2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第6講 函數(shù)的奇偶性與第7講 函數(shù)的對稱性-原卷版45

第6講函數(shù)的奇偶性通關(guān)一、函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)函數(shù)圖象的對稱性軸對稱中心對稱函數(shù)示意圖奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)滿足的關(guān)系式本質(zhì)當(dāng)取的自變量互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值相等當(dāng)取的自變量互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值也互為相反數(shù)1.函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱;2.是偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱是奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱;3.奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.4.為偶函數(shù).5.若奇函數(shù)的定義域包含0,則.通關(guān)二、函數(shù)奇偶性的運(yùn)算偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)通關(guān)三、一些重要類型的奇偶函數(shù)1.函數(shù)為偶函數(shù),函數(shù)為奇函數(shù). 2.函數(shù)且為奇函數(shù)3.函數(shù)且為奇函數(shù).4.函數(shù)且)為奇函數(shù).結(jié)論一、定義域優(yōu)先函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.【例1】若函數(shù)是偶函數(shù),定義域?yàn)?則__________.__________.【變式】已知偶函數(shù)的定義域?yàn)?則_________.結(jié)論二、函數(shù)的構(gòu)造任何一個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的函數(shù),總可以表示為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和,其中.【例2】已知是奇函數(shù),是偶函數(shù),且,則_________._________.【變式】已知是奇函數(shù),是偶函數(shù),且,則_________._________.結(jié)論三、奇函數(shù)特性1.是奇函數(shù)2.若是奇函數(shù),且有意義,則.【例3】若函數(shù)是奇函數(shù),則的值為（）. A.1 B.0 C. D.【變式】若函數(shù)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)的值（）. .等于0 B.等于1 C.等于2 D.不存在結(jié)論四、偶函數(shù)特性1.是偶函數(shù)2.若是偶函數(shù),則.3.如果偶函數(shù)在軸左側(cè)區(qū)間是遞減的,右側(cè)區(qū)間是遞增的,則自變量,，誰距離軸近,誰的函數(shù)值小,即若,則;反之,若,則;4.如果偶函數(shù)在軸左側(cè)區(qū)間是遞增的,右側(cè)區(qū)間是遞減的,則自變量,，誰距離軸近,誰的函數(shù)值大,即若,則;反之,若,則.【例4】設(shè)為定義在上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（） A. В. C. D.【變式】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)滿足,則的最小值是（） A. B.1 C. D.2結(jié)論五、奇偶性與單調(diào)性關(guān)系1.如果奇函數(shù)在區(qū)間上是遞增的,那么函數(shù)在區(qū)間上也是遞增的;2.如果偶函數(shù)在區(qū)間上是遞增的,那么函數(shù)在區(qū)間上是遞減的.【例5】設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù),且,則不等式的解集為_________.【變式】已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?且在區(qū)間上單調(diào)遞減,則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為_________.第7講函數(shù)的對稱性對稱軸:對稱軸:對稱軸:每個(gè)點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱之后還在圖像上.偶函數(shù)中兩自變量的中點(diǎn)是中間的0,兩函數(shù)值相等,有.因?yàn)檩S對稱圖形上對稱兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)在對稱軸上,所以若和兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱,,則兩自變量滿足因?yàn)橹悬c(diǎn)在對稱軸上).通關(guān)二、中心對稱對稱中心:每個(gè)點(diǎn)繞著對稱中心旋轉(zhuǎn)后還在圖像上.奇函數(shù)中兩自變量的中點(diǎn)是中間的0,兩函數(shù)值中點(diǎn)是0,有.若將對稱中心移到點(diǎn),可同理,從出發(fā),向左向右距離相等,使其自變對稱,則它們對應(yīng)的函數(shù)值的中點(diǎn)應(yīng)為,所以.當(dāng)自變量關(guān)于對稱時(shí),函數(shù)值關(guān)于對稱.通關(guān)三、常見對稱性結(jié)論序號函數(shù)滿足的條件對稱軸（中心）自對稱軸對稱（1）滿足的函數(shù)的圖象，偶函數(shù)（2）滿足的函數(shù)的圖象（或，或）（3）滿足的函數(shù)的圖象（或，或）（4）滿足的函數(shù)的圖象中心對稱（5）滿足的函數(shù)的圖象，奇函數(shù)（6）滿足的函數(shù)的圖象（或，或）（7）滿足的函數(shù)的圖象（8）滿足的函數(shù)的圖象互對稱軸對稱（9）與兩個(gè)函數(shù)的圖象，即軸（10）與兩個(gè)函數(shù)的圖象（11）與兩個(gè)函數(shù)的圖象（12）與兩個(gè)函數(shù)的圖象，即軸（13）與兩個(gè)函數(shù)的圖象（14）與兩個(gè)函數(shù)的圖象中心對稱（15）與兩個(gè)函數(shù)的圖象（16）與兩個(gè)函數(shù)的圖象（17）與兩個(gè)函數(shù)的圖象結(jié)論一、型對函數(shù)成立的圖像關(guān)于直線對稱.【例1】如果函數(shù)對任意的實(shí)數(shù),都有,那么（）A． B． C． D．【變式】若函數(shù)滿足,且在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的最小值等于_______.結(jié)論二、型對函數(shù)成立的圖像關(guān)于直線對稱.【例2】對于函數(shù),若存在常數(shù),使得取定義域內(nèi)的每一個(gè)值,都有,則稱為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．【變式】若函數(shù)對任意都有,則以下結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．結(jié)論三、為偶函數(shù)型為偶函數(shù)的圖像關(guān)于對稱.【例3】函數(shù)在上單調(diào)遞增,且函數(shù)是偶函數(shù),則下列結(jié)論成立的是（）A． B． C． D．【變式】已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上為減函數(shù),且函數(shù)為偶函數(shù),則（）A． B． C． D．結(jié)論四、型對函數(shù)成立的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.【例4】 若函數(shù)滿足：,則的圖像的對稱中心為_______.【變式】已知函數(shù)當(dāng)時(shí),,且恒成立,則當(dāng)時(shí),____.結(jié)論五、型對函數(shù)成立的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.【例5】定義域在上的函數(shù)滿足,函數(shù)關(guān)于________對稱.【變式】已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足,且函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增.如果,且,則的值（）A．可正可負(fù) B．恒大于0 C．可能為0 D．恒小于0結(jié)論六、型對函數(shù)成立的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.【例6】已知滿足,則以下四個(gè)選項(xiàng)一定正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù) C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù)【變式】已知函數(shù)滿足,若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為,則（）A．0 B． C． D．結(jié)論七、為奇函數(shù)型為奇函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱.【例7】若函數(shù)是奇函數(shù),那么函數(shù)的圖像關(guān)于________對稱.【變式】已知函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),________.結(jié)論八、型簡單分式函數(shù),由變量分離法得對稱中心.【例8】函數(shù)的對稱中心是（）A． B． C． D．【變式】函數(shù)的圖像的對稱中心是,則____.結(jié)論九、含絕對值的函數(shù)對稱性1.的圖像關(guān)于直線對稱，且函數(shù)的最小值為0;2.的圖像關(guān)于直線對稱，且函數(shù)的最小值為;3.的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，且函數(shù)的值域?yàn)?【例9】設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,則的值為（）A．3 B．2 C．1 D．【變式】設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱,且函數(shù)的最大值為2,則______.結(jié)論十、兩個(gè)函數(shù)的對稱性若函數(shù)定義域?yàn)?則函數(shù)與兩函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱(由可得).【例10】對任意的函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)與函數(shù)的圖像恒（） A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于直線對稱 C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于軸對稱【變式】函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的關(guān)系為()A．關(guān)于對稱 B．關(guān)于對稱 C．關(guān)于對稱 D．關(guān)于對稱結(jié)論十一、對稱軸斜率為1或－11.關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.2.關(guān)于對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.【例11】已知函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于對稱,則（）A． B． C． D．【變式】設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱,且,則（）A． B．1 C．2 D．4結(jié)論十二、對稱性與單調(diào)性結(jié)論1.如果函數(shù)在對稱軸左側(cè)區(qū)間是遞減的,右側(cè)區(qū)間是遞增的,則自變量誰距離對稱軸近,誰的函數(shù)值小,即若,則;反之,若,則;2.如果函數(shù)