向量、解三角形知識(shí)點(diǎn)小結(jié)

必修四第二章平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納向量的基本概念與基本運(yùn)算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作||即向量的大小，記作｜｜向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小．②零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問(wèn)題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件．（注意與0的區(qū)別）③單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量向量為單位向量｜｜＝1④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作∥由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的．⑤相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為大小相等，方向相同2向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法設(shè)，則+==（1）；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法則”與“平行四邊形法則”：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”．3向量的減法①相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=②向量減法：向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法③作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）4實(shí)數(shù)與向量的積：①實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律5兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=6平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底7特別注意:（1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算（2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件（3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況（4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)學(xué)習(xí)本章主要樹(shù)立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問(wèn)題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示1平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，則若，則若=(x,y)，則=(x,y)若，則若，則若，則3向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內(nèi)積）及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì)運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法是一個(gè)向量,滿足:>0時(shí),與同向;<0時(shí),與異向;=0時(shí),=∥向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)或時(shí),=0且時(shí),,三．平面向量的數(shù)量積1兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）規(guī)定2向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影投影的絕對(duì)值稱為射影3數(shù)量積的幾何意義：·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積4向量的模與平方的關(guān)系：5乘法公式成立：；6平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：①交換律成立：②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：③分配律成立：特別注意：（1）結(jié)合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知兩個(gè)向量，則·=8向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量與，作=,=,則∠AOB=（）叫做向量與的夾角cos==當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量與同方向時(shí)，θ=00，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時(shí)θ=1800，同時(shí)與其它任何非零向量之間不談夾角這一問(wèn)題9垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作⊥10兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O必修五第一章解三角形知識(shí)點(diǎn)歸納1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等（R為外接圓半徑）（3）余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問(wèn)題叫做解三角形．廣義地，這里所說(shuō)的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．主要類型：（1）兩類正弦定理解三角形的問(wèn)題：第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角.第2、已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角.（2）兩類余弦定理解三角形的問(wèn)題：第1、已知三邊求三角.第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角.4．三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。（1）角的變換因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；（2）判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.5．求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：分析題意，弄清已知和所求；（2）建模：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫(xiě)出已知與所求，并畫(huà)出示意圖；（3）求解：正確運(yùn)用正、余弦定理求解；（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求是否符合實(shí)際意義。（一）.正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例1.解三角形應(yīng)用題的基本思路（1）建模思想解三角形應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得出三角形的邊角的大小，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解。這種數(shù)學(xué)建模思想，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，經(jīng)過(guò)抽象概括，把它轉(zhuǎn)化為具體問(wèn)題中的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)推理演算，得出數(shù)學(xué)模型的解，再還原成實(shí)際問(wèn)題的解，用流程圖可表示為：（2）解三角形應(yīng)用題的基本思路：2.解三角形應(yīng)用題常見(jiàn)的幾種情況：（1）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。（2）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)（或兩個(gè)以上）三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程，解方程得出所要求的解。（3）實(shí)際問(wèn)題抽象概括后，涉及到的三角形只有一個(gè)，但由已知條件解三角形需選擇使用正弦定理或余弦定理去求問(wèn)題的解。注意：①解三角形應(yīng)用題中，由于具體問(wèn)題中給出的數(shù)據(jù)通常均為有效近似值，故運(yùn)算過(guò)程一般較為復(fù)雜，可以借助于計(jì)算器進(jìn)行運(yùn)算，當(dāng)然還應(yīng)注意達(dá)到算法簡(jiǎn)練、算式工整、計(jì)算準(zhǔn)確等要求。②如果將正弦定理、余弦定理看成是幾個(gè)“方程”的話，那么解三角形應(yīng)用題的實(shí)質(zhì)就是把已知量按方程的思想進(jìn)行處理，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知量與未知量，合理選擇一個(gè)比較容易解的方程，從而使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔。3.實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中有關(guān)的名稱、術(shù)語(yǔ)在解決與三角形有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn)一些有關(guān)的名詞、術(shù)語(yǔ)，如仰角、俯角、方位角、方向角、鉛直平面等。（1）鉛直平面是指與海平面垂直的平面。（2）仰角與俯角在同一鉛直平面內(nèi)，視線與水平線的夾角，當(dāng)視線在水平線之上時(shí)，稱為仰角，當(dāng)視線在水平線之下時(shí)，稱為俯角（如圖所示）。（3）方位角：從標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起,順時(shí)針?lè)较虻街本€的水平角稱為該直線的方位角。方位角的取值范圍為0°～360°。如：方位角是60°的圖形如圖。（4）方向角：一般是指以觀測(cè)者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成北（南）偏東（西）××度。4.解三角形應(yīng)用題的一般步驟：解三角形在實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛，如測(cè)量、航海、幾何、物理等方面都要用到解三角形的知識(shí)，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真分析題意，并做到算法簡(jiǎn)練，算式工整，計(jì)算正確。其解題的一般步驟是：（1）準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語(yǔ)；（2）畫(huà)出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出；（3）分析與所研究的問(wèn)題有關(guān)的一個(gè)或幾個(gè)三角形，通過(guò)合理運(yùn)用正弦定理和余弦定理正確求解，并作答。5.熟悉三角形中有關(guān)公式解三角形主要應(yīng)用正弦定理和余弦定理，有時(shí)也會(huì)用到周長(zhǎng)公式和面積公式，比如：；；（可用正弦定理推得）；（r為內(nèi)切圓半徑）。（海倫公式）：，其中：6.常見(jiàn)問(wèn)題及解決辦法：（1）測(cè)量一個(gè)底部不能到達(dá)的建筑物的高度的步驟：關(guān)鍵點(diǎn)：怎樣克服B點(diǎn)不能到達(dá)帶來(lái)的測(cè)量不變？方法一：（忽略測(cè)量?jī)x器的高度）S1在地面上任取C、D兩點(diǎn)，連接CD，AC，AD；S2測(cè)出∠ACD=α、∠ADC=β的大小及在C點(diǎn)測(cè)點(diǎn)A的仰角θ和CD的長(zhǎng)m；S3在△ACD中，利用正弦定理求得S4在Rt△ABC中，得方法二：（忽略測(cè)量?jī)x器的高度）S1在地面上取點(diǎn)C、D，使C、D與AB在同一個(gè)平面內(nèi)（這樣可以保證B、C、D三