新教材2023版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)三十二直線與直線直線與平面的夾角北師大版選擇性必修第一冊(cè)

課時(shí)作業(yè)(三十二)直線與直線、直線與平面的夾角[練基礎(chǔ)]1．已知向量m，n分別是直線l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，，則l與α所成的角為()A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(10),10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(3,5)3．已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3)D.eq\f(1,3)4．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(3,5)5．在正四棱錐S-ABCD中，SA＝AB＝2，則直線AC與平面SBC夾角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),6)B.eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(6),3)6．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D是BB1的中點(diǎn)，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值等于()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(6),4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(10),4)7．若平面α的一個(gè)法向量為n＝(－eq\r(3)，1,1)，直線l的一個(gè)方向向量為a＝(eq\r(3)，1,1)，則l與α所成角的正弦值為_(kāi)_______．8．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是C1C的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，P是A1B1上的任意點(diǎn)，則直線BM與OP夾角的大小為_(kāi)_______．9．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC＝CA＝CC1，則直線BM與直線AN夾角的余弦值為_(kāi)_______．10．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)a，M為A1B1的中點(diǎn)，求BC1與平面AMC1所成角的正弦值．[提能力]11．[多選題]如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論正確的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1所成的角為60°12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且PD＝AB＝1，G為△ABC的重心，則PG與底面ABCD所成的角θ滿足()A．θ＝eq\f(π,4)B．cosθ＝eq\f(2\r(34),17)C．tanθ＝eq\f(2\r(2),3)D．sinθ＝eq\f(\r(3),3)13．已知在正四面體A-BCD中，E為棱AD的中點(diǎn)，則CE與平面BCD的夾角的正弦值為_(kāi)_______．14．正方體ABCD-A1B1C1D1中，B1D與BC1夾角的大小是________，若E，F(xiàn)分別為AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線EF與A1C1夾角的大小是________．15．如圖所示，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點(diǎn)．(1)求直線A1C與DE所成角的余弦值；(2)求直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值．[培優(yōu)生]16．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB＝2，AA1＝2eq\r(2)，D是AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且CO⊥平面ABB1A1.(1)證明：BC⊥AB1；(2)若OC＝OA，求直線CD與平面ABC夾角的正弦值．課時(shí)作業(yè)(三十二)1．解析：設(shè)l與α所成的角為θ且θ∈[0°，90°]，則sinθ＝|cos〈m，n〉|＝eq\f(1,2).∴θ＝30°.故選A.答案：A2．解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1＝2AB＝2，則D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D1(0，0，2).所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，CD1＝(0，－1，2)，所以cos〈eq\o(BE,\s\up6(→))，CD1〉＝eq\f(\o(BE,\s\up6(→))·CD1,|\o(BE,\s\up6(→))|·|CD1|)＝eq\f(3,\r(2)×\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).故選C.答案：C3．答案：A4．解析：不妨設(shè)CA＝CC1＝2CB＝2，則AB1＝(－2，2，1)，C1B＝(0，－2，1)，所以cos〈AB1，C1B〉＝eq\f(AB1·C1B,|AB1||C1B|)＝eq\f(（－2）×0＋2×（－2）＋1×1,\r(9)×\r(5))＝－eq\f(\r(5),5).所以所求角的余弦值為eq\f(\r(5),5).故選A.答案：A5．答案：C6．解析：以C為原點(diǎn)，在平面ABC中，過(guò)C作CB的垂線為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵AB＝1，AA1＝2，則A(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)，0)，C(0，0，0)，C1(0，0，2)，D(0，1，1)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)，0)，CC1＝(0，0，2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2)，1)，設(shè)平面AA1C1C的法向量n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(CA,\s\up6(→))＝\f(\r(3),2)x＋\f(1,2)y＝0,n·CC1＝2z＝0))，取x＝1，得n＝(1，－eq\r(3)，0)，設(shè)AD與平面AA1C1C所成角為θ，則sinθ＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·n|,|\o(AD,\s\up6(→))|·|n|)＝eq\f(\r(3),\r(2)·\r(4))＝eq\f(\r(6),4).答案：B7．解析：由題，設(shè)l與α所成角為θ，可得sinθ＝eq\f(|n·a|,|n||a|)＝eq\f(|－3＋1＋1|,\r(（－\r(3)）2＋1＋1)·\r(（\r(3)）2＋1＋1))＝eq\f(1,5).答案：eq\f(1,5)8．答案：eq\f(π,2)9．答案：eq\f(\r(30),10)10．略11．解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，DD1所在方向?yàn)閤，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則可以證明AC1⊥平面CB1D1，∴AC1可以作為平面CB1D1的法向量，∴C正確．∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，AC1＝(－1，1，1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))·AC1＝1－1＝0，∴BD∥平面CB1D1即AB正確．又∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，0，0)，CB1＝(1，0，1)，∴cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，CB1〉＝eq\f(\o(AD,\s\up6(→))·CB1,|\o(AD,\s\up6(→))||CB1|)＝－eq\f(\r(2),2)，∴AD與CB1所成的角為45°，∴D錯(cuò)，故選ABC.答案：ABC12．略答案：B13．答案：eq\f(\r(2),3)14．答案：90°30°.15．略16．解析：(1)證明由題意，∵四邊形ABB1A1是矩形，D為AA1的中點(diǎn)，AB＝2，AA1＝2eq\r(2)，AD＝eq\r(2)，∴在Rt△ABB1中，tan∠AB1B＝eq\f(AB,BB1)＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠AB1B＝∠ABD.又∵∠BAB1＋∠AB1B＝90°，∴∠BAB1＋∠ABD＝90°，即BD⊥AB1.又∵CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，∴CO⊥AB1，又∵CO∩BD＝O，CO，BD?平面BCD，∴AB1⊥平面BCD.∵BC?平面BCD，∴BC⊥AB1.(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(2\r(3),3)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，0，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(2\r(3),3)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，0，0)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(3),3)，0))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，0，－\f(2\r(3),3))).設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z).根據(jù)eq\b\lc