北京市房山區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1北京市房山區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故.故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，因此，.故選：A.3.已知向量，，且與的夾角為，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以，解得或（舍去），故選：B.4.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗的展開式通項(xiàng)為，令，可得，因此，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：B.5.已知，為非零實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對(duì)A：若，則，故錯(cuò)誤；對(duì)B：若，則，故錯(cuò)誤；對(duì)C：若，則，，左右同除，有，故錯(cuò)誤；對(duì)D：由且，為非零實(shí)數(shù)，則，即，故正確.故選：D.6.已知直線與圓相切，則實(shí)數(shù)（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗D〖解析〗圓的圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€與圓相切，則，即，解得或.故選：D.7.已知函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減，對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)滿足，得函數(shù)是R上的偶函數(shù)，而在上單調(diào)遞減，因此，所以“”是“”的充要條件.故選：C8.保護(hù)環(huán)境功在當(dāng)代，利在千秋，良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財(cái)富，也是經(jīng)濟(jì)財(cái)富，關(guān)系社會(huì)發(fā)展的潛力和后勁.某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量（單位：毫米/升）與過濾時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為，其中為常數(shù)，，為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時(shí)，若前9個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉，那么再繼續(xù)過濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的（參考數(shù)據(jù)：）（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榍?個(gè)小時(shí)廢氣中的污染物恰好被過濾掉，所以，即所以．再繼續(xù)過濾3小時(shí)，廢氣中污染物的殘留量約為．故選：A.9.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線C左支上一動(dòng)點(diǎn)，為雙曲線C的漸近線上一動(dòng)點(diǎn)，且最小時(shí)，與雙曲線C的另一條漸近線平行，則雙曲線C的方程可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗雙曲線C：的漸近線為，由對(duì)稱性不妨令點(diǎn)在第二象限，由雙曲線定義得，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，因此的最小值為的最小值與的和，顯然當(dāng)與漸近線垂直時(shí)，取得最小值，而平行于漸近線，于是雙曲線的兩條漸近線互相垂直，即，則雙曲線的漸近線方程為，顯然選項(xiàng)ABD不滿足，C滿足，所以雙曲線C的方程可能是.故選：C10.數(shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個(gè)近似值：“約率”與“密率”.它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強(qiáng)率.由于，取3為弱率，4為強(qiáng)率，計(jì)算得，故為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計(jì)算得，故為強(qiáng)率，繼續(xù)計(jì)算，….若某次得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強(qiáng)率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類推.已知，則（）A.8 B.7 C.6 D.5〖答案〗B〖解析〗因?yàn)闉閺?qiáng)率，由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即強(qiáng)率；由可得，，即為弱率，所以，故選：B.第二部分（非選擇題）二、填空題11.函數(shù)的定義域是______.〖答案〗〖解析〗由題意可得、，故且，故該函數(shù)定義域?yàn)?故〖答案〗為：.12.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則______.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，即，故.故〖答案〗為：.13.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則______.〖答案〗〖解析〗在中，由及正弦定理，得，則，整理得，而，因此，又，所以.故〖答案〗為：14.已知平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到的距離比到軸的距離大2，則的軌跡方程是______.〖答案〗或〖解析〗設(shè)點(diǎn)，依題意，，即，整理得，所以軌跡方程是或.故〖答案〗為：或15.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).給出下列結(jié)論：①；②平面；③直線與直線所成角的范圍是；④點(diǎn)到平面的距離是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.〖答案〗①②④〖解析〗以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有、、、、、、、，則、、、、、、，設(shè)，，則，，故，故①正確；設(shè)平面的法向量為，則有，即，取，則，有，故，又平面，則平面，故②正確；當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，即，即此時(shí)直線與直線所成角為，故③錯(cuò)誤；由，，則，故④正確.故〖答案〗為：①②④.三、解答題16.如圖，在四棱錐中，為等腰三角形，，，底面是正方形，，分別為棱，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）證明：連接點(diǎn)與中點(diǎn)、連接，又，分別為棱，的中點(diǎn)，故、，又底面是正方形，故、，故且，故四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）解：選條件①：，由且為等腰三角形，故，又，故，有，由，，、平面，，故平面，又平面，故，故、、兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、、、，則、、，令平面的法向量為，則有，即，令，則，則，故與平面所成角的正弦值為.條件②：，由且為等腰三角形，故，又，故，有，由，則，故，又，故，又，、平面，，故平面，又平面，故，故、、兩兩垂直，故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、、、，則、、，令平面的法向量為，則有，即，令，則，則，故與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（1）求的值；（2）設(shè)，若在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.（1）解：將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)，由題意可知，函數(shù)為奇函數(shù)，則，可得，又因?yàn)?，則.（2）解：由（1）可知，，則，因?yàn)椋瑒t，由，可得，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.某移動(dòng)通訊公司為答謝用戶，在其APP上設(shè)置了簽到翻牌子贏流量活動(dòng).現(xiàn)收集了甲、乙、丙3位該公司用戶2023年12月1日至7日獲得的流量（單位：MB）數(shù)據(jù)，如圖所示.（1）從2023年12月1日至7日中任選一天，求該天乙獲得流量大于丙獲得流量概率；（2）從2023年12月1日至7日中任選兩天，設(shè)是選出的兩天中乙獲得流量大于丙獲得流量的天數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）將甲、乙、丙3位該公司用戶在2023年12月1日至7日獲得流量的方差分別記為，，，試比較，，的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）.解：（1）由圖可知，七天中只有1日、2日乙獲得流量大于丙獲得流量，所以該天乙獲得流量大于丙獲得流量概率為；（2）由（1）可知七天中只有1日、2日乙獲得流量大于丙獲得流量，因此，，，，所以的分布列如下圖所示：012；（3）根據(jù)圖中數(shù)據(jù)信息，甲、乙七天的數(shù)據(jù)相同，都是1個(gè)50,2個(gè)30,1個(gè)10,3個(gè)5；而且丙的的數(shù)據(jù)最分散，所以，.19.設(shè)橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，已知，離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若的面積是面積的4倍，求直線的方程.解：（1）由，，解得，，故，即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則、、，由題意可得直線斜率存在且不為，設(shè)，令，則，故，聯(lián)立，消去得，即，故或，由，故，則，又，即，即，若，則，即，即，即，則，若，則，即，不符，故舍去，即，故，即直線的方程為.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，，，故當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，由，即，解得或，因此，?dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、.（3）解：因?yàn)椋瑒t，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，則函數(shù)在上有一個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，只需，合乎題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，因?yàn)?，只需，不合乎題意，舍去.綜上所述，實(shí)數(shù)取值范圍是.21.若無窮數(shù)列滿足：，對(duì)于，都有（其中為常數(shù)），則稱具有性質(zhì)“”.（1）若具有性質(zhì)“”，且，，，求；（2）若無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，，，判斷是否具有性質(zhì)“”，并