2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第1講 集合技巧全攻略-解析版36

第1講集合技巧全攻略交集并集補(bǔ)集結(jié)論一、集合的互異性對(duì)于一個(gè)給定的集合,它的任意兩個(gè)元素是不能相同的.凡是出現(xiàn)含參數(shù)的集合,必須首先考慮集合的互異性,即集合中元蘇不相等,例如集合,則有[例1]設(shè)集合,則中元素的個(gè)數(shù)為（）. A.3 B.4 C.5 D.6[答案][解析]因?yàn)榧?所以的值可能為.所以中元素只有:5，6，7故選.[變式]已知集合各元素之和等于3,則實(shí)數(shù)（）[答案]2或[解析]根據(jù)集合中元素的互異性,當(dāng)方程重根時(shí),重根只能算一個(gè)元素..當(dāng)時(shí),,不合題意;當(dāng),即時(shí),,符合題意;當(dāng),且時(shí),,則,符合題意.綜上,或.結(jié)論二、集合相等對(duì)于兩個(gè)集合與,如果,且,那么集合與相等,記作.[例2]設(shè),集合,則（）. A.1 B. C.2 D.[答案]C[解析]由題意知,又,故,得,則集合,可得,則.故選.【變式】設(shè),若,則（）[解析]因?yàn)?所以,所以,所以.結(jié)論三、集合子集個(gè)數(shù)真子集有個(gè),非空真子集有個(gè).[例3]已知集合,則的子集個(gè)數(shù)為（）. A.3 B.4 C.7 D.8[答案]D[解析]因?yàn)榧?所以,,所以中含有3個(gè)元素,集合的子集個(gè)數(shù)有.故選.【變式】設(shè)集合,若至少有3個(gè)元索,則這樣的一共有（）. A.2個(gè) B.4個(gè) C.5個(gè) D.7個(gè)[答案]C[解析]因?yàn)榧现辽儆?個(gè)元素,所以滿足條件的集合有:,所以這樣的一共有5個(gè).故選.結(jié)論四、子集與交集若,則;若,則.[例4]已知集合.若,則實(shí)數(shù)的值是（）. A.0 B.2 C.0或2 D.0或1或2[答案]C[解析]因?yàn)?所以,所以或故選.【變式】已知集合,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）. A. D.[答案]C[解析]由,即,可得,故.由可得,故.故選.結(jié)論五、子集與并集若,則;若,則.[例5]已知集合，.若,則的取值范圍是（）. A. B. C. D.[答案]C[解析]因?yàn)?所以,即,得,解得,所以的取值范圍是.故選C.【變式】設(shè)全集,若,則下列正確的是(). A. B. C. D.[答案]B[解析]由可得,所以.故選B.結(jié)論六、子集與空集題目中若有條件,則應(yīng)分和兩種情況進(jìn)行討論.[例6]若集合,,且,則實(shí)數(shù)[答案]0或或[解析]由可得或,因此(1)若,得,此時(shí),;(2)若,得.若,滿足或,解得或.故所求實(shí)的值為0或或.【變式】已知,則的取值范圍是___________[答案][解析]應(yīng)分和兩種情況討論.當(dāng),即時(shí),,滿足,即;當(dāng),即時(shí),,滿足,即;當(dāng),即時(shí),由,得即;綜上,.故的取值范圍是.結(jié)論七、交集與空集由于,因此,中的可以為.[例7]已知集合,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）. [答案]D[解析]由,得,得,所以4}.又,所以.(1)當(dāng)時(shí),有,解得.(2)當(dāng)時(shí),有綜上,.故選.【變式】設(shè),若,實(shí)數(shù)組成的集合的子集有（）個(gè).[答案]8[解析]集合化簡(jiǎn)得,由知,故()當(dāng)時(shí),即方程無解,此時(shí)符合已知條件.(當(dāng)時(shí),即方程的解為3或5,代人得或綜上,滿足條件的組成的集合為,故其子集共有個(gè).結(jié)論八、并集與空集由于,因此,中的可以為.[例8]已知集合,則的取值是(). A. B. C. D.[答案]D[解析]，，當(dāng)時(shí),.若,則方程無實(shí)數(shù)解,此時(shí);,則方程的實(shí)數(shù)解為,此時(shí);若,則方程的實(shí)數(shù)解為3,此時(shí);若,則方程的實(shí)數(shù)解為和3,此時(shí)不存在.綜上,的取值是.故選D.【變式】已知集合,若,實(shí)數(shù)的取值范圍為_______[答案][解析],因?yàn)?所以.(1)當(dāng)時(shí),即,解得(2)當(dāng)時(shí),即綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.結(jié)論九、反演律（德摩根定律)(交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并)（并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交）[例9]若為全集,下面三個(gè)命題中是真命題的有()(1)若,則.(2)若,則.(3)若,則. A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)[答案]D[解析]（1） (2);(3)證明:因?yàn)?即,而,所以;同理,所以=綜上，三個(gè)命題均為真命題.故選D.【變式】若全集,則集合等于（）. [答案]D[解析]因?yàn)?所以.故選D.結(jié)論十、容斥原理用表示集合中的元素個(gè)數(shù)(有資料中用或其他符號(hào))，則通過維恩圖可理解其具備的二維運(yùn)算性質(zhì).[例10]高一某班學(xué)生參加大舞臺(tái)和風(fēng)情秀兩個(gè)節(jié)目情況如下:參加風(fēng)情秀的人數(shù)占該班全體人數(shù)的八分之三;參加大舞臺(tái)的人數(shù)比參加風(fēng)情秀的人數(shù)多3人;兩個(gè)節(jié)目都參加的人數(shù)比兩個(gè)節(jié)目都不參加的學(xué)生人數(shù)少7人.則此班的人數(shù)為[答案]40人[解析]設(shè)，，.設(shè)該班兩個(gè)節(jié)目都參加的人數(shù)為，只參加風(fēng)情秀的人數(shù)為，由圖可知,,解得，因?yàn)?人),所以該班總?cè)藬?shù)為40人.【變式】設(shè)是有限集,定義,其中表示有限集中的元素個(gè)數(shù),命題(1):對(duì)任意有限集"是“"的充分必要條件;命題對(duì)任意有限集.下列判斷正確的是（）. A.命題(1)和命題(2)都成立 B.命題(1)和命題(2)都不成立 C.命題(1)成立,命題(2)不成立 D.命題(1)不成立,命題(2