數(shù)學(xué)-專項(xiàng)05 全等三角形與矩形翻折模型（帶答案）

專題05全等三角形與矩形翻折模型【模型展示】特點(diǎn)在矩形ABCD中，將△ABC沿著對(duì)角線AC翻折得到△AB’C，B’C交AD于點(diǎn)E。結(jié)論（1）△AEB’≌△CED；（2）AE=CE?！灸Ｐ妥儞Q】特點(diǎn)在矩形ABCD中，E、F分別為邊BC、AD上的任意點(diǎn)，連接EF，將四邊形CDFE沿著EF翻折得到C’D’FE，。結(jié)論（1）△CED≌△C’ED’；（2）四邊形EDFD’為菱形；（3）C、E、D’三點(diǎn)共線，且C’D∥FD’。

【題型演練】一、單選題1．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=6，將△ABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，CE交AD于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易證△AEF≌△CDF，即可得到結(jié)論EF=DF；易得FC=FA，設(shè)FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x．【詳解】解：∵矩形ABCD沿對(duì)角線AC對(duì)折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B＝∠Ｄ=90°，又∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF與△CDF中，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四邊形ABCD為矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，

∴FC=FA，設(shè)FA=x，則FC=x，F(xiàn)D=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，則FD=6﹣x=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了矩形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)以及勾股定理．2．如圖，將矩形紙片折疊（），使落在上，為折痕，然后將矩形紙片展開鋪在一個(gè)平面上，點(diǎn)不動(dòng)，將邊折起，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，連接，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】證明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），推出BF＝DB′，再證明DB′＝EC＝BF＝1，由直角三角形的性質(zhì)求出AB′，則可得結(jié)論．【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知，EB＝EB′，∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°，在Rt△EBF和Rt△EB′D中，，∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），∴BF＝DB′，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°，∴四邊形ECDB′是矩形，∴DB′＝EC＝1，

∴BF＝EC＝1，由翻折的性質(zhì)可知，BF＝FG＝1，∠FAG＝45°，∠AGF＝∠B＝∠AGF＝90°，∴AG＝FG＝1，∴AF＝．∴AB＝AB′＝1＋，∴AD＝AB′＋DB′＝2＋，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明四邊形ECDB′是矩形．3．如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，點(diǎn)D在邊BC上，且CD＝3DB，點(diǎn)E是邊OA上一點(diǎn)，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A'恰好落在邊OC上，則OE的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、AD，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，即可求得CD、BD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到=AD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可到=BD=1，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】連接、AD，如圖，∵四邊形OABC是矩形，

∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3BD，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，根據(jù)翻折的性質(zhì)有：=AD，，∴在Rt△和Rt△DBA中，CD=AB，=AD，∴Rt△≌Rt△DBA（HL），∴=BD=1，∴=2，∵在Rt△中，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．4．如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點(diǎn)F，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明，得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．

【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根據(jù)折疊可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，則，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．5．如圖，ABCD是一張矩形紙片，AB＝20，BC＝4，將紙片沿MN折疊，點(diǎn)，分別是B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，MB′與DC交于K，若△MNK的面積為10，則DN的最大值是（

）A．7.5 B．12.5 C．15 D．17【答案】D【分析】作NE⊥于E，NF⊥BM于F，由折疊得∠1＝∠2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得NE＝NF，可得四邊形BCNF是矩形，則NF＝BC＝4，根據(jù)△MNK的面積為10得NK＝MK＝5，根據(jù)勾股定理得KE＝3，則MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，設(shè)DN＝x，則CN＝20﹣x，BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，由折疊可得BM≥KM，即22﹣x≥5．可得x≤17，即可得DN≤17，則DN的最大值是17．

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)N作NE⊥于E，NF⊥BM于F，由折疊得∠1＝∠2，∴NE＝NF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BFN＝90°，，∴四邊形BCNF是矩形，∠DNM=∠2，∴NE＝NF＝BC＝4，∠1=∠DNM，∴NK=MK，∵△MNK的面積為10，∴KM?NE＝KN?NF＝10，∴NK＝MK＝5，∴KE＝＝3，

在△MEN和△MFN中，，∴△MEN≌△MFN（AAS），∴MF＝ME＝MK﹣KE＝5﹣3＝2，設(shè)DN＝x，則CN＝BF＝20﹣x，∴BM＝BF+MF＝20﹣x+2＝22﹣x，由折疊得BM≥KM，即22﹣x≥5．∴x≤17，即DN≤17，∴DN的最大值是17．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，BC＝9，M是BC上的點(diǎn)，且CM＝3，將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)M的直線折疊，使點(diǎn)D落在AB上的點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，折痕為MN，則線段AN的長(zhǎng)是___．【答案】4【分析】連接PM，推出BM＝BC﹣CM＝9﹣3＝6，由折疊性質(zhì)得，CD＝PC′＝6，∠C＝∠PC′M＝∠PBM＝90°，C′M＝CM＝3，由Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），得出PB＝C′M＝3，所以PA＝AB﹣PB＝6﹣3＝3．設(shè)AN＝x，則ND＝9﹣x＝PN，在Rt△APN中，AN2+AP2＝PN2，即x2+32＝（9﹣x）2，求出x的值即可得出答案．【詳解】解：連接PM，如圖：∵AB＝6，BC＝9，CM＝3，∴BM＝BC﹣CM＝9﹣3＝6，由折疊性質(zhì)得，CD＝PC′＝6，∠C＝∠PC′M＝∠PBM＝90°，C′M＝CM＝3，在Rt△PBM和Rt△MC′P中，，∴Rt△PBM≌Rt△MC′P（HL），∴PB＝C′M＝3，

∴PA＝AB﹣PB＝6﹣3＝3．設(shè)AN＝x，則ND＝9﹣x＝PN，在Rt△APN中，AN2+AP2＝PN2，即x2+32＝（9﹣x）2，解得x＝4，∴AN的長(zhǎng)是4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變化、矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練應(yīng)用翻折變化的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，沿AE所在的直線折疊△ADE，落在矩形內(nèi)部得到△AFE，延長(zhǎng)AF交BC邊于點(diǎn)G，若＝，則的值為_________．【答案】【分析】連接GE，證明，得，設(shè)，表示出，，，，的長(zhǎng)度，再由勾股定理得的長(zhǎng)度，即可得出比值．【詳解】如圖，連接GE，∵在矩形ABCD中，∴，，，∴由折疊的性質(zhì)可知：，，，∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴，∴，又∵（公共邊），∴，

∴，∵，∴設(shè)，則，，，∴，∵在中，由勾股定理得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，折疊前后的圖形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，將此矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，折痕為EF，則DD'的長(zhǎng)為_____．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得AD′=CD=6；連接AC，根據(jù)勾股定理求得AC=10，證得（AAS），根據(jù)全等的性質(zhì)得：D′F=BE，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段BE的方程，解方程求得BE的長(zhǎng)，即可求得，然后通過證，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得DD′．

【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，∵AD′=CD，∴AD′=6；連接AC，∵AB=6，BC=AD=8，∠ABC=90°，∴由勾股定理得：，∵∠BAF=∠D′AE=90°，∴∠BAE=∠D′AF，在△BAE和△D′AF中，∴（ASA），∴D′F=BE，∠AEB=∠AFD′，∴∠AEC=∠D′FD，由題意知：AE=EC；設(shè)BE=x，則AE=EC=8-x，在Rt△ABE中，∠B=90°，由勾股定理得：（8-x）2=62+x2，解得：，∴BE=，AE=8-=，∴，則：，

∵∠AD′F=∠D′AE=90°，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等幾何知識(shí)點(diǎn)來解題．9．如圖，矩形中，，，為中點(diǎn)．為上一點(diǎn)，將沿折疊后，點(diǎn)恰好落到上的點(diǎn)處，則______，______．【答案】

6

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可求EG；連接EC，證，由勾股定理即可求EF；【詳解】解：連接CE，∵為中點(diǎn)∴在和中∵∴∴設(shè)，則即

解得：故答案為：6；．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形得性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題10．如圖，矩形ABCD中，，把矩形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE.(1)求證：△ADE≌△CED；(2)求證：△DEF是等腰三角形.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知AD＝BC、AB＝CD，再由折疊的性質(zhì)，可得BC＝CE，AB＝AE，進(jìn)而可推導(dǎo)AD＝CE，AE＝CD，然后由“SSS”證明△ADE≌△CED即可；（2）由（1）可知△ADE≌△CED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，即可證明△DEF是等腰三角形．（1）證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝CD，由折疊的性質(zhì)，可得BC＝CE，AB＝AE，∴AD＝CE，AE＝CD，在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）；（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA＝∠EDC，即∠DEF＝∠EDF，∴EF＝DF，∴△DEF是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．11．如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，AE與CD交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由矩形與折疊的性質(zhì)可得，，從而可得結(jié)論；（2）先證明，再求解，結(jié)合對(duì)折的性質(zhì)可得答案．

（1）證明：將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，則，．在△DAF和△ECF中，∴．（2）解：∵，∴．∵四邊形ABCD是矩形，∴．∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)證明邊與角的相等是解本題的關(guān)鍵．12．將矩形ABCD對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕EF，展開后再一次折疊，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)處，并使得折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BG，連接，如圖1，問題解決：(1)試判斷圖1中是什么特殊的三角形？并說明理由；(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，與BG相交于點(diǎn)N，點(diǎn)P是BN的中點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，求的值．【答案】(1)是等邊三角形，理由見解析

(2)【分析】（1）等邊三角形，解法一利用垂直平分線性質(zhì)得出AA′=BA′，利用折疊得出即可，解法二：根據(jù)折疊得出，，然后利用銳角三角函數(shù)定義得出，求出即可；（2）解法一：過點(diǎn)N作交AP于H，先證（AAS），再證，得出即可

解法二：由折疊可知，由點(diǎn)P是BN的中點(diǎn)，得出，利用平行線等分性質(zhì)得出，，證出即可．(1)解：是等邊三角形．解法一：理由是：由折疊可知EF垂直平分AB；∴AA′=BA′，∵△ABG折疊得△A′BG，∴，∴；∴是等邊三角形；解法二：理由是：由折疊可知，，，∴，∴，∴是等邊三角形；(2)

解法一：過點(diǎn)N作交AP于H，∴，，又∵點(diǎn)P是BN的中點(diǎn)，

∴，在△PHN和△PQB中，，∴（AAS），

∴，又∵，∴，，∴，由折疊可知，∴，

∴，

∴；解法二：由折疊可知，又∵點(diǎn)P是BN的中點(diǎn)，

∴，過點(diǎn)N作交于M，∴，，

∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值求角，掌握一題多解，等邊三角形的判定，折疊性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，平行線等分線段定理，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．如圖，在矩形ABCD中，M，N是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，將矩形折疊分別使點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，點(diǎn)D與點(diǎn)N重合，折痕分別為AE，CF．連接EF，交AC于點(diǎn)O．(1)求證：．(2)求證：四邊形ECFA是平行四邊形．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊證明即可；（2）由（1）中全等可得AE＝CF，再證明即可．(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，，，∴．∵將矩形折疊分別使點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，點(diǎn)D與點(diǎn)N重合，折痕分別為AE，CF，

∴，，∴，∴．(2)∵，∴AE＝CF．∵，，，∴，∴，∴四邊形ECFA是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊、平行四邊形的判定，熟記矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．實(shí)踐與探究如圖①，在矩形ABCD中，，．將矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D落在矩形ABCD的內(nèi)部，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為AE，再將矩形ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上，折痕為AF，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作直線交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．(1)求證：．(2)求證：四邊形ABNM是正方形．(3)若，求線段BF的長(zhǎng)．(4)如圖②，將矩形沿所在直線繼續(xù)折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)E的位置不同，點(diǎn)的位置也不同．當(dāng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合時(shí)，線段DE的長(zhǎng)為__________．【答案】(1)見解析；

(2)見解析；(3)7.2；(4)【分析】（1）利用折疊性質(zhì)和全等三角形的判定證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)和正方形的判定證明即可；（3）利用正方形的性質(zhì)得出MN=AB=BN=AM=12，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明△AMG∽△ADE求得MG=3，設(shè)BF==x，可求得GN=9，F(xiàn)G=3+x，F(xiàn)N=12-x，在△GNF中利用勾股定理求得x即可求解；（4）設(shè)DE=y，則CE=12-y，根據(jù)折疊性質(zhì)得E=y，E=12-y，再由勾股定理求得y值即可求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=12，AD=BC=16，∠B=∠D=∠BAD=∠C=90°，由折疊性質(zhì)得：∠MAG=∠AG，∠AF=∠AG=∠B=90°，AB=A，∵M(jìn)N⊥AD，∴∠AMN=90°，則∠AMG=∠AG=90°在△AMG和△AG中，∴（AAS）；（2）證明：∵∠B=∠BAD=∠AMN=90°，∴四邊形ABNM是矩形，∵，∴AM=A，則AM=AB，∴四邊形ABNM是正方形；（3）解：∵四邊形是ABNM正方形，∴MN=AM=BN=AB=12，

∵∠AMN=∠D=90°，∠DAE=∠DAE，∴△AMG∽△ADE，∴，∵AM=12，DE=4，AD=16，∴，∴MG=3，∵，∴MG=G=3，設(shè)BF==x，則GN=12-3=9，F(xiàn)G=x+3，F(xiàn)N=12-x，在△GNF中，∠GNF=90°，∴由勾股定理得：GN2+FN2=FG2，∴92+（12-x）2=（x+3）2，解得：x=7.2，∴BF=7.2；（4）解：由折疊性質(zhì)得：A=AD=16，AB=A=12，E=CE，DE=E，∠D==90°，∴=16-12=4，設(shè)DE=y，則CE=12-y，在中，=90°，=y，=12-y，∴由勾股定理得：2+2=2，則42+y2=（12-y）2，解得：y=，∴DE=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．15．在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且DE＝BF，連接EF．將矩形ABCD沿EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)G處，點(diǎn)B落在點(diǎn)H處．

(1)如圖①，當(dāng)線段EG與線段BC交于點(diǎn)P時(shí)，求證：PE＝PF；(2)如圖②，當(dāng)線段EG的延長(zhǎng)線與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P時(shí)．GH交線段CD交于點(diǎn)M，①求證：△PCM≌△PGM；②E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M是否在線段EF的垂直平分線上？如果在，請(qǐng)證明；如果不在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M一直在線段EF的垂直平分線上．證明見解析【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知：∠AEF＝∠GEF，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠AEF＝∠EFP，即可得到∠GEF＝∠EFP，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（2）①根據(jù)HL證明Rt△PCM≌Rt△PGM，即可得證；②當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M一直在線段EF的垂直平分線上．如圖：連接BD交EF于點(diǎn)O，連接OP，證明△DOE≌△BOF（ASA），由①可得PE＝PF，OP是線段EF的垂直平分線，OP也是∠EPF的角平分線（三線合一）．由①△PCM≌△PGM，得∠CPM＝∠GPM，即：MP是∠CPG的角平分線，可得當(dāng)點(diǎn)E、F在移動(dòng)過程中，點(diǎn)M一直在線段EF的垂直平分線上．（1）由折疊的性質(zhì)可知：∠AEF＝∠GEF，∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEF＝∠EFP，∴∠GEF＝∠EFP，∴PE＝PF；（2）

①由折疊的性質(zhì)可知：AE＝EG，∵矩形ABCD中，AD＝BC，DE＝BF，∴AD－DE＝BC－BF，即：AE＝FC，∴EG＝FC，又∵∠PEF＝∠AEF＝∠PFE，∴PE＝PF，∴PE－EG＝PF－CF，即：PG＝PC；又∵DC⊥BC，HG⊥EG，∴∠MCP＝∠MGP＝90°；又∵PM＝PM，∴Rt△PCM≌Rt△PGM（HL）；即：△PCM≌△PGM；②當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)M一直在線段EF的垂直平分線上．如圖：連接BD交EF于點(diǎn)O，連接OP，∵AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，又∵DE＝BF，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴OE＝OF；由①可得PE＝PF，∴OP是線段EF的垂直平分線，∴OP也是∠EPF的角平分線（三線合一）．由①△PCM≌△PGM得：∠CPM＝∠GPM，即：MP是∠CPG的角平分線，∵∠EPF與∠CPG是同一個(gè)角，

∴MP與OP重合，即：當(dāng)點(diǎn)E、F在移動(dòng)過程中，點(diǎn)M一直在線段EF的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形AC沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE與DC的交點(diǎn)為O，連接DE．(1)求證：．(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根據(jù)SSS可證△ADE≌△CED(SSS)；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE與△ACB關(guān)于AC所在直線對(duì)稱，可得∠OAC=∠CAB，根據(jù)等量代換可得∠OAC=∠DEA，再根據(jù)平行線的判定即可求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，∵AC是折痕，∴BC=CE=AD，AB=AE=CD，在△ADE與△CED中，∴△ADE≌△CED(SSS)，

（2）證明：∵△ADE≌△CED，∴∠EDC=∠DEA，又∵△ACE與△ACB關(guān)于AC所在直線對(duì)稱，∴∠OAC=∠CAB，∵∠OCA=∠CAB，∴∠OAC=∠OCA，在△DOE和△AOC中，∠DOE=∠AOC，∵2∠OAC=180°－∠AOC，2∠DEA=180°－∠DOE，∴2∠OAC=2∠DEA，∴∠OAC=∠DEA，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換(折疊問題)，矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將沿BE折疊后得到，且G點(diǎn)在矩形ABCD的內(nèi)部，延長(zhǎng)BG交DC于點(diǎn)F，連接EF．(1)求證：；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AE=EG=DE，由“HL”可證Rt△DEF≌Rt△GEF；（2）設(shè)DC=3x，DF=2x，由線段的和差關(guān)系可求AB=3x，BF=5x，由勾股定理可求解．(1)

∵四邊形ABCD是矩形，∴，，，∵E是AD的中點(diǎn)，∴，∵將沿BE折疊后得到，∴，，，∴，，∴在和中，，∴；(2)∵，∴，∵，∴設(shè)，，∴，，∴，∴在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．18．折疊矩形ABCD，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE．(1)求證△ABF∽△FCE；(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面積．

【答案】(1)見解析(2)矩形ABCD的面積為80【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)即可證明△ABF∽△FCE．（2）由（1）得△ABF∽△FCE，所以，進(jìn)而可以解決問題．(1)證明：由矩形ABCD可得，∠B＝∠C＝∠D＝90°．∴∠BAF+∠AFB＝90°．由折疊得∠AFE＝∠D＝90°．∴∠AFB+∠EFC＝90°．∴∠BAF＝∠EFC．∴△ABF∽△FCE；(2)解：∵CF＝4，EC＝3，∠C＝90°∴EF＝DE＝5，∴AB＝CD＝8．由（1）得△ABF∽△FCE，∴∴BF＝6．∴BC＝10．∴S＝AB?CB＝10×8＝80．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABF∽△FCE．19．如圖，在矩形ABCD中，AD＜2AB，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，連接BE，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長(zhǎng)BG交DC于點(diǎn)F，連接EF．

(1)求證：△EGF≌△EDF；(2)若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，BC＝8，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由翻折和矩形的性質(zhì)可知∠EGF＝∠D＝90°，EG＝ED，可通過HL證明Rt△EGF≌Rt△EDF；（2）根據(jù)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)知：CF＝CD，BF＝，在Rt△BCF中，利用勾股定理即可列出方程．(1)證明：∵將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝∠D＝90°，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴EA＝ED，∴EG＝ED，在Rt△EGF與Rt△EDF中，∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）．(2)由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF，∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴GF＝DF＝CF＝，在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB＝CD，又由折疊可知AB＝GB，∴GB＝CD，∴BF＝GB+GF＝，在Rt△BCF中，由勾股定理得：

∴，∵CD＞0，∴CD＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，明確翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在正方形中，，E為中點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接，．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)平行，理由見解析(2)2【分析】（1）由折疊知，可得，根據(jù)E為的中點(diǎn)，可得，進(jìn)而可得，根據(jù)，即可得證；（2）證明，得，設(shè)，則，．勾股定理列出方程，解方程求解即可．（1）解：．理由如下：由折疊知，∴，．又E為的中點(diǎn)，∴．∴．

∵，∴．∴．（2）∵四邊形是正方形，∴．又，，,∴．∴．設(shè)，則，．∴．即．解得．即．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，HL證明三角形全等，全等三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．21．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＞AD，把長(zhǎng)方形沿對(duì)角線AC所在直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交CD于點(diǎn)F，連接DE．(1)圖中有個(gè)等腰三角形；（請(qǐng)直接填空，不需要證明）(2)求證：△ADE≌△CED；(3)請(qǐng)證明點(diǎn)F在線段AC的垂直平分線上．【答案】(1)2(2)證明見解析

(3)證明見解析【分析】（1）由題意知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC=∠DCA，有△ACF為等腰三角形；在和中，，知，有∠DEA=∠EDC，有△DEF為等腰三角形；（2）在和中，，可得；（3）由于，，，有，，故，進(jìn)而可得出結(jié)果．(1)解：有△ACF和△DEF共2個(gè)等腰三角形證明如下：由折疊的性質(zhì)可知CE=BC=AD，∠EAC=∠BAC∵∴∠EAC=∠DCA∴△ACF為等腰三角形；在和中∵∴∴∠DEA=∠EDC∴△DEF為等腰三角形；故答案為：2．(2)證明：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴，

在和中，∴．(3)證明：由（1）得∴，即∴又∵∴∴∴點(diǎn)F在線段AC的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形折疊的性質(zhì)，矩形，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等，垂直平分線等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用知識(shí)．22．如圖，在中，，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，以AB，BD為鄰邊作，連接AD、EC．(1)求證：；(2)若，求證：四邊形ADCE是矩形．【答案】(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理SAS可以證得△ADC≌△ECD；（2）利用等腰三角形的“三合一”性質(zhì)推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四邊形的判定定理（對(duì)邊平行且相等是四邊形是平行四邊形）證得四邊形ADCE是平行四邊形，所以有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．

（1）證明：∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴ABDE，AB=DE；∴∠B=∠EDC；又∵AB=AC，∴AC=DE，∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ACD；∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四邊形ABDE是平行四邊形，∴BDAE，BD=AE，∴AECD；又∵BD=CD，∴AE=CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形；在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一個(gè)角是直角的‘平行四邊形’是矩形”，而不是“有一個(gè)角是直角的‘四邊形’是矩形”．23．如圖1，為了探究某種類型矩形ABCD的性質(zhì)，數(shù)學(xué)項(xiàng)目學(xué)習(xí)小組在BC邊上取一點(diǎn)E，連接DE．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)DE平分∠ADC時(shí)，將△ABE沿AE折疊至△AFE，點(diǎn)F恰好落在DE上．據(jù)此解決下列問題：

(1)求證：△AFD≌△DCE；(2)如圖2，延長(zhǎng)CF交AE于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H．①求證：AH·AF＝AG·CF；

②求GH∶DF的值．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②3－4【分析】（1）根據(jù)ED平分∠ADC，有∠ADE=∠EDC=45°，即∠DEC=45°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，有，即AB=AF，∠AFD=∠B=90°，則有AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°，即可得；（2）①根據(jù)△AFD≌△DCE，得出AD＝DE，AF＝DF＝DC＝CE，證明，∠EFC＝∠AHG，即可證明△AHG∽△CFE，即可證明結(jié)論；②過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，設(shè)EC=CD=AF=DF=AB=a，根據(jù)條件求出，，利用△AHG∽△CFE，求出，即可求出答案．（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴，，，∵ED平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°，∴∠DEC=90°-∠EDC=45°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，有，∴AB=AF，∠AFD=∠B=90°，∴AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45