第14講 拓展二：三角函數(shù)中參數(shù)ω的取值范圍問題（解析版）

第14講拓展二：三角函數(shù)中參數(shù)的取值范圍問題題型01的取值范圍與單調(diào)性相結合【典例1】（2023上·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，得.由可得，.因為，所以，所以；又，所以，所以.所以，，此時有.故選：B.【典例2】（2023·全國·河南省實驗中學校考模擬預測）已知函數(shù)的周期為，且滿足，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】已知，令，解得則函數(shù)對稱軸方程為函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，，解得，又由，且，得，故僅當時，滿足題意.故選：C.【典例3】（2023上·湖北·高一湖北省天門中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則取值范圍是.【答案】【詳解】令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以.故答案為：【變式1】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當時，，因為在上單調(diào)遞增，所以，解得.當時，，因為，所以.因為在上單調(diào)遞減，所以且，解得，又，所以的取值范圍是.故選：A【變式2】（2023上·河北保定·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)滿足，且在上單調(diào)，則的最大值為．【答案】3【詳解】由題可得，由，且在上單調(diào)，得的圖像關于點中心對稱，因為直線與直線關于直線對稱，結合的圖像對稱性，所以在上單調(diào)，得，又，所以，故的最大值為3．故答案為：3.【變式3】（2023下·安徽馬鞍山·高一安徽省當涂第一中學?？计谥校┮阎瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】由題意有,可得,又由，在上為減函數(shù)，故必有,可得.故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：題型02的取值范圍與對稱性相結合【典例1】（2023上·山東濟南·高三山東省濟南市萊蕪第一中學?？茧A段練習）若存在實數(shù)，使得函數(shù)的圖象關于直線對稱，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，且，則，若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則，解得.故選：C.【典例2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，其圖像的一條對稱軸方程為，則的值不可以是（

）A． B．C．1 D．【答案】B【詳解】由，得，由題意得，所以，所以，1，.故選：B.【變式1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考階段練習）已知函數(shù)，為的零點，為圖象的對稱軸，且在上單調(diào)，則的最大值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【詳解】因為，為圖象的對稱軸，所以，即，所以，即為正奇數(shù).因為在上單調(diào)，則，即，解得：.觀察選項，小于等于且為正奇數(shù)的有：，當時，,因為，所以，此時.當時，，此時在單調(diào)遞減，符合題意；故的最大值為9.故選：C.題型03的取值范圍與三角函數(shù)的最值相結合【典例1】（2023上·上海浦東新·高三校考期中）奇函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，即，所以，當時，則，所以，解得，故選：C.【典例2】（2023下·廣西南寧·高二賓陽中學校聯(lián)考期末）設函數(shù)在上恰有2個零點，且的圖象在上恰有2個最高點，則的取值范圍是.【答案】【詳解】因為，則，而函數(shù)在上恰有2個零點，且的圖象在上恰有2個最高點，因此，即，當時，不符合題意，當時，不等式組為，不等式組無解，當時，不等式組為，解得，當時，不等式組無解，所以的取值范圍是.故答案為：【變式1】（2023下·河南新鄉(xiāng)·高一新鄉(xiāng)市第一中學?？茧A段練習）已知，且在區(qū)間上有最大值，無最小值，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象關于對稱，且在區(qū)間上有最大值，無最小值，所以，所以，所以，當時，，當時，，此時在區(qū)間內(nèi)已存在最小值;當時，，此時在區(qū)間內(nèi)已存在最小值．故選：A．【變式2】（2023下·廣西南寧·高二南寧三中?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間上恰好取得一次最大值，則的取值范圍是【答案】【詳解】由，可得，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，由，得，因為函數(shù)在區(qū)間上恰好取得一次最大值，所以，解得，綜上的取值范圍是.故答案為：.題型04的取值范圍與三角函數(shù)的零點相結合【典例1】（2023上·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在上沒有零點，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)在上沒有零點，所以，即，所以，解得，由，則，所以，解得，綜上可得，所以的最大值為.故選：B【典例2】（2023上·湖南·高三雅禮中學校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)在內(nèi)恰好存在8個，使得，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，由，得，因為，，所以，依題意可得，，解得．故選：D．【典例3】（2023上·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)（）在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍為．【答案】【詳解】因為（），令，則，因為，，令得：，由題意可知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點，所以，所以．故答案為：【變式1】（2023上·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．若，，且在上恰有1個零點，則實數(shù)ω的取值范圍為（

）A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，]【答案】B【詳解】由得，，所以，即，，因為，，，因為在上恰有1個零點，所以①，無解，②，解得，綜上，實數(shù)ω的取值范圍為，故選：B.【變式2】（2023上·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的最大值是．【答案】【詳解】解：因為，且，所以，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，所以，解得且，故，解得，因為，故