新教材高中數(shù)學(xué)人教B版學(xué)案2-2-4第2課時(shí)不等式的實(shí)際應(yīng)用

第2課時(shí)不等式的實(shí)際應(yīng)用[課程目標(biāo)]1.能把現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式問題；2.能從實(shí)際情景中抽象出不等式模型，能運(yùn)用不等式的知識(shí)和方法解決常見的實(shí)際問題(如比較大小、確定范圍、求最值)；3.進(jìn)一步了解如何從實(shí)際情景中建立數(shù)學(xué)模型，逐步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)和客觀實(shí)踐之間的相互關(guān)系，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)意識(shí)和情感態(tài)度．知識(shí)點(diǎn)一作差法解決實(shí)際問題[填一填](1)作差法的依據(jù)是a－b>0?a>b；(2)若a>b>0，m>0，則eq\f(a＋m,b＋m)<eq\f(a,b)；(3)若0<a<b，m>0，則eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).[答一答]1．作差法解決實(shí)際問題的基本步驟是怎樣的？提示：(1)理解題意，準(zhǔn)確地將要比較的兩個(gè)對象用數(shù)學(xué)式子表示出來；(2)作差、變形；(3)分析差的符號(hào)；(4)得出結(jié)論，解決實(shí)際問題．知識(shí)點(diǎn)二利用均值不等式解決實(shí)際問題[填一填](1)設(shè)a，b是兩個(gè)正數(shù)，則eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2)).(2)已知x，y是正數(shù)，如果xy是常數(shù)p，則x＋y有最小值，且這個(gè)值是2eq\r(p)；如果x＋y是常數(shù)s，則xy有最大值，且這個(gè)值是eq\f(1,4)s2.[答一答]2．應(yīng)用均值不等式解決實(shí)際問題的步驟是怎樣的？提示：(1)理解題意，設(shè)出變量；(2)建立相應(yīng)的等量或不等量關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；(3)對建立起來的關(guān)系式進(jìn)行整理、變形，使之能應(yīng)用均值不等式求最值；(4)回扣實(shí)際問題，寫出準(zhǔn)確答案．知識(shí)點(diǎn)三利用一元二次不等式解決實(shí)際問題[答一答]3．應(yīng)用一元二次不等式解決實(shí)際問題的操作步驟是怎樣的？提示：(1)理解題意，弄清量與量之間的關(guān)系；(2)建立相應(yīng)的不等關(guān)系，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題；(3)解這個(gè)一元二次不等式得到實(shí)際問題的解．類型一作差法解決實(shí)際問題[例1]甲、乙兩人同時(shí)到一家米店買米兩次，兩次米的價(jià)格不同，甲每次購買m千克，乙每次購買n元錢的，則甲、乙兩人誰的買法更便宜些？[解]設(shè)第一次米店的米價(jià)為a元/千克，第二次為b元/千克，則甲共買了2m千克，花了(ma＋mb兩次的平均價(jià)格為eq\f(ma＋mb,2m)＝eq\f(a＋b,2)(元/千克)．乙共買了2n元錢的，買米(eq\f(n,a)＋eq\f(n,b))千克，兩次的平均價(jià)格為eq\f(2n,\f(n,a)＋\f(n,b))＝eq\f(2ab,a＋b)(元/千克)．eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(a＋b2－4ab,2a＋b)＝eq\f(a2＋b2－2ab,2a＋b)＝eq\f(a－b2,2a＋b).∵兩次米價(jià)不同，∴a≠b，∴a－b≠0，(a－b)2>0.又a>0，b>0，∴2(a＋b)>0，∴eq\f(a－b2,2a＋b)>0，即eq\f(a＋b,2)>eq\f(2ab,a＋b).∴甲兩次買米的平均價(jià)格高于乙的平均價(jià)格，∴乙買的米更便宜些．涉及兩者大小比較的問題，解題時(shí)常用作差法比較，結(jié)合不等式的性質(zhì)得到正確結(jié)論.解決此類問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確把需要比較大小的兩個(gè)對象表示出來.[變式訓(xùn)練1]現(xiàn)有A、B、C、D四個(gè)長方體容器，A、B的底面積均為a2，高分別為a和b，C、D的底面積均為b2，高分別為a和b(其中a≠b)．現(xiàn)規(guī)定一種游戲規(guī)則：每人一次從四個(gè)容器中取兩個(gè)，盛水多者為勝，則先取者有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？解：依題意可知A、B、C、D四個(gè)容器的容積分別為a3，a2b，ab2，b3.按照游戲規(guī)則，四個(gè)容器只有三種不同的分法：①若先取A、B，則后取者只能取C、D.∵(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a－b)(a＋b)2，(a＋b)2>0，但a與b的大小不確定，∴(a－b)(a＋b)2的正負(fù)不能確定．②若先取A、C，則后取者只能取B、D.∵(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a－b)(a2＋b2)，∴類似于①的分析知，這種取法也無必勝的把握．③若先取A、D，則后取者只能取B、C.∵(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2，又a≠b，a>0，b>0，∴(a＋b)(a－b)2>0，∴a3＋b3>a2b＋ab2.故先取A、D是唯一必勝的方案．類型二利用一元二次不等式解決實(shí)際問題[例2]據(jù)市場調(diào)查：某雜志價(jià)格愈高，購買的人愈少；價(jià)格愈低，購買的人愈多，現(xiàn)有該雜志，若每本定價(jià)2元，則可以發(fā)行10萬本，若每本價(jià)格提高0.2元，發(fā)行量就減少5000本，要使總收入不低于22.4萬元，則雜志的定價(jià)應(yīng)是多少元？每本價(jià)格是多少時(shí)，可使總收入最多？[解]設(shè)每本價(jià)格提高0.2x(0≤x≤20)元，則發(fā)行量減少5000x本，提價(jià)后的單價(jià)為(2＋0.2x)元，發(fā)行量為(100000－5000x)本．由題意得(2＋0.2x)(100000－5000x)≥224000，即x2－10x＋24≤0，解得4≤x≤6.最高定價(jià)：x＝6時(shí)，2＋0.2x＝3.2(元)．最低定價(jià)：x＝4時(shí)，2＋0.2x＝2.8(元)．故每本雜志的定價(jià)應(yīng)在2.8元到3.2元之間(包括2.8元和3.2元)．令總收入為y元，則y＝(2＋0.2x)(100000－5000x)＝－1000(x2－10x)＋200000∴當(dāng)x＝5，即每本價(jià)格為3元時(shí)，總收入最高．1本題也可設(shè)每本提高x元，或設(shè)每本定價(jià)x元求解，但都不如設(shè)每本提高0.2x元簡單.,2解答實(shí)際應(yīng)用題時(shí)，要特別注意單位的統(tǒng)一.[變式訓(xùn)練2]汽車在行駛中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要因素．在一個(gè)限速40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對后同時(shí)剎車，但還是撞了．事發(fā)后，現(xiàn)場測量甲車的剎車距離超過12m，但不超過15m；乙車的剎車距離超過10m，但不超過12m．又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(m)與車速x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x甲＋0.01xeq\o\al(2,甲)，s乙＝0.05x乙＋0.005xeq\o\al(2,乙)，問誰應(yīng)負(fù)主要責(zé)任？解：由題意得下列不等式：12<0.1x甲＋0.01xeq\o\al(2,甲)≤15，①10<0.05x乙＋0.005xeq\o\al(2,乙)≤12，②①化為1200<10x甲＋xeq\o\al(2,甲)≤1500，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,甲)＋10x甲－1200>0，③,x\o\al(2,甲)＋10x甲－1500≤0.④))由③得x甲>30或x甲<－40(舍去)．由④得－5－5eq\r(61)≤x甲≤－5＋5eq\r(61)，由③④得30<x甲≤－5＋5eq\r(61)<35.同理，解②得40<x乙≤－5＋5eq\r(97)<45.這表明乙車的車速超過40km/h，超過規(guī)定限速，故乙車應(yīng)負(fù)主要責(zé)任．類型三利用均值不等式解決實(shí)際問題[例3]某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162m2的三級污水處理池，平面圖如圖所示，水池的深度為1m．如果水池四周墻的建造費(fèi)用為400元/m2，中間兩道隔墻的建造費(fèi)用為248元/m2，池底建造費(fèi)用為80元/m2試設(shè)計(jì)污水處理池的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低總造價(jià)．[解]設(shè)污水處理池的寬為x(x>0)m，則長為eq\f(162,x)m，則總造價(jià)y＝400×(2x＋eq\f(2×162,x))＋248×2x＋80×162＝1296x＋eq\f(1296×100,x)＋12960＝1296(x＋eq\f(100,x))＋12960≥1296×2eq\r(x·\f(100,x))＋12960＝38880，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)(x>0)，即x＝10時(shí)，等號(hào)成立．故當(dāng)長為16.2m，寬為10m時(shí)，總造價(jià)最低，為38880元．1在運(yùn)用均值不等式時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足均值不等式中“正”即條件要求中字母為正數(shù)、“定”不等式的另一邊必須為一定值、“等”等號(hào)取得的條件.2對于形如y＝的函數(shù)，如果利用均值不等式求最值，等號(hào)條件不存在，那么這時(shí)就可以考慮用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.[變式訓(xùn)練3]某廠家擬在2018年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x(萬件)與年促銷費(fèi)用m(萬元)(m≥0)滿足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k為常數(shù))，若不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用)．(1)將2018年該產(chǎn)品的利潤y(萬元)表示為年促銷費(fèi)用m(萬元)的函數(shù)；(2)該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？解：(1)由題意知當(dāng)m＝0時(shí)，x＝1，∴1＝3－eq\f(k,0＋1)，即k＝2.∴x＝3－eq\f(2,m＋1).∵每萬件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×eq\f(8＋16x,x)元，∴y＝x×1.5×eq\f(8＋16x,x)－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8×(3－eq\f(2,m＋1))－m＝－[eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)]＋29(m≥0)．(2)∵m≥0時(shí)，eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq\r(16)＝8，∴y≤－8＋29＝21，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(16,m＋1)＝m＋1即m＝3時(shí)，ymax＝21.∴該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí)，廠家的利潤最大，最大值為21萬元．1．有一家三口的年齡之和為65歲，設(shè)父親、母親和小孩的年齡分別為x、y、z，則下列選項(xiàng)中能反映x、y、z關(guān)系的是(C)A．x＋y＋z＝65 B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝65，,x>z，,y>z))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝65，,x>z>0，,y>z>0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝65，,x<65，,y<65，,z<65))解析：A、B、D中x、y、z都有可能為負(fù)數(shù)．2．買4枝郁金香和5枝丁香的金額小于22元，而買6枝郁金香和3枝丁香的金額大于24元，那么買2枝郁金香和買3枝丁香的金額比較，其結(jié)果是(A)A．前者貴 B．后者貴C．一樣 D．不能確定解析：設(shè)郁金香為x元/枝，丁香為y元/枝，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y<22，,6x＋3y>24，))∴由不等式的性質(zhì)，得x>3，y<2，∴2x>6,3y<6，故前者貴．3．建造一個(gè)容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，那么水池的最低總造價(jià)為1_760解析：設(shè)池底的長為xm，因?yàn)槿莘e為8m3，深為2m，所以池底的寬為eq\f(4,x)m，則水池的總造價(jià)為y＝120x·eq\f(4,x)＋80eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x×2＋2×\f(4,x)×2))＝480＋320eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co