數(shù)學(xué)-9.3 平行四邊形（解析版）

9.3平行四邊形同步培優(yōu)講練綜合一、平行四邊形的定義平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.二、平行四邊形的性質(zhì)1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；4．平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心；三、平行四邊形的判定1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.一、利用平行四邊形性質(zhì)求解【例1】平行四邊形的周長(zhǎng)為，相鄰兩邊的差為，則平行四邊形的各邊長(zhǎng)為()A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【答案】B【解析】

解：可設(shè)兩邊分別為，，由題意可得，解得，所以平行四邊形的各邊長(zhǎng)為，，，，故選：．【例2】如圖，在平行四邊形中，平分，交邊于點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)為．【答案】8【解析】解：四邊形是平行四邊形，，，，平分，，，，，，故答案為：8．【例3】若平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為6和16，則下列長(zhǎng)度的線段可作為平行四邊形邊長(zhǎng)的是

A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由題意可知，平行四邊形邊長(zhǎng)的取值范圍是：邊長(zhǎng)，即邊長(zhǎng)．只有選項(xiàng)在此范圍內(nèi)，故選．【例4】在中，，則（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】解：如圖，，，故選B．【例5】如圖，在?ABCD中，AC、BD為對(duì)角線，BC＝6，BC邊上的高為4，則陰影部分的面積為（）A．3 B．6 C．12 D．24【答案】B【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，

∴，故選：B．二、已知三點(diǎn)組成平行四邊形求點(diǎn)坐標(biāo)【例1】的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】解：四邊形是平行四邊形，，，設(shè)，、、，，，，，，故答案為：．【例2】矩形在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所置，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且．（1）求直線的解析式；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線平分矩形的面積，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)為矩形的中心，在平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】見解析【解析】∵(10，6)∴，，∴點(diǎn)A(0，6)、點(diǎn)B(10，0)，設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，故直線的表達(dá)式為；（2）存在，理由：矩形的面積，，則，，設(shè)點(diǎn)E(x，0)，則，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為(8，0)；（3）點(diǎn)為矩形的中心，由中點(diǎn)公式得，點(diǎn)P(5，3)，而點(diǎn)A(0，6)、點(diǎn)O(0，0)，設(shè)點(diǎn)Q(a，b)，①當(dāng)是邊時(shí)，由向右平移0個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)，同樣點(diǎn)向右平移0個(gè)單位向上平移6個(gè)單位得到點(diǎn)，則，解得；②當(dāng)是對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式得：，解得，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，9)或(5，-3)或(-5，3)．【例3】在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示（坐標(biāo)系內(nèi)正方形網(wǎng)格的單位長(zhǎng)度為1）：【答案】(1)見解析；(2)，或【解析】（1）如圖所示：（2）

∵一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，∴將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，將點(diǎn)A向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，將點(diǎn)B向下移動(dòng)3個(gè)單位，再向右移動(dòng)2個(gè)單位得到點(diǎn)．所以，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：，或．【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖像分別交軸，軸于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交軸正半軸于點(diǎn)，且BM=2MO．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你畫出圖形，確定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或或【解析】當(dāng)時(shí)，=6∴B(0，6)

∵BM=2MO，且位于軸正半軸，∴M(0,2)BM=6-2=4，當(dāng)=0時(shí)，，，以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分三種情況：如圖所示：以MB，為邊，此時(shí)，MB=AC，∴C(3,4)，以BM、為邊，此時(shí)，MB=AC∴C（3，-4），以AM、為邊，此時(shí)BC∥AM，BC=AM把B(0,6)向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位即可得到C點(diǎn)∴C(-3，8)，綜上，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或或三、平行四邊形判定與性質(zhì)的應(yīng)用【例1】下列說法不正確的是A．有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形 B．平行四邊形的對(duì)角線互相平分 C．平行四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，鄰角相等 D．平行四邊形的對(duì)邊平行且相等

【答案】C【解析】解：、平行四邊形的判定定理：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)正確；、平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，故本選項(xiàng)正確；、平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，故本選項(xiàng)正確；故選：．【例2】如圖，在中，點(diǎn)，分別在邊，上，有下列條件：①；②；③；④．其中，能使四邊形是平行四邊形的條件有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】解：①正確，理由如下：四邊形平行四邊形，，，又，．又，四邊形是平行四邊形．②正確，理由如下：，，四邊形是平行四邊形；④正確；理由如下：四邊形是平行四邊形，

，，．，．．．，四邊形是平行四邊形．不能得出四邊形是平行四邊形，③不正確；能使四邊形是平行四邊形的條件有3個(gè)．故選：．【例3】能判定四邊形為平行四邊形的題設(shè)是A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】解：根據(jù)平行四邊形的判定定理知，只有符合條件．故選：．【例4】下列不能判定四邊形是平行四邊形的條件是A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】解：、，，四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，，四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；、，，四邊形可能是等腰梯形，故本選項(xiàng)符合題意；

、，，四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意．【例5】已知：如圖，在四邊形中，，，，垂足分別為、，，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【解析】證明：，，，，，在和中，，，，又，四邊形是平行四邊形．【例6】如圖，四邊形是矩形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，．（1）求證：；（2）試判斷四邊形的形狀，并說明理由．

【答案】見解析【解析】（1）證明：在矩形中，，又，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴；（2）答：四邊形為平行四邊形，證明：因?yàn)?，知，又，且，∴，∴四邊形為平行四邊形．【?】如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，若．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

【答案】見解析【解析】證明：∵，∴，，∵E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，，∴四邊形ABCD為平行四邊形．四、綜合性大題【例1】如圖，點(diǎn)、、、在一條直線上，，，，交于點(diǎn)．（1）求證：與互相平分；（2）若，，，，求的長(zhǎng)．【答案】見解析【解析】（1）證明：如圖，連接、，

，，又，，，，在和中，，，，又，四邊形是平行四邊形，與互相平分；（2）解：，，，，，，由勾股定理得：．【例2】已知：如圖所示，在平行四邊形中，、分別是和的角平分線，交、于點(diǎn)、，連接、．（1）求證：、互相平分；（2）若，，，求線段的長(zhǎng)．

【答案】見解析【解析】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，、分別是和的角平分線，，，，，，，，，，，即，，四邊形是平行四邊形．、互相平分；（2），，是等邊三角形，，，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

在中，，，，，．【例3】．如圖，在四邊形中，，，，，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．（1）若四邊形是平行四邊形，求出滿足要求的t的值；（2）若以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積為，求相應(yīng)的t的值．【答案】（1）當(dāng)t＝6或秒時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；（2）當(dāng)t＝秒時(shí)，以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積等40cm2；【解析】解：（1）∵四邊形PQDC是平行四邊形，∴DQ＝CP，當(dāng)P從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝22﹣2t∴16﹣t＝22﹣2t解得t＝6

當(dāng)P從C運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣22∴16﹣t＝2t﹣22，解得t＝，∴當(dāng)t＝6或秒時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；（2）若點(diǎn)P、Q分別沿BC、AD運(yùn)動(dòng)時(shí)，即解得t＝（秒）若點(diǎn)P返回時(shí)，CP＝2t﹣22，則解得t＝16（秒），此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合，舍去．故當(dāng)t＝秒時(shí)，以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形面積等40cm2；1、已知平行四邊形，對(duì)角線、，則該平行四邊形四條邊中最長(zhǎng)邊a的取值范圍是（）A． B． C． D．

【答案】B【解析】解：如圖所示：四邊形ABCD是平行四邊形，AD＞AB，，，在△AOD中，由三角形的三邊關(guān)系得：4-3＜AD＜4+3，∴1＜AD＜7，當(dāng)四邊相等時(shí)易得邊長(zhǎng)為5，∴5≤AD＜7．故選：B．2、如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】A、∵AB∥CD，∴∠DAB＋∠ADC＝180°，而，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；C、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)不合題意；D、AB＝DC，AD∥BC無法得出四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項(xiàng)符合題意；

故選：D．3、如圖，在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)下列條件中能夠判定這個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因?yàn)閷?duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選：D．4、下列條件中，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CDC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC【答案】C【解析】解：A、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、四邊形中，一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等，不能判定是平行四邊形．故本選項(xiàng)符合題意；D、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．5、如圖，在平行四邊形中，為上一點(diǎn)，，且，，則下列選項(xiàng)正確的為（）A．B．

C．D．【答案】B【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠BEC＝28°，∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝28°，∴∠ABC＝56°，∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵AE＝ED，∴∠D＝∠DAE＝56°，∴∠BAE＝124°?56°＝68°，∴∠AED＝180°?56°?56°＝68°，∴∠AEB＝180°?68°?28°＝84°，故選：B．6、在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，給出下列條件：①，；②，；③，；④，．其中能夠判定是平行四邊形的有．【答案】①③④【解析】

解：如圖，①，，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故①正確；②，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故②錯(cuò)誤；③，，根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故③正確；④，，根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故④正確；故答案為：①③④7、如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，BE平分∠ABC，連接CE，已知DE＝6，CE＝8，AE＝10．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求平行四邊形ABCD的面積；【答案】見解析【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=10；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形．∴CD=AB=10，在△CED中，CD=10，DE=6，CE=8，

∴ED2+CE2=CD2，∴∠CED=90°．∴CE⊥AD，∴平行四邊形ABCD的面積=AD?CE=（10+6）×8=128．8、若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三點(diǎn)為頂點(diǎn)要畫平行四邊形，則第四個(gè)頂點(diǎn)不可能在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：分三種情況考慮：①以CB為對(duì)角線作平行四邊形ABD1C，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)D1落在第一象限；②以AC為對(duì)角線作平行四邊形ABCD2，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)D2落在第二象限；③以AB為對(duì)角線作平行四邊形ACBD3，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)D3落在第四象限，則第四個(gè)頂點(diǎn)不可能落在第三象限．故選：C．9、已知以A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形中，頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為___________．【答案】【解析】解：由圖可知，滿足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為

故答案為：10、如圖，四邊形ABCD中，，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，，過點(diǎn)A、C分別作EF的垂線，垂足為G、H．(1)求證：：(2)連接AC，線段GH與AC是否互相平分？請(qǐng)說明理由【答案】(1)見解析(2)線段GH與AC互相平分，理由見解析【解析】（1）證明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠G＝∠H＝90°，AGCH，∵ADBC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，∴∠AEG＝∠CFH，

在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（AAS）；（2）解：線段GH與AC互相平分，理由如下：連接AH、CG，如圖所示：由（1）得：△AGE≌△CHF，∴AG＝CH，∵AGCH，∴四邊形AHCG是平行四邊形，∴線段GH與AC互相平分．11