概率論與數(shù)理統(tǒng)計五章

第5章隨機變量的數(shù)字特征在許多問題中，并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，而只需了解它的某一性質(zhì)或特征就可以了。本章將介紹隨機變量的一些常見的數(shù)字特征，如數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)等，它們在理論和實踐上都有重要意義。

§5.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望5.1.1離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義5.1.1

設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P{X=ak}=pk(k=1,2,...),若級數(shù)絕對收斂,則稱它為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，或平均值（簡稱期望或均值）記為，即（5.1.1）

若級數(shù)不絕對收斂，則稱隨機變量X的數(shù)學(xué)期望不存在.例5.1.1有甲、乙兩個射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出：甲：乙：擊中環(huán)數(shù)８９１０擊中環(huán)數(shù)８９１０概率0.30.10.6概率0.20.50.3試問哪個射手本領(lǐng)較大？例5.1.2

據(jù)統(tǒng)計，一個50歲的人，在一年內(nèi)死亡的概率為1.5％，今有一個50歲的人參加一年期保險額度為20萬元的某種保險，須繳保費4千元，求保險公司獲利的數(shù)學(xué)期望．例5.1.3（一種驗血方法）在一個人數(shù)很多的團體中普查某種疾病，N個人去驗血，對這些人的血的化驗可以用兩種方法進行。（1）每個人的血分別化驗，這時需要化驗N次；（2）把k個人血液混在一起化驗，如果是陰性的，那么對這k個人只需作一次化驗，如果結(jié)果是陽性的，那么必須對這k個人再逐個分別化驗，這時對這k個人共需作k+1化驗。假定對所有的人來說，化驗是陽性反應(yīng)的概率都是p，而且這些人的反應(yīng)是相互獨立的。試說明按方法（2）可以減少化驗次數(shù)，并說明k取何值時最為適當(dāng)。1．兩點分布隨機變量X的分布律為

X10

概率pq

2．二項分布隨機變量X的分布律為3．泊松分布隨機變量X的分布律為4．幾何分布隨機變量X的分布律為例5.1.4

某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，現(xiàn)連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到第一次擊中為止，求射擊次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．5.1.2連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望對于連續(xù)型隨機變量X，若其密度函數(shù)為，注意到的作用與離散型隨機變量的相類似，于是有如下定義．定義5.1.2設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)，若積分絕對收斂，則定義（5.1.2）若積分不絕對收斂，則稱隨機變量X的數(shù)學(xué)期望不存在．下面介紹幾個常見的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望．1．均勻分布隨機變量X的密度函數(shù)為2．指數(shù)分布隨機變量X的密度函數(shù)為3．正態(tài)分布隨機變量X的密度函數(shù)為例5.1.5

設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為求X的數(shù)學(xué)期望．例5.1.6有5個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一個指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為（1）若將這5個裝置串聯(lián)組成整機，求整機的壽命的數(shù)學(xué)期望；（2）若將這5個裝置并聯(lián)組成整機，求整機的壽命的數(shù)學(xué)期望.例5.1.7

設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為則．例5.1.8

設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為已知，試求的值．5.1.3

隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望在許多實際問題中，常常需要計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即若，要求出，當(dāng)然可以先由X的分布求出Y的分布,再由定義求．但我們也可以不必求出Y的概率分布，而直接由的概率分布來計算．定理5.1.1

設(shè)隨機變量Y是隨機變量X的函數(shù)，，是連續(xù)函數(shù)．（1）X為離散型隨機變量，其分布律為若級數(shù)絕對收斂，則（5.1.3）（2）X為連續(xù)型隨機變量,其密度函數(shù)為,若絕對收斂，則（5.1.4）證略（定理證明超出本書范圍）．該定理可以推廣到多個隨機變量函數(shù)的情形.定理5.1.2

設(shè)隨機變量Z是隨機變量X，Y的函數(shù)，，是連續(xù)函數(shù)．（1）是離散型隨機變量，其聯(lián)合分布律為若級數(shù)絕對收斂，則有

（5.1.5）（2）是連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合密度函數(shù)為，若積分絕對收斂，則有

（5.1.6）例5.1.9某商家對一商品的需求量是隨機變量X（單位：噸），它在[2000,4000]上服從均勻分布,設(shè)商家每出售該商品1噸，可獲利3萬元，若銷售不出而積壓于倉庫,每噸需保養(yǎng)費1萬元．問需組織多少貨源，才能使商家最大獲利？例5.1.10

設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為,機器發(fā)生故障時全天停止工作.若一周5個工作日里無故障,可獲利潤10萬元;發(fā)生一次故障可獲利潤5萬元;發(fā)生兩次故障則無利潤;發(fā)生三次或三次媽上故障就要虧損2萬元.求一周內(nèi)期望利潤是多少?例5.1.11

某巴士車站從早上6點到晚上9點于每個整數(shù)點后的第5、第15、第35、第55分鐘均有一輛巴士到達．假設(shè)乘客在一個整數(shù)點內(nèi)到達是等可能的，求一個乘客由于等車而浪費的平均時間．例5.1.12設(shè)二維隨機變量（X,Y）的概率密度為求*例5.1.13

隨機變量，，試求．5.1.4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)5.1.1

設(shè)X是隨機變量，C為常數(shù)，則性質(zhì)5.1.2設(shè)X、Y是任意兩個隨機變量，則有性質(zhì)5.1.3

設(shè)X、Y是相互獨立的隨機變量,則有例5.1.14

有100人過年時互贈寫有祝福語的賀卡，每人準(zhǔn)備一張（外形相同）集中放在一起，然后每人從中隨機地挑選一張，求恰好取回自己賀卡人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．例5.1.15

設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為試證E(XY)=E(X)E(Y),但X與Y不相互獨立.§5.2隨機變量的方差數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量取值的集中位置，或者說是隨機變量的平均值．有時僅了解隨機變量取值的均值還不夠，還需了解其取值與均值的偏離程度，這就需要引進隨機變量的另一個重要數(shù)字特征——方差．定義5.2.1設(shè)X是一個隨機變量,若存在，則稱為隨機變量X的方差，記為，或，即（5.2.1）而稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差，記為．有時也將簡寫為．

若X為離散型隨機變量，其分布律為則（5.2.2）

若X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為，則（5.2.3）

由方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得方差的如下的計算公式（5.2.4）例5.2.1

已知離散型隨機變量X的可能取值為試求X的分布律.例5.2.2

已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為求方差．例5.2.3設(shè)二維隨機變量服從D上的均勻分布，其中D是由軸x，軸y及直線所圍成的三角區(qū)域，求D(Y)．下面計算幾個常見的隨機變量的方差．1．兩點分布隨機變量X的分布律為

X10

概率pq,，則2．二項分布隨機變量X的分布律為把X看作是n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p為A在每次試驗中發(fā)生的概率．令顯然，，這里服從參數(shù)為p的0-1分布,且相互獨立，因此3．泊松分布隨機變量X的分布律為4．均勻分布隨機變量X的密度函數(shù)為5．指數(shù)分布隨機變量X的密度函數(shù)為6．正態(tài)分布隨機變量X的密度函數(shù)為

特別地，對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望是0，方差是1．在有些問題中，經(jīng)常需要將隨機變量“標(biāo)準(zhǔn)化”，即對任一隨機變量X，如果它的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，，則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機變量．方差的一些基本性質(zhì)．性質(zhì)5.2.1設(shè)C為常數(shù)，則．性質(zhì)5.2.2

設(shè)X為隨機變量，C為常數(shù)，則性質(zhì)5.2.3

設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，則性質(zhì)5.2.3還可以推廣到有限個隨機變量的情形．如果是n個相互獨立的隨機變量，并且均存在，則性質(zhì)5.2.4

的充要條件是依概率1取常數(shù)C,即

P(X=C)=1§5.3

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)定義5.3.1

若存在，則稱它為隨機變量X與Y的協(xié)方差,記為，即（5.3.1）而（5.3.2）稱為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)．是一個無量綱的量，要求，．例5.3.1

設(shè)二維隨機變量的分布律為

-10101/301/3101/30計算，．XY例5.3.2

設(shè)服從二維正態(tài)分布,即的聯(lián)合密度函數(shù)為試求相關(guān)系數(shù)．由定義，不難驗證協(xié)方差滿足下列性質(zhì)：對于相關(guān)系數(shù)來說，具有下列有關(guān)性質(zhì)：

(1)，

該性質(zhì)表明X,Y的相關(guān)系數(shù)是衡量X與Y之間線性相關(guān)程度的量.當(dāng)時,X與Y依概率1線性相關(guān).特別當(dāng)時,Y隨X的增大而線性地增大,此時稱X與Y正線性相關(guān);當(dāng)時,Y隨X的增大而線性地減小,此時稱X與Y負(fù)線性相關(guān).而當(dāng)時,X與Y之間線性相關(guān)程度減弱,特別當(dāng)時,我們稱X與Y不相關(guān).例5.3.3

設(shè)隨機變量X的概率概率密度函數(shù)為(1)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X);(2)求X與|X|的協(xié)方差,并問X與|X|是否不相關(guān)?(3)問X與|X|是否相互獨立?為什么?§5.4高階矩對數(shù)學(xué)期望和方差作進一步的推廣，可得到更廣泛的一種隨機變量的數(shù)字特征——高階矩．定義5.4.1

設(shè)X與Y是隨機變量，若（5.4.1）存在，則稱它為隨機變量X的k階原點矩，若（5.4.2）存在，則稱它為隨機變量X的k階中心矩，若（5.4.3）若（5.4.4）存在，則稱它為隨機變量X與Y的階混合中心矩．顯然X的數(shù)學(xué)期望是X的一階原點矩，方差是X的二階中心矩，協(xié)方差是X與Y的1+1階混合中心矩．例5.