相似三角形經(jīng)典講義

/相似三角形一、本章的兩套定理第一套（比例的有關(guān)性質(zhì)）：合比性質(zhì)：合比性質(zhì)：（比例基本定理）涉及概念：①第四比例項②比例中項③比的前項、后項，比的內(nèi)項、外項④黃金分割等。二、有關(guān)知識點：1.相似三角形定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符號“∽”表示，讀作“相似于”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的對應(yīng)邊的比叫做相似比。4.相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所截成的三角形與原三角形相似。5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定（）相似三角形的判定兩邊對應(yīng)成比例夾角相等三邊對應(yīng)成比例兩角對應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對應(yīng)成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對應(yīng)邊相等”的條件改為“對應(yīng)邊成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識的基礎(chǔ)上找出新知識并從中探究新知識掌握的方法。6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，則這兩個直角三角形相似。7.相似三角形的性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對應(yīng)角相等。(2)相似三角形的對應(yīng)邊成比例。(3)相似三角形的對應(yīng)高線的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。(4)相似三角形的周長比等于相似比。(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。相似三角形的傳遞性如果△∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，則△∽A2B三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一個判定定理，也是后面學(xué)習的相似三角形的判定定理的基礎(chǔ)，這個定理確定了相似三角形的兩個基本圖形“A”型和“8”型。在利用定理證明時要注意A型圖的比例，每個比的前項是同一個三CADCADB.相似三角形的基本圖形Ⅰ.平行線型：即A型和X型。Ⅰ.相交線型CECEDBA三角形相似及比例式或等積式。4、添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。5、對比例問題，常用處理方法是將“一份”看著k;對于等比問題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。相似三角形測試卷一、選擇題1．下列命題中，正確的是（）A．任意兩個等腰三角形相似B．任意兩個菱形相似C．任意兩個矩形相似D．任意兩個等邊三角形相似2、．已知點C在直線上，且線段2，則（）A．1B．2C3、如圖，在長為8、寬為4的矩形中，截去一個矩形，使得留下的矩形與原矩形相似，則留下矩形的面積是（）A．22B．42C．82D．4、Δ中，，且SΔ梯形1:2，則的值是（）A．1:2B．1:3C．1:D．1:5、如圖□中是上的點，交于點P，交的延長線于點R，若4:3，則（）A．4:3B．4:7C．3:4D．3:76、如圖，梯形的對角線相交于點O，有如下結(jié)論：①Δ∽Δ，②Δ∽Δ，③SΔΔ，④SΔΔ；其中一定正確的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個7、如圖，□中，E為的中點．已知△的面積為S，則△的面積為（）A．SB．2SC．3SD．48、在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比。已知這本書的長為20第3題第5題第6題第7題ADCPBE9、如圖，中，，，，是上一點，ADCPBE作于，于，設(shè)，則（）A． B． C． D．10、如圖，在□中，E是的中點，且∠∠，下列結(jié)論不正確的是()ABCDEFA、BABCDEFC、四邊形是等腰梯形D、∠∠二、填空題11、如圖，將三個全等的正方形拼成一個矩形，則：等于度12、一張等腰三角形紙片，底邊長l5，底邊上的高長22．5．現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3的矩形紙條，如圖所示．已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是第張．13、如圖中，，垂足是D，下列條件中能證明是直角三角形的有（只填序號）。①②③④14、如圖，點M是△內(nèi)一點，過點M分別作直線平行于△的各邊，所形成的三個小三角形△1、△2、△3（圖中陰影部分）的面積分別是4，9和49．則△的面積是第11題第12題第13題第14題三、解答題15、（1）已知：，求的值16、如圖，在平行四邊形中，過點A作⊥，垂足為E，連接，F(xiàn)為線段上一點，且∠＝∠B.①求證：△∽△②若＝4＝3＝3,求的長.17、已知，延長到D，使．取的中點，連結(jié)交于點．（1）求的值；（2）若，求的長．18、如圖，已知：，求證：EADBC19.如圖，在△中1,點D、E在直線上運動，設(shè).如果∠30°，∠105°，試確定與之間的函數(shù)關(guān)系。EADBC20.已知，如圖，梯形中，∥，梯形外一點P，連結(jié)、分別交于F、G，且，對角線交于E，求證：∶=∶21、E為正方形的邊上的中點，1，⊥交于M，交的延長線于N，求證：⑴·；⑵；⑶=；22、如圖中，邊60，高40，是內(nèi)接矩形，交于P，設(shè),⑴求矩形的周長y與x的函數(shù)關(guān)系式；⑵求矩形的面