海南省2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期學(xué)業(yè)水平診斷（二）數(shù)學(xué)試題(含答案)

絕密★啟用前海南省2023—2024學(xué)年高三學(xué)業(yè)水平診斷（二）數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．．若復(fù)數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．3．．若雙曲線的右焦點到漸近線的距離為，則的方程為（）A．B．C．D．4．已知向量，若不共線，是的平分線，則（）A．B．C．2D．35．如圖所示，用若干個正方形拼成一個大矩形，然后在每個正方形中以邊長為半徑繪制圓弧，這些圓弧連起來得到一段螺旋形的曲線，我們稱之為“斐波那契螺旋線”．若圖中最大的矩形面積為104，則這段斐波那契螺旋線的長度為（）A．B．C．D．6．已知都是第二象限角，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件7．已知玩具由四個部件拼成，玩具由三個部件拼成，玩具由，三個部件拼成，其中與完全相同，與完全相同，其余部件各不相同．將三個玩具拆開成10個部件，從中隨機選取3個部件，則能拼成一個完整的玩具（其中之一）的概率為（）A．B．C．D．8．若，則（）A．B．C．D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．在長方體中，與平面所成的角為，則（）A．異面直線與所成的角為B．異面直線與所成的角為C．與平面所成的角為D．與平面所成的角的正弦值為10．已知函數(shù)，則（）A．是奇函數(shù)B．僅有1個零點C．不等式的解集為D．對任意11．已知，且，則（）A．B．或C．D．或12．已知拋物線經(jīng)過點和，過點作直線的垂線，垂足為，則（）A．的焦點坐標(biāo)為B．直線的斜率的取值范圍是C．面積的最大值為32D．的最大值為24三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知直線經(jīng)過點，且平分圓的面積，則的方程為____________．14．若隨機變量，且，則____________．15．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則圖中矩形（陰影部分）的面積為____________．16．已知正三棱錐的四個頂點均在球的表面上，若正三棱錐的體積為，則球的體積的最小值為____________．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且．（Ⅰ）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的表達式；（Ⅱ）求數(shù)列的通項公式．18．（12分）如圖，四棱臺的上、下底面均為正方形，平面．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求平面與平面的夾角的余弦值．19．（12分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知且．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）若，求．20，（12分）某工廠有工人200名，統(tǒng)計他們某天加工產(chǎn)品的件數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：加工產(chǎn)品的件數(shù)人數(shù)5080402010規(guī)定一天加工產(chǎn)品件數(shù)大于70的工人為“生產(chǎn)標(biāo)兵”．已知這天的生產(chǎn)標(biāo)兵中年齡大于30歲的有15人，這15人占該工廠年齡大于30歲的工人數(shù)的．（Ⅰ）完成下面的列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該工廠的工人是否為生產(chǎn)標(biāo)兵與年齡有關(guān)？年齡不大于30歲年齡大于30歲生產(chǎn)標(biāo)兵非生產(chǎn)標(biāo)兵（Ⅱ）該工廠采用“階梯式”的計件工資：日加工產(chǎn)品不超過50件的部分每件1元，超過50件但不超過60件的部分每件2元，超過60件但不超過80件的部分每件3元，超過80件的部分每件5元．假設(shè)工人小張每天加工產(chǎn)品的件數(shù)只可能為樣本數(shù)據(jù)中各分組區(qū)間的右端點值，用對應(yīng)區(qū)間的頻率估計其概率，求小張每天的計件工資（單位：元）的期望．附：．0.050.010.0013.8416.63510.82821．（12分）已知橢圓的離心率為，上頂點為．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）設(shè)的右頂點為，點是上的兩個動點，且直線與的斜率之和為3，證明：直線過定點．22．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為．（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程．（Ⅱ）若存在兩個不同的零點，（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：．海南省2023—2024學(xué)年高三學(xué)業(yè)水平診斷（二）數(shù)學(xué)·答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分1．D2．A3．A4．D5．D6．C7．B8．C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．ABD10．ACD11．BD12．BC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．14．0.315．16．四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解析（Ⅰ），，數(shù)列是等差數(shù)列，其首項，公差為2．．（Ⅱ）當(dāng)時，，當(dāng)時，不適合上式．18．解析（Ⅰ）依題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，．，，，平面．（Ⅱ）．設(shè)平面的法向量為，則即令，則．四邊形是正方形，，平面，平面，是平面的一個法向量．，平面與平面的夾角的余弦值為．19．解析（Ⅰ）由正弦定理可得，，整理可得，或．當(dāng)時，，即，不符合條件．．（Ⅱ）由及，可得．由（Ⅰ）及正弦定理可得，．，．解析（Ⅰ）列聯(lián)表如下：年齡不大于30歲年齡大于30歲生產(chǎn)標(biāo)兵5515非生產(chǎn)標(biāo)兵8545，，根據(jù)的獨立性檢驗，不能認為該工廠的工人是否為生產(chǎn)標(biāo)兵與年齡有關(guān)．（Ⅱ）小張每天加工產(chǎn)品的件數(shù)可能為60，70，80，90，100，對應(yīng)的計件工資的值依次為，，，，．的分布列為701001301802300.250.40.20.10.05．解析（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為的離心率為，的上頂點為，，的方程為．（Ⅱ）由的方程可知．若直線的斜率不存在，則關(guān)于軸對稱，直線與的斜率互為相反數(shù)，不符合題意，故設(shè)直線的方程為，且均不與重合．由得，，，，令，解得．直線的方程為，即，直線過定點．22．解析