨機(jī)變量變換：則2出來。因此

與分為兩個三角函數(shù)的角度，目的是將只含有隨機(jī)變量的成分〔即〕孤立2其中同理，。20。從上結(jié)果，m(t)與均與時(shí)間t無關(guān)，只與 有關(guān)，因此X(t)為廣義平穩(wěn)。據(jù)遍歷性定義，取X(t)中任一樣本函數(shù)x(t)，定值求及。

進(jìn)展時(shí)間平均，這里， 已是一個確時(shí)間自相關(guān)函數(shù)為：這一結(jié)果中，由于是高斯隨機(jī)變量，實(shí)際上 只是一個規(guī)律形式。談不上只與 有關(guān)，與上述結(jié)果 根本不同，因此X(t)非遍歷。此題 ，A假設(shè)為常數(shù)，則能得到遍歷平穩(wěn)結(jié)論。由維納—辛欽定理，自相關(guān)函數(shù)與其功率譜是一對傅氏變換。因此功率譜為功率2-3]X(t0，方差高斯噪聲n(t)加性干擾后的混合信號為

的遍歷性平穩(wěn)隨機(jī)過程，進(jìn)展雙邊帶調(diào)幅后，進(jìn)入窄帶信道傳輸，在有窄帶式中為高頻載波的角頻率，載頻 。為載波〔余弦〕信號在由均勻分布的相位隨機(jī)變量，n(t)為窄帶高斯噪聲。設(shè)X(t)、均統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。試給出各種“統(tǒng)計(jì)平均”結(jié)果。是否平穩(wěn)且遍歷？〔3〕z(t)是否平穩(wěn)、遍歷？〔4〕z(t)乘以〔1〕計(jì)算均值

，再經(jīng)低通濾波LPF，得到Y(jié)(t)，如何狀況？ 〔題設(shè)〕 〔利用了X(t)與、統(tǒng)計(jì)獨(dú)立條件〕 〔窄帶n(t)均值為0〕計(jì)算自相關(guān)函數(shù)〔2-8〕、n均統(tǒng)計(jì)獨(dú)立〕這里，需爭論的是n(t)的自相關(guān)函數(shù)。由于這里是窄帶信道，n(t)為窄帶高斯噪聲，不能按抱負(fù)白噪聲來計(jì)算。據(jù)通信實(shí)際狀況，信道帶寬可限定。抱負(fù)而言，可作為抱負(fù)帶通噪聲。功率譜與功率計(jì)算X(t)： ，功率其中，對于n(t)，假設(shè)按帶寬為B=W的抱負(fù)帶通信道則其自相關(guān)函數(shù)與功率譜的傅氏變換對為〔57~58〕平均功率：〔 在實(shí)際應(yīng)用中測得〕從以上計(jì)算結(jié)果，說明s(t)與z(t)均為廣義平穩(wěn)。的計(jì)算〔即對接收混合信號式中

進(jìn)展相干解調(diào)〕LPF：式中：、分別是窄帶的同相重量與正交重量。其次章信號與噪聲分析精選習(xí)題傅里葉變換及信號分析計(jì)算以下積分。〔1〕〔2〕〔3〕試求以下函數(shù)的傅氏變換對，并繪制其相應(yīng)的圖形?！?〕〔2〕2-3試求：〔1〕自相關(guān)函數(shù)?！?〕與相互關(guān)函數(shù)。依據(jù)帕氏定理，分別通過時(shí)域、頻域以及自相關(guān)函數(shù)計(jì)算 的能量。求出 通過具有幅度增益為2的希氏網(wǎng)絡(luò)后能量譜和總能量，并給出自相關(guān)最大值。某信號的自相關(guān)函數(shù) ，求它的能量譜密度函數(shù) 和能量 。 ， ，試應(yīng)用調(diào)制定理來求。概率與隨機(jī)變量某基帶二元通信系統(tǒng)〔傳輸1，0碼組〕，由一部發(fā)信機(jī)，一部收信機(jī)和信道構(gòu)成，發(fā)端以肯定先驗(yàn)概率發(fā)送1碼或0碼，假設(shè)因信道存在干擾，傳輸?shù)浇邮斩耍性斐烧`碼的可能。茲設(shè)1碼及0碼先驗(yàn)概率分別為 ，

，錯誤轉(zhuǎn)移概率

，求：， ， ， ， ， 。假定一個符號是由四個二進(jìn)制碼元所組成，每個碼元的誤碼概率均為試問該符號發(fā)生錯誤的概率是多少？假設(shè)連著兩個碼元錯誤才構(gòu)成該符號的錯誤，則此時(shí)符號錯誤概率為多少？再求四個碼中可能錯一個碼元、二個碼元、三個碼元的總概率是多少？假定某噪聲信道可以發(fā)四種符號，每種符號都是等概率消滅的。由于噪聲的影響，使得每種符號正確接收的概少？

，而發(fā)生錯誤接收的概率均為 。試問在接收到一種符號后，推斷發(fā)送端發(fā)出這四種符號的后驗(yàn)概率各為多〔1〕X0

的高斯隨機(jī)變量，觀看信號幅度超過

的概率是多少？〔2〕假定某地面以上的云層X具有m，m的高斯隨機(jī)變量，求云層比2750m高的概率。二維隨機(jī)變量XY兩個隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為其中為沖激函數(shù)， 為常數(shù)。試求R(x,y)及協(xié)方差C(x,y)；能得到最小協(xié)方差時(shí)的隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特征

值及最小協(xié)方差。設(shè)，其中A為高斯隨機(jī)變量，b為常數(shù)，且有 ，求均值、均方值〔函數(shù)〕。變量，試求

，其中 和是具有0均值，方差為 的互不相關(guān)的隨機(jī)〔1〕的均值；〔2〕自相關(guān)；〔3〕是否廣義平穩(wěn)？隨機(jī)信號與高斯噪聲通過系統(tǒng)的功率譜為。

，通過一個特性為的網(wǎng)絡(luò)，試求該系統(tǒng)的輸出功率譜。設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程

，均值為1，方差為2，茲有另一個隨機(jī)過程

，試求〔1〕

是否廣義平穩(wěn)過程？〔2〕

的總的平均功率？〔3〕

的方差是多少？：某線性系統(tǒng)的輸出為

，這里輸入

是平穩(wěn)過程。試求〔1〕的自相關(guān)函數(shù)〔2〕的功率譜。信號與系統(tǒng)表示法通信系統(tǒng)常用信號類型通信系統(tǒng)所指的信號在不加聲明時(shí)，一般指隨時(shí)間變化的信號。通常主要涉及以下幾種不同類型的信號：周期與非周期信號周期信號滿足以下條件：全部時(shí)域(2-1)——的周期，是滿足〔2-1〕式條件的最小時(shí)段。因此，該也可表示為：(2-2)——是在一個周期內(nèi)的波形〔外形〕。假設(shè)對于某一信號，不存在能滿足式〔2-1〕的任何大小的 值，則不為周期信號〔如隨機(jī)信號〕。從確知信號的角度動身，非周期信號一般多為有限持續(xù)時(shí)間的特定時(shí)間波形。確知和隨機(jī)信號確知信號的特征是：無論是過去、現(xiàn)在和將來的任何時(shí)間 ，其取值總是唯一確定的。如一個正弦波形，當(dāng)幅度、角頻和初相均為確定值時(shí)，它就屬于確知信號，因此它是一個完全確定的時(shí)間函數(shù)。隨機(jī)信號是指其全部或一個參量具有隨機(jī)性的時(shí)間信號，亦即信號的某一個或更多參量具有不確定取值，因此在它未發(fā)生之前或未對它具體測量之前，這種取值是不行推測的。如上述正弦波中某一參量〔比方相位〕在其可能取值范圍內(nèi)沒有固定值的狀況，可將其表示為：(2-3)其中和能量與功率信號

可能是在〔0，2π〕內(nèi)的隨機(jī)取值。在我們常用的電子通信系統(tǒng)中，信號以電壓或電流〔變化〕值表示，它在電阻 上的瞬時(shí)功率為：或

(2-4)功率正比于信號幅度的平方。其歸一化瞬時(shí)功率或能量〔 =1Ω〕表示式為：(2-5)在=1Ω負(fù)載上的電壓或者電流信號的〔歸一化〕能量為：(2-6)單位時(shí)段2內(nèi)的平均能量等于該被截短時(shí)段內(nèi)信號平均功率。而信號的總平均功率則為：(2-7)一般地，能量有限的信號稱為能量信號，即0<<∞；而平均功率有限的信號稱為功率信號，即0<<∞。能量信號與功率信號是不相容的——能量信號的總平均功率〔在全時(shí)軸上時(shí)間平均〕等于0，而功率信號的能量等于無限大。通常，周期信號和隨機(jī)信號是功率信號；確知而非周期信號為能量信號。從理論上，表示信號的方法很多，但實(shí)際上傅立葉分析在信號處理與通信中沿用至今，它將任何函數(shù)波形均正交分解為一系列正弦波之和表示，在應(yīng)用上具有很大的廣泛性。在通信系統(tǒng)中，利用變換域，如頻域分析，可更便利地提醒信號本質(zhì)性特點(diǎn)?；鶐c頻帶信號從信源發(fā)出的信號，最初的表示方法，大都為基帶信號形式〔模擬或數(shù)字、數(shù)據(jù)形式〕，它們的主要能量在低頻段，如語音、視頻等。它們均可以由低通濾波器取出或限定，因此又稱為低通信號。為了傳輸?shù)男枰?，特別是長途通信與無線通信，需將源信息基帶信號以特定調(diào)制方式“載荷”到某一指定的高頻載波，以載波的某一、二個參量變化受控于基帶信號或數(shù)字碼流，后者稱為調(diào)制信號，受控后的載波稱為已調(diào)信號或已調(diào)載波，屬于頻帶信號。它限制在以載頻為中心的肯定帶寬范圍內(nèi)，因此又稱為帶通信號。系統(tǒng)表示法通信系統(tǒng)或信號系統(tǒng)涉及線性時(shí)不變系統(tǒng)和非線性的、時(shí)變系統(tǒng)。在先行課信號與系統(tǒng)分析中已對線性時(shí)不變系統(tǒng)進(jìn)展過充分爭論；一個簡單的通信系統(tǒng)，特別是無線通信系統(tǒng)〔如短波信道〕，需以非線性時(shí)變系統(tǒng)分析方法來處理。依據(jù)傅立葉分析方法，一個正弦波輸入到系統(tǒng)，響應(yīng)結(jié)果等于一樣頻率的另一正弦波的條件有兩個：系統(tǒng)是線性的——遵循迭加原理和比例倍增。如系統(tǒng)輸入為的響應(yīng)為〔可迭加性〕及

和，響應(yīng)各為和，假設(shè)存在作為鼓勵，其響應(yīng)為：〔比例倍增〕(2-8)aa1 2

為任意常數(shù)。則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。系統(tǒng)是時(shí)不變的——假設(shè)系統(tǒng)鼓勵為

，響應(yīng)為，當(dāng)輸入信號延<時(shí)，即 ，而響應(yīng)也產(chǎn)生同樣延時(shí)，即 ，則該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。通信系統(tǒng)中的統(tǒng)計(jì)分析方法從通信系統(tǒng)的通信過程而言，是具有基于概率統(tǒng)計(jì)特征的。從信源到信號表示，有噪信道傳輸和接收，各個環(huán)節(jié)均需利用統(tǒng)計(jì)分析方法來處理通信信號及通信系統(tǒng)問題。對于接收者來說，關(guān)于信源隨機(jī)發(fā)送的信息序列是不確定的，不行推測的，因此屬于肯定特征的隨機(jī)信號。在傳輸過程中，由于信道介入各種干擾、噪聲，受到污染的信號到達(dá)接收端，使接收者更增大了不確定程度。因此，基于統(tǒng)計(jì)理論的隨機(jī)過程和信息論是分析與解決信息傳輸和最正確接收問題的重要4信號頻譜分析概述為了學(xué)問的連續(xù)性，同時(shí)作為隨機(jī)信號分析的根底，茲概要回憶確知信號傅立葉分析方法。傅立葉級數(shù)任何一個周期為的周期信號，，只要滿足狄里赫利條件，就可以開放為正交序列之和——傅立葉級數(shù)：(2-9)式中系數(shù)(2-10)—— 式〔2-9〕中，由則得：(2-11)式中： ， 。，又由 ，則可表示為指數(shù)形式：(2-12)式中： ， ，，以上三種級數(shù)表示方式實(shí)質(zhì)一樣。各項(xiàng)之間均為正交，這樣當(dāng)有限項(xiàng)來靠近精度最高。

時(shí)，在同樣項(xiàng)數(shù)時(shí)，以正交項(xiàng)之和傅立葉變換非周期信號，即能量信號，其時(shí)域表示式通過傅立葉〔積分〕變換，映射到頻域也可表示信號的全部信息特征——頻譜函數(shù)，更便于信號和系統(tǒng)的分析。信號的傅立葉變換對為頻譜函數(shù)：反演式：(2-13)表示該傅立葉變換對的縮寫符號為：變換對的存在，具有數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的充要條件，這里不再列出。卷積與相關(guān)卷積卷積是當(dāng)系統(tǒng)沖激響應(yīng)確定后，系統(tǒng)的鼓勵信號而求響應(yīng)的運(yùn)算過程。這一運(yùn)算模式也可推廣到任何兩個時(shí)間函數(shù)與或這兩個頻域函數(shù)與的卷積：時(shí)域函數(shù)卷積：(交換律)(2-14)頻域函數(shù)卷積：(2-15)關(guān)系式：〔卷積定理〕(2-16)〔調(diào)制定理〕(2-17)相關(guān)一個函數(shù)：

可求其自相關(guān)函數(shù) 。兩個函數(shù)與，可求它們之間的相互關(guān)函數(shù)及自相關(guān)函數(shù)：(2-18)相互關(guān)函數(shù)：(2-19)(2-20)則有：或 〔偶對稱性〕

(2-21)假設(shè)及、為周期信號，上列各式利用 格式運(yùn)算。能量譜、功率譜及帕氏定理能量譜密度假設(shè)存在傅立葉變換對能量信號的能量譜與其自相關(guān)函數(shù)也是一對傅立葉變換，即：簡明表示為：(2-22)這里——能量譜函數(shù)，或稱能量譜密度。功率譜密度假設(shè)存在傅立葉變換對，且為功率信號，其自相關(guān)函數(shù)與其功率譜也是一對傅立葉變換，即：(2-23)上式可表示周期信號和隨機(jī)信號兩種狀況。周期為 的信號在一個周期的時(shí)間平均自相關(guān)函數(shù)，隨機(jī)信號截短信號的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)，兩者都對應(yīng)著單位時(shí)段能量譜，當(dāng)時(shí)間無限擴(kuò)展時(shí)的時(shí)間平均能量譜，等于它們的功率譜，只是當(dāng)周期信號時(shí)，式〔2-23〕不必用極限運(yùn)算。由于為隨機(jī)信號時(shí)不存在周期，以 表示該的截短段為 的能量譜， 間平均功率譜，取時(shí)間極限后才為該信號準(zhǔn)確功率譜。這一計(jì)算方式，到后面隨機(jī)信號分析將要用到。帕氏定理〔Parseval〕——信號能量與功率的計(jì)算帕氏定理：能量譜或功率譜在其頻率范圍內(nèi)，對頻率的積分等于信號的能量或功率，并且在時(shí)域、頻域積分，以及自相關(guān)函數(shù) =0時(shí)，三者計(jì)算結(jié)果是全都的。希爾伯特變換希氏變換希氏變換是完全在時(shí)域中進(jìn)展的一種特別的正交變換。也可以看成它是由一種特別的濾波器完成的。為了便于理解變換特點(diǎn)，我們首先爭論這種變換在頻域中的規(guī)律〔規(guī)章〕，然后再返回到時(shí)域來進(jìn)一步生疏它，并且變換后信號以 表示，相應(yīng)頻譜以 表示。希氏〔頻域〕變換定義假設(shè)信號存在傅立葉變換對，則其希氏變換的頻譜等于該信號頻譜的負(fù)頻域全部頻率成分相移，而正頻域相移——完成這種變換的傳遞函數(shù)稱為希氏濾波器傳遞函數(shù)，即有：(2-25)則希氏變換頻譜為(2-26)希氏〔時(shí)域〕變換定義為了得出時(shí)域中進(jìn)展希氏變換的規(guī)章，可以很簡潔地由上述希氏濾波器傳遞函數(shù) ，求出其沖激響應(yīng) ：(2-27a)利用傅立葉變換的互易定理，可由反演出：(2-27b)因此希氏變換的時(shí)域表示式為：(2-28)由希式變換的定義：余弦信號的希式變換等于正弦信號；正弦信號的希式變換等于余弦信號。希氏變換在本章最終窄帶噪聲統(tǒng)計(jì)特征分析中，以及線性調(diào)制單邊帶生成過程中，均有格外重要的作用。希氏變換的主要性質(zhì)信號與其希氏變換的幅度頻譜、功率〔能量〕譜以及自相關(guān)函數(shù)和功率〔能量〕均相等。這是由于功率譜、能量譜不反映信號相位特征。相應(yīng)的，自相關(guān)函數(shù)也不反映信號的時(shí)間位置。希氏變換再進(jìn)展希氏變換表示為。則有：(2-29)3．與互為正交。為證明最終一共性質(zhì)的正確性，可通過相互關(guān)與能量譜進(jìn)展計(jì)算：式中右邊：(2-30)由上式最終一個積分式可以看出，被積函數(shù)為奇函數(shù)與偶函數(shù)之乘積，因此該項(xiàng)積分等于0。于是，可得正交關(guān)系，即：(能量信號)(2-31)或(功率信號)(2-32)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征在數(shù)學(xué)課中，已經(jīng)涉及到基于概率論的隨機(jī)變量及其統(tǒng)計(jì)平均的計(jì)算，隨機(jī)變量是建立隨機(jī)過程和隨機(jī)信號分析方法的根底。這里從公理化概率概念動身，說明隨機(jī)變量的形成及主要統(tǒng)計(jì)平均的運(yùn)算方法。概率的公理概念關(guān)于概率概念，在工科數(shù)學(xué)中曾從古典概率、幾何概率等，對隨機(jī)大事做了描述性說明。這里擬從概率空間角度，對隨機(jī)大事及其概率建立數(shù)學(xué)模型。一個隨機(jī)試驗(yàn)，嚴(yán)格來說主要應(yīng)滿足以下三個根本特點(diǎn)：試驗(yàn)〔Experiment〕在一樣條件下是可重復(fù)的；每次重復(fù)稱作試驗(yàn)〔Trial〕，其可能結(jié)果〔Outcomes〕是不行推測的；一個隨機(jī)試驗(yàn)中的大量試驗(yàn)，其結(jié)果會呈現(xiàn)肯定統(tǒng)計(jì)規(guī)律。我們利用統(tǒng)計(jì)概率概念來描述概率的定義：一個隨機(jī)試驗(yàn)，全部試驗(yàn)可能結(jié)果〔Outcomes〕稱為樣本〔Samples〕。其全部樣本集合構(gòu)成樣本空間〔整集，其中一個樣本或多個有關(guān)樣本集合構(gòu)成的子集稱為

的大事域 ，

中的每一集合〔或樣本〕稱為大事。這樣假設(shè)大事，則稱為大事的概率。于是以上三個要素實(shí)體的結(jié)合，構(gòu)成一個概率空間，表示為：。隨機(jī)變量上面以概率空間表示了隨機(jī)試驗(yàn)及其可能結(jié)果的概率模型。在實(shí)際應(yīng)用中，我們期望以更明確的數(shù)學(xué)表示，來說明樣本空間諸大事〔集〕的統(tǒng)計(jì)特性及其相互關(guān)系,茲介入“隨機(jī)變量”概念。現(xiàn)將樣本空間中全部大事〔樣本〕均以某種指定的規(guī)章映射〔Mapping〕到數(shù)軸上，并以指定的實(shí)數(shù)來表示它們。如擲硬幣，兩種可能結(jié)果的樣本空間為，〔 、分別表示硬幣消滅正、反面〕，映射到數(shù)軸上，可由任意指定兩個實(shí)數(shù)作為你的映射規(guī)章〔稱 、??〕——來表示兩個試驗(yàn)結(jié)果。為便利計(jì)，可用0、1來表示，即構(gòu)成一維隨機(jī)變量，此時(shí)它以=0及=1兩種可能的數(shù)值表示，即：=1〔 〕及=0〔 〕。如圖2-8〔a〕所示。它包括了隨機(jī)變量的2個“取值” 〔=0〕及 〔=1〕；由此看來，上述，是，可將隨機(jī)變量直接用

外表上寫法類似于“函數(shù)”，但它們確不是一個函數(shù)，而是變量或變量取值集合。于??來表示，以免與函數(shù)混淆。其實(shí)，隨機(jī)變量在數(shù)軸上所表示樣本映射的點(diǎn)〔可能的取值〕，仍與樣本的概率相對應(yīng)，它們都要附帶其在樣本空間的概率特征，因此賜予肯定規(guī)章的映射所指的隨機(jī)變量確表示。后面將具體說明。隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征

、??，尚必需對全部樣本映射點(diǎn)〔取值〕的概率賜予明在數(shù)軸的實(shí)數(shù)值代表的樣本空間的樣本或?qū)嶓w，它們并非確定數(shù)，它們只是中樣本的“數(shù)字符號”形式的代表，因此必需與其概率相對應(yīng)才有真實(shí)意義。

全部樣本的累積概率——整集的概率為1，即

，而隨機(jī)變量中的部分大事的概率是一切不大于某特定取值的隨機(jī)變量 的累積概率，其大小隨取值變化，因此稱其為概率累積函數(shù)或概率分布函數(shù)〔cdf〕可表示為：且有：(2-43)式中，的含義是不包含全部隨機(jī)變量取值〔 任何取值均有 是不存在的〕的累積0；而

則包含

的全部取值所對應(yīng)的概率之和，即累積之和固然為1〔隨機(jī)變量完備群概率〕。一般地，隨機(jī)變量值如有，則有：,接著的問題是，我們尚需了解隨機(jī)變量 各取值的概率質(zhì)量〔離散時(shí)〕或概率密度〔 量 的概率密度〔函數(shù)〕pdf，并以或表示。與是互為微積分關(guān)系：或(2-44)1 這里作為“虛假”變量。當(dāng)具體取值為及x、x,且,則：1 (2-45)假設(shè)上式中=–∞，可設(shè)為 的任意值 ，則：(2-46)且有：(2-47)常用的隨機(jī)變量類型均勻分布前面例子已涉及到均勻分布隨機(jī)變量，即它們的pdf具有均勻分布特征。又如，產(chǎn)生一個幅度為

，角頻為 的正弦波， <>，其中假設(shè)初相 非為某種強(qiáng)制設(shè)定的量,可看做 是在〔0，2π〕內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。高斯型分布在自然界中，很多現(xiàn)象符合“中心極限定理”，它與高斯〔正態(tài)〕分布特征有著親熱關(guān)系。一維高斯變量 的pdf為：(2-48)由上式看出，對于一個高斯隨機(jī)變量，只要均值及方差 ，就能唯一確定其pdf，且可簡寫為，其中當(dāng) =0，時(shí)的高斯分布，其pdf為，稱其為歸一化高斯分布，即：(2-49)2-11pdfcdf本章附錄中列出了該歸一化分布和概率積分函數(shù)：，在實(shí)際應(yīng)用中，常常需要計(jì)算高斯隨機(jī)變量在處的累積概率值，即：(2-50)為了查表便利，先進(jìn)展歸一化，即設(shè) 可得：于是通過查閱本章附錄的高斯變量概率積分表，可得準(zhǔn)確結(jié)果。概率積分函數(shù)有以下性質(zhì)：在通信系統(tǒng)設(shè)計(jì)與數(shù)字信號誤碼率分析中，常常利用“誤差函數(shù)”或“互補(bǔ)誤差函數(shù)”。誤差函數(shù)：互補(bǔ)誤差函數(shù)：且有：

(2-51)(2-52)(2-53)(2-54)(2-55)本章附錄中列出了誤差函數(shù)表。同時(shí)還列出了當(dāng) >>1時(shí)近似式—— 的數(shù)值。其它類型的概率分布在通信系統(tǒng)窄帶噪聲分析中〔本章最終局部〕，要用到瑞利〔Rayleigh〕分布和萊斯〔Rice〕分布，以及其它類型如波松〔Poison〕分布，后者用于信號交換排隊(duì)分析。隨機(jī)過程在通信與信息領(lǐng)域中，存在大量的隨機(jī)信號。例如語聲、音樂信號、電視信號，在通信系統(tǒng)中傳輸?shù)臄?shù)字碼流和介入到系統(tǒng)中的干擾和噪聲，均具有各種隨機(jī)性特點(diǎn)。要分析此類信號與噪聲和干擾的內(nèi)在規(guī)律性，只有找出它們的統(tǒng)計(jì)特征；另一方面，它們均為時(shí)間函數(shù)，即它們隨機(jī)性變化是表現(xiàn)在時(shí)間進(jìn)程中的，可把它們統(tǒng)稱為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程的概念和定義定義1.隨機(jī)過程是同一個試驗(yàn)的隨機(jī)樣本函數(shù)的集合,表示為 ，其中每個樣本函數(shù)

均為隨機(jī)過程

的一個成員，也稱為隨機(jī)過程的一次〔試驗(yàn)〕實(shí)現(xiàn)。定義2.隨機(jī)過程是隨機(jī)變量在時(shí)間軸上的拓展。此時(shí)可表示為或者與隨機(jī)變量表示一樣，為避開誤視為的“函數(shù)”，而以表示隨機(jī)過程。隨機(jī)過程是含有隨機(jī)變量的時(shí)間函數(shù)。同時(shí)，由定義2，我們也可以說隨機(jī)過程是在時(shí)間進(jìn)程中處于不同時(shí)刻的〔多維〕隨機(jī)變量集合。隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特征和平穩(wěn)隨機(jī)過程爭論隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征，為便于理解，我們由定義2及上列兩個圖示，抽出位于不同時(shí)間截口的隨機(jī)變量，它們?yōu)椋浩渲屑僭O(shè) 即當(dāng)0就更為典型。此時(shí)由多個時(shí)間截口的隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)過程其分布函數(shù)可寫為：或(2-74)——表示隨機(jī)過程的分布函數(shù)，各與對應(yīng)，表示在各不同時(shí)間截口處的隨機(jī)變量取值為，于是，(2-75)其中為隨機(jī)過程的概率密度。由此看來，像隨機(jī)變量那樣，假設(shè)利用的pdf來求解各階多維統(tǒng)計(jì)平均是極為簡單的。幸好，在通信及日常應(yīng)用中，解決一、二維統(tǒng)計(jì)特征或統(tǒng)計(jì)平均就可滿足一般要求。并且還常常遇到統(tǒng)計(jì)特征可以簡化的“平穩(wěn)隨機(jī)過程”或“遍歷性”平穩(wěn)過程。一維統(tǒng)計(jì)特征首先我們可在隨機(jī)過程程：

任意指定時(shí)間截口 來看該隨機(jī)過程——它將成為該時(shí)刻 處的一維隨機(jī)過它與前面介紹的一維隨機(jī)變量并無本質(zhì)區(qū)分，只是說明白它處于某具體時(shí)刻，由于是任意給定的，也可以去掉下標(biāo)。此時(shí)，為參變量，可以說一維隨機(jī)過程是隨機(jī)過程在某一時(shí)刻的一維隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為：(2-76)相應(yīng)的概率密度函數(shù)為：(2-77)(2-78)由可以計(jì)算出一維隨機(jī)過程各統(tǒng)計(jì)平均：均值函數(shù)(2-79)方差函數(shù)(2-80)由(2-81)因此,隨機(jī)過程的均方值為：(2-82)〔電學(xué)〕來說，隨機(jī)過程的瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)平均總功率等于該瞬時(shí)溝通功率與直流功率之和。二維統(tǒng)計(jì)平均特征上述一維統(tǒng)計(jì)平均反映隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征是很不充分的，二維統(tǒng)計(jì)平均更顯得重要。我們可以在隨機(jī)過程中任選兩個時(shí)間截口和，將截取為相距的兩個隨機(jī)變量：相應(yīng)變量取值為相應(yīng)變量取值為這兩個不同時(shí)刻的聯(lián)合隨機(jī)變量，此時(shí)就是二維隨機(jī)過程。其二維統(tǒng)計(jì)特征為：(2-83)(2-84)利用在時(shí)間截口和時(shí)的二維pdf，可以求出隨機(jī)過程的二維統(tǒng)計(jì)平均，諸如自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)，以及歸一化協(xié)方差函數(shù)——自相關(guān)系數(shù)。自相關(guān)函數(shù)(2-85)式中，由于可作為參變量選值，因此以來取代。自協(xié)方差函數(shù)(2-86)自相關(guān)系數(shù)(2-87)平穩(wěn)隨機(jī)過程與廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程定義1.假設(shè)隨機(jī)過程的