數(shù)學(xué)-專題27 四邊形中由動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論問題（帶答案）

專題27四邊形中由動(dòng)點(diǎn)引起的分類討論問題【題型演練】一、單選題1．如圖，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱中心，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)停止，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則四邊形形狀的變化依次為（

）A．平行四邊形一矩形一平行四邊形一矩形 B．平行四邊形一矩形一菱形一矩形C．平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形 D．平行四邊形一菱形一平行四邊形【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)稱中心的定義，根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得四邊形形狀的變化情況：這個(gè)四邊形先是平行四邊形，當(dāng)對(duì)角線互相垂直時(shí)是菱形，然后又是平行四邊形，最后點(diǎn)A與點(diǎn)重合時(shí)是矩形．【詳解】解：觀察圖形可知，四邊形形狀的變化依次為平行四邊形菱形平行四邊形矩形．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，根據(jù)與的位置關(guān)系即可求解．2．矩形的邊上有一動(dòng)點(diǎn)，連接、，以、為邊作平行四邊形．在點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的過程中，平行四邊形的面積（

）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【答案】D【分析】過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，證四邊形ABEG是矩形，得出EG＝AB，，即可得出結(jié)論．

【詳解】解：過點(diǎn)E作EG⊥AD于G，如圖所示：則∠AGE＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴四邊形ABEG是矩形，∴EG＝AB，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴，即的面積保持不變，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出的面積＝矩形ABCD的面積，是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)P是四邊形ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P到AC的距離為，則點(diǎn)P的位置有（

）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可以求得AC、AD、BC和AB的長(zhǎng)，然后即可得到點(diǎn)D到AC的距離和點(diǎn)B到AC的距離，從而可以得到滿足條件的點(diǎn)P有幾處，本題得以解決．

【詳解】解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，∵∠CAD=30°，CD=2，∠D=90°，∴AC=4，，∴在Rt△ADC中，斜邊AC上的高，∵AC=4，∠B=90°，∠BAC=45°，∴，，∴AB=BC=，∴在Rt△ABC中，斜邊AC上的高，∵，點(diǎn)P是四邊形ABCD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到AC的距離為，∴點(diǎn)P的位置在點(diǎn)D處，或者邊BC上或者邊AB上，即滿足條件的點(diǎn)P有3處．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是求出滿足條件的點(diǎn)P所在的位置．4．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0，過點(diǎn)P分別作AC、BD的垂線，分別交AC、BD于點(diǎn)E、F．交AD、BC于M、N．點(diǎn)從從下列結(jié)論：①PM＋PN＝AC；②；③點(diǎn)O在M、N兩點(diǎn)的連線上；④OP平分∠MPN；⑤四邊形PEOF不可能為菱形．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME（ASA），∴PE=EM=PM，同理，F(xiàn)P=FN=NP．∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE，∴四邊形PEOF是矩形．∴PF=OE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，F(xiàn)P=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故①正確；∵四邊形PEOF是矩形，∴PE=OF，

在直角△OPF中，，∴，故②正確．∵四邊形PEOF是矩形，∴OP不一定平分∠MPN，故④錯(cuò)誤；連接OM，ON，∵OA垂直平分線段PM．OB垂直平分線段PN，∴OM=OP，ON=OP，∴∠OMP=∠OPM，∠ONP=∠OPN，∵四邊形PEOF是矩形，∴∠MPN=90°，即∠OPM+∠OPN=90°，∴∠OMP+∠ONP=90°，即∠OMP+∠ONP+∠MPN=180°，∴M，O，N共線，故③正確．當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，則PE=OE=OA，F(xiàn)P=OF=OB，OA=OB，∴PE=OE=FP=OF，∴四邊形PEOF為菱形．故⑤錯(cuò)誤．綜上，①②③正確，共3個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定、勾股定理等知識(shí)，證明四邊形PEOF是矩形是關(guān)鍵．5．如圖，在平行四邊形中，，AB=4，AD=8，點(diǎn)、分別是邊CD、上的動(dòng)點(diǎn)．連接、，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接．則的最大值與最小值的差為（

）

A．2 B． C． D．【答案】C【分析】如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先證明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位線定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD＝120°，∴∠D＝180°?∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，∵AM＝DM＝DC＝4，∴△CDM是等邊三角形，∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∴AC＝在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，∴AN＝AC＝∵AE＝EH，GF＝FH，∴EF＝AG，∵點(diǎn)G在BC上，∴AG的最大值為AC的長(zhǎng)，最小值為AN的長(zhǎng)，∴AG的最大值為，最小值為，∴EF的最大值為，最小值為，∴EF的最大值與最小值的差為：

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形30度角性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，本題的突破點(diǎn)是證明∠ACD＝90°，屬于中考選擇題中的壓軸題．6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，點(diǎn)Q移動(dòng)到C點(diǎn)后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形APQC的面積為12時(shí)，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A．2s B．3s C．4s D．6s【答案】A【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)秒，能使的面積為12，用分別表示出和的長(zhǎng)，利用三角形的面積計(jì)算公式即可解答．【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)秒后，能使的面積為15，則為cm，為cm，由三角形的面積計(jì)算公式列方程得：，解得，（當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去），動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，能使的面積為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，能借助三角形的面積計(jì)算公式來研究圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在中，，，是邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且.則下列結(jié)論：（1）；（2）的長(zhǎng)度不變；（3）的度數(shù)不變；（4）四邊形的面積為；其中正確的結(jié)論有（

）個(gè).

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由題意易得，，，然后可得，則有，，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵，，是邊上的中點(diǎn)，∴，，，∵，∴，∴，∴（ASA），∴，，故（1）正確；∴是等腰直角三角形，∴，∵DM是在變化的，∴DE的長(zhǎng)度也在變化；故（2）錯(cuò)誤；∵，∴，由是在變化，所以可知也在變化，故（3）錯(cuò)誤；∵，，∴，∴，∴；故（4）正確；故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定及等積法，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含B、C兩點(diǎn)），將△ABP沿直線AP翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處；在CD上有一點(diǎn)M，使得將△CMP沿直線MP翻折后，點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)F處，直線PE交CD于點(diǎn)N，連接MA，NA．則以下結(jié)論中正確的是（

）①△CMP~△BPA；②四邊形AMCB的面積最大值為10；③當(dāng)P為BC中點(diǎn)時(shí)，AE為線段NP的中垂線；④線段AM的最小值為2；⑤當(dāng)△ABP≌△ADN時(shí)，BP=．A．①③④ B．①②⑤ C．①②③ D．②④⑤【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)逐個(gè)分析即可.根據(jù)正方形的性質(zhì)以及翻折證明角度相等，根據(jù)AA可證△CMP∽△BPA，故①正確；當(dāng)x=2時(shí)，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確；NE≠EP，故③錯(cuò)誤；AM的最小值==5，故④錯(cuò)誤；PB=故⑤正確．【詳解】∵∠APB=∠APE，∠MPC=∠MPN，∵∠CPN+∠NPB=180°，∴2∠NPM+2∠APE=180°，∴∠MPN+∠APE=90°，∴∠APM=90°，∵∠CPM+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，∴∠CPM=∠PAB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CB=DC=AD=4，∠C=∠B=90°，∴△CMP∽△BPA．故①正確；設(shè)PB=x，則CP=4﹣x，∵△CMP∽△BPA，∴，

∴CM=x（4﹣x），∴S四邊形AMCB=[4+x（4﹣x）]×4==，∴x=2時(shí)，四邊形AMCB面積最大值為10，故②正確；當(dāng)PB=PC=PE=2時(shí)，設(shè)ND=NE=y，在Rt△PCN中，解得，∴NE≠EP，故③錯(cuò)誤；作MG⊥AB于G，∵AM==，∴AG最小時(shí)AM最小，∵AG=AB﹣BG=AB﹣CM=4﹣x（4﹣x）=，∴x=1時(shí)，AG最小值=3，∴AM的最小值==5，故④錯(cuò)誤；∵△ABP≌△ADN，∴∠PAB=∠DAN=22.5°，在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK，設(shè)PB=z，∴∠KPA=∠KAP=22.5°．∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°，∴∠BPK=∠BKP=45°，∴PB=BK=z，AK=PK=z，∴z+z=4，∴z=，即PB=故⑤正確．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．利用正方形的性質(zhì)以及翻折進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化，從而證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．

9．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為中點(diǎn)，P、Q為邊上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形周長(zhǎng)最小時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】四邊形周長(zhǎng)等于，其中為定值，即求最小值，，作F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)共線時(shí)最小，此時(shí)的P位置即為所求．【詳解】解：如圖：四邊形周長(zhǎng)等于，作，使，即四邊形PQEF是平行四邊形，則，作F關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，即有，∵四邊形是矩形，，，E為DC中點(diǎn)，∴，，∠D=90°，∴，即在Rt△ADE中，，即AE為定值，即四邊形周長(zhǎng)=，其中為定值，∵，∴當(dāng)共線時(shí)最小，即四邊形周長(zhǎng)最小，∵，，∴結(jié)合四邊形是矩形，易證明四邊形是矩形，則，∴，∴，

∵，，∴，∴，∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，將軍飲馬，線段和最小值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正確的作出輔助線，轉(zhuǎn)化未知線段為已知線段的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，于點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)，且，下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形；③四邊形的面積為定值；④；⑤平分．其中正確說法的是（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，∠A=∠ACD=∠DCB=45°，再根據(jù)可得∠MDN=90°，即∠ADM=∠CDN；再證可得DM=DN、CM=BN，推出CM=BN，可知△MDN是等腰直角三角形，；根據(jù)CM=BN，CM=BN，易得，顯然CM、CN不一定相等，所以∠CNM不一定等于45°，所以MN平分∠CND不一定成立．

【詳解】解：∠ACB=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，又∵CD⊥AB，∴AD=DB=CD，∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，∠ADC=∠BDC=∠MDN=90°=∠ADM+∠CDM=∠BDN+∠CDN=∠CDM+∠CDN，∴∠ADM=∠CDN，∵∠ADM=∠CDN，AD=CD，∠A=∠BCD=45°，∴，∴DM=DN，AM=CN，即①正確；∴△MDN是等腰直角三角形，即②正確；四邊形MDNC的面積為，∵，∴，∴，即，則可知該四邊形面積為定值，即③正確；∵AC=BC，AM=CN，∴CM=AC-AM=BC-AM=BC-AN=BN；∴在Rt△CMN中，有，即有，即④正確；∵△MDN是等腰直角三角形，∴∠AND=45°為定值，又∵在M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)，在Rt△CMN中，CM、CN不一定相等，∴∠CNM不一定等于45°，∴MN平分∠CND不一定成立，即⑤錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．

二、填空題11．如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AB=6cm，AD=12cm，BC=15cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，從運(yùn)動(dòng)開始，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=__________s時(shí)，PQCD，且PQ=CD．【答案】4【分析】根據(jù)，時(shí)，四邊形為平行四邊形，得出PQ=CD，PD=CQ，用t表示出PD、CQ即可列出關(guān)于t的方程，解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知，AP=t，則，，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴PQ=CD，PD=CQ，∴，解得：，即t=4s時(shí)，，且PQ=CD．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，解一元一次方程，根據(jù)題意列出關(guān)于t的方程，是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）．如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，四邊形APQC的面積為Smm2，請(qǐng)寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并標(biāo)注t的取值范圍___________________；【答案】

【分析】先表示PA，BQ的長(zhǎng)，進(jìn)而得到BP的長(zhǎng)度，利用來求出四邊形APQC的面積和范圍．【詳解】解：由題意得：，，∴，∴，∴.其中：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，正確表示出BP，BQ是求解本題的關(guān)鍵．13．如圖所示，四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，點(diǎn)P為線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P分別作PM⊥AD于點(diǎn)M，作PN⊥DC于點(diǎn)N．連接PB，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，PM+PN+PB的最小值等于_____．【答案】7.8【分析】證四邊形ABCD是菱形，得CD=AD=5，連接PD，由三角形面積關(guān)系求出PM+PN=4.8，得當(dāng)PB最短時(shí)，PM+PN+PB有最小值，則當(dāng)BP⊥AC時(shí)，PB最短，即可得出答案．【詳解】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，∴AC＝8，四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD于點(diǎn)O，∴平行四邊形ABCD是菱形，AD＝＝＝5，∴CD＝AD＝5，連接PD，如圖所示：

∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC，∴AD?PM+DC?PN＝AC?OD，即×5×PM+×5×PN＝×8×3，∴5×（PM+PN）＝8×3，∴PM+PN＝4.8，∴當(dāng)PB最短時(shí)，PM+PN+PB有最小值，由垂線段最短可知：當(dāng)BP⊥AC時(shí)，PB最短，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8，故答案為：7.8．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、最小值問題以及三角形面積等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在四邊形ABCD中，，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，AE＝__________．【答案】或1【分析】分情況討論：∠CED=90°和∠CDE=90°，利用相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)分別可得AE的長(zhǎng)．【詳解】解：分兩種情況：

①當(dāng)∠CED=90°時(shí)，如圖1，過E作EF⊥CD于F，∵，AD＜BC，∴AB與CD不平行，∴，∴當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，∴∠BEC=∠CDE=∠ADE，∵∠A=∠B=∠CED=90°，∴∠BCE=∠DCE，∴AE=EF，EF=BE，∴AE=BE=AB=，②當(dāng)∠CDE=90°時(shí)，如圖2，當(dāng)△ADE、△BCE、△CDE兩兩相似時(shí)，

∵，CE和BC相交，∴AD與CE不平行，∴，∴∠CEB=∠CED=∠AED=60°，∴∠BCE=∠DCE=∠ADE=30°，∵∠A=∠B=90°，∴BE=ED=2AE，∵AB=3，∴AE=1，綜上，AE的值為或1．故答案為：或1．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和直角三角形30度角的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，要分情況進(jìn)行討論；正確畫圖是關(guān)鍵，注意不要丟解．三、解答題15．如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與、兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)作直線，直線與的平分線相交于點(diǎn)，與（的外角）的平分線相交于點(diǎn)．(1)與相等嗎？為什么？(2)探究：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形是矩形？并證明你的結(jié)論．(3)在（2）中當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，四邊形為正方形（不要求說理由）【答案】(1)相等，理由見詳解(2)是中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形，理由見詳解(3)時(shí)，四邊形為正方形，理由見詳解【分析】（1）由平分，平分，可得，，再根據(jù)

，可得，，即有，，則有，，問題得解；（2）證明，且、互相平分，即可判斷四邊形是矩形，據(jù)此作答即可；（3）根據(jù)對(duì)角線相互垂直的矩形是正方形作答即可．（1），理由如下：∵根據(jù)題意，有平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴；（2）是中點(diǎn)時(shí)，四邊形是矩形，理由如下：在（1）已證明，∵是中點(diǎn)，∴，∴，∴，且、互相平分，∴四邊形是矩形；（3）當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形，理由如下：在（2）中已證明四邊形是矩形，∵，∴，∵，∴，∴，

∴矩形是正方形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，矩形的判定，正方形的判定等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．16．我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖①，，則四邊形為“等鄰角四邊形”．(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是___________．①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．(2)深入探究：①已知四邊形為“等鄰角四邊形”，且，則________．②如圖②，在五邊形中，，對(duì)角線平分，求證：四邊形為等鄰角四邊形．(3)拓展應(yīng)用：如圖③，在等鄰角四邊形中，，點(diǎn)P為邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足分別為M，N．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)②④(2)①或或；②見解析(3)不會(huì)發(fā)生變化，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的性質(zhì)即可解答；（2）①分當(dāng)和、時(shí)三種情況求解；②由得，根據(jù)對(duì)角線平分，得，故，即證得四邊形為等鄰角四邊形；（3）過C作于H，過P作于G，由，，得四邊形是矩形，得，可證明，得，即有

，從而說明在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值總等于C到的距離，不會(huì)變化．（1）解：①平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，不是等鄰角四邊形；②矩形四個(gè)角都是直角，則鄰角相等，是等鄰角四邊形；③菱形的鄰角互補(bǔ)，不是等鄰角四邊形；④等腰梯形的兩個(gè)底角相等，是等鄰角四邊形．綜上，②④是等鄰角四邊形．故答案為：②④；（2）解：①當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰角四邊形”，∵，∴；當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰角四邊形”，當(dāng)時(shí)，四邊形為“等鄰角四邊形”，；故答案為：或或；②∵，∴，∵對(duì)角線平分，∴，∴，∴四邊形為等鄰角四邊形；（3）解：在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值不會(huì)發(fā)生變化，理由如下：過C作于H，過P作于G，如圖：∵，，

∴，∴四邊形是矩形，∴，，即，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，∴，即在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，的值總等于C到AB的距離，是定值．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形綜合應(yīng)用，涉及新定義、多邊形內(nèi)角和、三角形全等的判定及性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．17．如圖，點(diǎn)E是矩形的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)G是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，若點(diǎn)H為的中點(diǎn)，連接，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)M，交于點(diǎn)P．(1)求證：；(2)連接，若，請(qǐng)判斷四邊形是什么特殊四邊形，并證明．【答案】(1)見解析(2)四邊形是菱形，證明見解析

【分析】（1）由四邊形是矩形，得，又是矩形對(duì)邊的中點(diǎn)，即得四邊形是矩形，，可得；（2）設(shè)交于M，由，得，結(jié)合，即得，所以，可證，得，，故四邊形為菱形．（1）∵四邊形是矩形，∴，∵是矩形對(duì)邊的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是矩形，∴，又E是中點(diǎn)，∴H是的中點(diǎn)，∵，∴；（2）四邊形是菱形，證明：由（1）知為中點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，

，∴，∴，∴，∵，∴四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查矩形性質(zhì)、菱形的判定，全等三角形性質(zhì)及判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形、菱形的性質(zhì)及判定定理，熟練應(yīng)用三角形全等的判定定理．18．如圖，在四邊形中，，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿折線方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿線段方向向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)，同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)直接寫出的長(zhǎng)（cm）；(2)當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出四邊形的周長(zhǎng)（cm）；(3)在點(diǎn)、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得的面積為？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)16(2)(3)存在，滿足條件的的值為秒或秒【分析】（1）過點(diǎn)作于，根據(jù)題意證明四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理可得結(jié)果；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，求解得出平行四邊形的各邊長(zhǎng)，求其周長(zhǎng)即可；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)在線段

上時(shí)；根據(jù)三角形面積列方程計(jì)算即可．（1）解：如圖，過點(diǎn)作于，，，∴，∵，四邊形是平行四邊形，，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，如圖，由運(yùn)動(dòng)知，，，，，此時(shí)，，，根據(jù)勾股定理得，；四邊形的周長(zhǎng)為；

（3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，即：時(shí)，如圖，，；②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，即：時(shí)，如圖，，，，或（舍），即：滿足條件的的值為秒或秒．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，讀懂題意，根據(jù)相應(yīng)圖形的性質(zhì)列出方程是解本題的關(guān)鍵．19．問題情境：四邊形中，點(diǎn)O是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)E是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C、O、A都不重合）過點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足分別為，，連接

(1)初步探究：已知四邊形是正方形，且點(diǎn)E在線段上，求證；(2)在（1）的條件下，探究圖中與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，，，，則，利用證明，即可得到答案；（2）由（1）知，，然后得到，由，得到，即可得證．（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）；理由如下：如圖1，連接OB，由（1）知，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，

∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等腰直角三角形，，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．20．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，如果P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)用含x的式子表示（請(qǐng)寫化簡(jiǎn)之后的結(jié)果）；____________，____________，___________，=____________(2)四邊形的面積能否等于172？若能，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;若不能，說明理由．【答案】(1)、，，(2)當(dāng)，四邊形的面積等于172．

【分析】（1）根據(jù)題意用x表示出、、、即可；（2）由=172可得關(guān)于t的一元二次方程，然后解一元二次方程即可求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間t．（1）解：根據(jù)題意得：cm，cm，所以cm，∵，∵∴．故答案為：、，，．（2）解：∵四邊形的面積能等于172∴，即，解得或（舍去）∴當(dāng)，四邊形的面積等于172．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題、四邊形的面積，二次函數(shù)的與一元二方程的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，出與t的函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．21．（1）如圖1，在四邊形中，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，，，連接、．判斷的形狀，并說明理由；（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)C是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，線段繞著點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至線段，連接、，①求B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡解析式②的最小值是．【答案】（1）見詳解

（2）①；②【分析】（1）根據(jù)已知條件證得，即可證得為等腰直角三角形；（2）①根據(jù)（1）可知，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，，即點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡解析式為：；②作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線與點(diǎn)，此時(shí)A、、三點(diǎn)共線時(shí)，值最小，求得坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理即可求得最小值．【詳解】（1）為等腰直角三角形，理由如下，在與中，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形；（2）①作軸于點(diǎn)D，如圖所示，由（1）得，，∴，，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，C點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，∴，

∴點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡解析式為：；②如圖所示，作點(diǎn)O關(guān)于直線y=x-1的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線與點(diǎn)，此時(shí)，,即A、、三點(diǎn)共線時(shí)，值最小，∵直線垂直平分，∴，∴坐標(biāo)為，∴，即：的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一次函數(shù)與全等三角形的綜合，主要是數(shù)量掌握“一線三垂直”模型以及“將軍飲馬”模型．22．如圖，在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.(1)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為矩形？(2)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？【答案】(1)當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形

(2)當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形【分析】（1）四邊形為矩形，即，列出等式，求解即可；（2）四邊形為平行四邊形，即，列出等式求解；（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，，，，，如圖1，，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，即，解得：，時(shí)，四邊形是矩形；（2）解：如圖2，，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．此時(shí)有，解得．

當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形、平行四邊形的判定與性質(zhì)應(yīng)用，要求學(xué)生掌握對(duì)各種圖形的認(rèn)識(shí)，同時(shí)學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)解題思想．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上，，，兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段BO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q同時(shí)停止，設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），(1)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求t的值；(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在P、Q兩點(diǎn)，使得沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，，(2)，或，(3)或或【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和已知條件求出、即可得出、的坐標(biāo)；（2）作于，則，證出，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出，由的面積，求出的值，再求出，即可得出的坐標(biāo)；（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③時(shí)；分別得出的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，

，，，，，，；（2）作于，如圖1所示：則，，，即，，的面積，解得：或，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；點(diǎn)的坐標(biāo)為，，或，；（3）存在；分三種情況：如圖2所示：

①當(dāng)時(shí)，，，由（2）得：，，，，解得：，或；②當(dāng)時(shí)，，，解得：（負(fù)值舍去），；③時(shí)，，，解得：．綜上所述：的值為或或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、三角函數(shù)以及坐標(biāo)與圖形特征；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要通過分類討論列出方程，解方程才能得出結(jié)果．24

．從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)引出兩條射線形成一個(gè)角，這個(gè)角的兩邊與多邊形的兩邊相交，該多邊形在這個(gè)角的內(nèi)部的部分與角的兩邊圍成的圖形稱為該角對(duì)這個(gè)圖形的“投射圖形”【特例感知】（1）如圖，與正方形的邊、分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，此時(shí)對(duì)正方形的“投射圖形”就是四邊形；若此時(shí)是一個(gè)定值，則四邊形的面積____（填“會(huì)”或“不會(huì)”）發(fā)生變化．【遷移嘗試】（2）如圖，菱形中，，，E、F分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，若對(duì)菱形的“投射圖形”四邊形的面積為，求的值．【深入感悟】（3）如圖，矩形中，，，的兩邊分別與、交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，若，，求對(duì)矩形的“投射圖形”四邊形的面積．【綜合運(yùn)用】（4）如圖，某建筑工地有一塊由圍擋封閉起來的四邊形空地，其中，，，m，m，現(xiàn)打算在空地上建一塊四邊形堆場(chǎng)用于堆放建筑垃圾，需要拆除圍擋和，若m，求這個(gè)四邊形堆場(chǎng)面積的最大值．

【答案】（1）不會(huì)（2）（3）（4）【分析】（1）連接得到四邊形面積，通過即可得到答案；（2）過A點(diǎn)作，分別交、延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，連接；根據(jù)菱形和含角直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（3）在上取點(diǎn)滿足，連接，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)；根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì)計(jì)算得；再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，通過證明，推導(dǎo)得，；再結(jié)合勾股定理性質(zhì)計(jì)算即可完成求解；（4）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，含角直角三角形的性質(zhì)推導(dǎo)得，設(shè)，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)分析，即可得到答案.【詳解】（1）如下圖所示，連接，四邊形面積，∵，∴四邊形面積，∴當(dāng)是一個(gè)定值，則四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化故答案為：不會(huì)；（2）如圖，過A點(diǎn)作，分別交、延長(zhǎng)線于點(diǎn)、，連接

∵四邊形為菱形∴，∵菱形ABCD面積，∴，∴四邊形面積，∵，∴，在中，，，∴，，∴∴（3）如圖，在上取點(diǎn)滿足，連接，過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)∵，，∴，∵∴，∵，，∴，

∴，∴，∴，又，∴，∴，即，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，∴，∴四邊形面積．（4）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，∵，，∴，在中，，，

∴，，∵，∴，在中，，，∴，，∴設(shè)，則∴四邊形面積，，，，∵，∴四邊形面積隨增大而增大，∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形堆場(chǎng)面積的最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形、直角三角形、相似三角形、一次函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形、直角三角形、相似三角形和一次函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.25．如圖，四邊形是菱形，對(duì)角線和相交于點(diǎn)O、點(diǎn)E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂