2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第11講 對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)-解析版52

第11講對(duì)數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)函數(shù)通關(guān)一、對(duì)數(shù)恒等式與對(duì)數(shù)的杜質(zhì)對(duì)數(shù)恒等式：.對(duì)數(shù)且)具有下列性質(zhì)：（1）零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù),即;（2）1的對(duì)數(shù)為零,即;（3）底的對(duì)數(shù)等于1,即.通關(guān)二、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)且,(1)當(dāng)時(shí),叫作常用對(duì)數(shù),記作;(2)當(dāng)時(shí),叫作自然對(duì)數(shù),記作為無(wú)理數(shù),.對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系及相互轉(zhuǎn)換通關(guān)三、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)的圖像特征和性質(zhì).結(jié)論一、對(duì)數(shù)基本運(yùn)算當(dāng)時(shí)：(1)；(2)；（3）【例1】求下列各式的值.(1);(2)(3).【答案】【解析】原式.(2)原式.(3)原式.【變式】求下列各式的值.(1).(2)(3)設(shè),求的值.【答案】【解析】.(2)(3)設(shè),則,所以結(jié)論三、換底公式1.換底公式:.2.倒數(shù)關(guān)系:.【例2】已知,則__________.（結(jié)果用表示）【答案】【解析】因?yàn)?所以.因?yàn)?所以.所以.【變式】若,則（） A. B.1 C. D.2【答案】【解析】因?yàn)?所以.所以.故選.結(jié)論三、對(duì)數(shù)比大小1．若底數(shù)為同一個(gè)常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.2.若底數(shù)不同,真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較.【例3】已知,則的大小關(guān)系是（）. A. B. C. D.【答案】【解析】因?yàn)?所以.故選B.【變式】設(shè)正數(shù)滿足,給出下列五個(gè)結(jié)論,其中不中能成立的結(jié)論的序號(hào)是(1);（3）;(4).【答案】（4）（5）【解析】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足,即在處的函數(shù)值和在處的函數(shù)值相等,當(dāng)時(shí)，,此時(shí)(3)成立.作出直線,由圖像知,此時(shí),得,由此知(1)成立,(4)不成立.作出直線,由圖像知，此時(shí),可得,由此知成立，不成立.綜上可知,不可能成立的結(jié)論的序號(hào)是(4)(5).結(jié)論四、對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)且的圖像恒過(guò)點(diǎn),且函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)第一、四象限.【例4】已知函數(shù)且的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn),則點(diǎn)坐標(biāo)是__________.【答案】【解析】令得,則.故函數(shù)的圖像必過(guò)定點(diǎn).【變式】已知,且,函數(shù)的圖像恒過(guò)點(diǎn),若在冪函數(shù)的圖像上,則__________.【答案】【解析】因?yàn)?，令，即時(shí)，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.由題意令，由于圖像過(guò)點(diǎn)，所以，所以，.故答案為.結(jié)論五、底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的影響1.底數(shù)與1的大小關(guān)系決定了對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的“升降”:當(dāng)時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像“上升”;當(dāng)時(shí),對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像“下降".2.底數(shù)的大小決定了圖像相對(duì)位置的高低:不論是還是,在第一象限內(nèi),自左向右,圖像對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大.3.作直線與所給圖像相交,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為該對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù),由此可判斷多個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)的大小關(guān)系.4.且在第一象限的圖像,越大,圖像越靠近軸;越小,圖像越靠近軸.【例5】如圖所示,曲線是底數(shù)分別為的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像,則的可能取值依次為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如圖所示,作直線交于點(diǎn),其橫坐標(biāo)大小為,那么所對(duì)應(yīng)的的底數(shù)的值可能依次為.故選B.【變式】已知函數(shù)的圖像如圖所示,則滿足的關(guān)系是(). A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)圖像可知,在上單調(diào)遞增,故.函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo),由函數(shù)圖像可知,解得.綜上,有.故選A.結(jié)論六、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性若在上是增函數(shù);若在上是減函數(shù).要點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)增減有思路,函數(shù)圖像看底數(shù),底數(shù)只能大于0,等于1來(lái)也不行.底數(shù)若是大于1,圖像從下往上增,底數(shù)0到1之間，圖像從上往下減.無(wú)論函數(shù)增和減,圖像都過(guò)點(diǎn).【例6】設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則（） A. B.2 C. D.4 【答案】D【解析】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù),