函數(shù)中的四邊形存在性問題-2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)高分突破訓(xùn)練（教師版含解析）

專練20函數(shù)中的四邊形存在性問題

1.如圖，拋物線y=ax?+bx+|與直線AB交于點(diǎn)A(-1,0),B(4,|).點(diǎn)D是拋物線A,B兩點(diǎn)

間部分上的一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，直線CD與y軸平行，交直線AB于點(diǎn)C,連接AD,

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,AADB的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時

的點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)時，若點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上的動點(diǎn)，判斷有幾個位置能使

以點(diǎn)P,Q,C,D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)解：???拋物線y=ax2+bx+：與直線AB交于點(diǎn)A(-1,0),B(4,j).

0=a-b+-

2

???{5U5>

-=16a+4b+-

22

解得，F(xiàn)7,

b=2

.??拋物線的解析式是丫=-|x2+2x+|；

(2)解：如圖，過點(diǎn)B作BFJ_DE于點(diǎn)F.

.??易求直線AB的解析式為：y-1x+i.

又??,點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,

，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(m,|m+1)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是(-1m2+2m+|)

13

，AE=m+l,BF=4-m,CD=--m2+-m+2,

22

：.S=-CD?(AE+BF)=-X(-1m2+-m+2)x(m+l+4-m)=-S(--)2+—(-l<m<4).

22224m216

...當(dāng)m=；時，S取最大值誓，此時C(5,力；

21624

(3)解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P、Q使以點(diǎn)P,Q,C,D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形.

???點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，

；.D(2,2),C(2,|).

①如圖2,當(dāng)PQ〃DC,PQ=DC時.

圖2

設(shè)P(x,-1x2+2x+1),則Q(x,ix+1),

解得，x=l或x=2(舍去)，

.,?Q(l,1)；

②如圖3,當(dāng)CD〃PQ,且CD=PQ時.

圖3

設(shè)P(x,-1x2+2x+|),則Q(x,ix+i),

-x+-+-x2-2x-——3>

2222

解得，x=5或x=-2,

.?.Q(5,3)、Q'(-2,-)；

③如圖4,當(dāng)PC〃DQ,且PC=DQ時.

過點(diǎn)P作PELCD于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QFLCD于點(diǎn)F.則PE=QF,DE=FC.

圖4

設(shè)P(x,-|x2+2x+|),則E(2,-x2+2x+|),

...Q(4-x,11x),F(2)1-ix),

，由DE=CF得，2-(-1x2+2x+|)=|-1x-|,

解得，x=l或x=2(舍去)，

，Q(3,2)

綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)有：(1,1)、(5,3)、(-2,-j).(3,2).

2.如圖，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B、C在x軸上；OA、0B長是關(guān)于x的一元二次方程

x2-7x+12=0的兩個根，且OA>OB,BC=6；

(2)若點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn)，且SAAOE=y,

①求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②判斷△AOE與^AOD是否相似并說明理由；

(3)若點(diǎn)M是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，在直線AB上是否存在點(diǎn)F,使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?

若存在，請直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)(6,4)

(2)解：①設(shè)點(diǎn)E(x,0),

.1...16

.?-x4xx=—

2113

.?.x=±.8-

???點(diǎn)E坐標(biāo)（|,0）或（一|,0）

②ZkAOE與AAOD相似，

oA43

-63

-=8=-==

-一

理由如下：在與△中,OE-242

AAOEDAO3

第=a.且/DAO=NAOE=90。,

.?.△AOE^ADAO；

(3)解：存在，

?；0A=4,0B=3,BC=6,

AB-VOA2+OB2——V9+16——5，OB=OC=3,且OAJ_BO，

，AB=AC=5,且AO_LBO,

AAO平分/BAC,

①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線AB上時，AF=AC=5,

所以點(diǎn)F與B重合，

即F(-3,0),

②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線BA上時，M應(yīng)在直線AD上，且FC垂直平分AM,

點(diǎn)F(3,8).

③AC是對角線時，做AC垂直平分線L,AC解析式為y=-gx+4,直線L過(|,2),且k值為：(平

面內(nèi)互相垂直的兩條直線k值乘積為-1),

L解析式為丫=：x+(,聯(lián)立直線L與直線AB求交點(diǎn)，

4o

根據(jù)等積法求CN=y,勾股定理得出，AN=g,做A關(guān)于N的對稱點(diǎn)即為F,AF=y,過F做y

軸垂線，垂足為G,FG=^x|=g,

.*.F'25(--2,57-).

綜上所述:Fl(-3,0)；F2(3,8)；F3(一爭爭；F4(一基弟?

【解析】解：(DTOA、OB長是關(guān)于x的一元二次方程x2-7x+12=0的兩個根，

；?OA=4,OB=3,

...點(diǎn)B(-3,0),點(diǎn)A(0,4),且AD〃BC,AD=BC=6,

二點(diǎn)D(6,4)

故答案為：(6,4)；

3.如圖，拋物線Ci的圖象與x軸交A(-3,0),B(l,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線G的解析式和D點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)將拋物線Ci關(guān)于點(diǎn)B對稱后的拋物線記為C2,點(diǎn)E為拋物線C2的頂點(diǎn)，求拋物線C2的解析式和E

點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)是否在拋物線C2上存在一點(diǎn)P,在x軸上存在一點(diǎn)Q,使得以D,E,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形，若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由.

【答案】⑴；拋物線C1的圖象與x軸交A(-3,0),B(l,0)兩點(diǎn)

可設(shè)拋物線C1的解析式為y=a(x+3)(x—1)

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得

3=a(0+3)(0-l)

解得：a=-l

二拋物線CI的解析式為y=-(x+3)(x-l)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4

二拋物線C1的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4)

(2)將拋物線C1關(guān)于點(diǎn)B對稱后的拋物線記為C2,點(diǎn)E為拋物線C2的頂點(diǎn)，設(shè)C2與x軸的另一交點(diǎn)

為K,如下圖所示

.,.拋物線C2的二次項(xiàng)系數(shù)為1

?點(diǎn)D(-l,4),B(I,O)

二拋物線C2的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,-4)

拋物線C2的解析式為y=(x-3)2-4

(3)存在，

由對稱性可知：BK=AB=l-(-3)=4

點(diǎn)K的坐標(biāo)為(5,0)

①當(dāng)DE為平行四邊形的邊時，

，DP〃EQ,DP=EQ,即EQ可看作DP平移得到

?.?點(diǎn)D(-l,4)到點(diǎn)E(3,-4)的平移方式為：先向右平移4個單位，再向下平移8個單位

???點(diǎn)P到點(diǎn)Q的平移方式為：先向右平移4個單位，再向下平移8個單位

?.?點(diǎn)Q在x軸上

二點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8

將y=8代入C2的解析式中，解得：x=3土2V3

,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3+2V3，8)或(3—2V3，8)；

②當(dāng)DE為平行四邊形的對角線時，

由DE的中點(diǎn)為點(diǎn)B,

APQ的中點(diǎn)也為點(diǎn)B,

由點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)B也在x軸上

...點(diǎn)P也在x軸上，即此時點(diǎn)P與點(diǎn)K重合

，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,0)；

綜上：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3+2V3，8)或(3—2V3，8)或(5,0).

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RSABC的邊BC在x軸上，ZABC=90°,以A為頂點(diǎn)的拋物線y=-x?

+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C(3,0),交y軸于點(diǎn)E(0,3),動點(diǎn)P在對稱軸上.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A-B方向以1個單位/秒的速度勻速運(yùn)動到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，過點(diǎn)

P作PDLAB交AC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D平行于y軸的直線1交拋物線于點(diǎn)Q,連接AQ,CQ,當(dāng)t為何值時，

△ACQ的面積最大？最大值是多少？

(3)若點(diǎn)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，在x軸上方是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P,M,E,C為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,

若存在，請直接寫出符合條件的M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)解：將點(diǎn)C,E的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：「9+3b：c=°

c=3

解得戶U

c=3

故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3

(2)解：；y=-x2+2x+3y=-x2+2x+3=-(x-I)2+4

，A(1,4),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A,C的坐標(biāo)代入，得：

1k+1=4解得產(chǎn)=-2

+1=0喇Ib=6

直線AC的表達(dá)式為：y=-2x+6

.?.點(diǎn)P(l,4-t),

.?.點(diǎn)D(竽4-t),

設(shè)點(diǎn)Q(竽4一?)，則SAACQ=[DQ.BC=-it2+t=-i(t-2)2+1

V-J<0,故S4ACQ有最大值，當(dāng)t=2時，其最大值為1

.?.當(dāng)t=2時，SAACQ有最大值，其最大值為1

(3)解：設(shè)點(diǎn)P(Lm),(m>0)點(diǎn)M(x,y),

①當(dāng)EC是菱形一條邊時，

當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時，

點(diǎn)E向右平移3個單位、向下平移3個單位得到C,則點(diǎn)P平移3個單位、向下平移3個單位得到M,

則l+3=x,m—3=y

x=4,y=m-3

VMP=EP

???1+(m-3)2=(4-l)2+(m-3-m)2

解得：m=3+y[17

**?y=V17

???點(diǎn)M(4,717);

當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時，同理可得：點(diǎn)M(—2,3+V14);

②當(dāng)EC是菱形一對角線時，

則EC中點(diǎn)即為PM中點(diǎn)，

則x+l=3,y+m=3

VPE=PC,即l+(m-3)2=4+(m-2)2,

解得：m=l,

Ax=2,y=3—m=3—1=2,

二點(diǎn)M(2,2)

綜上，點(diǎn)M(4,V17)或(-2,3+V14)或乂(2,2)

5.如圖，拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋

物線的對稱軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD.

(1)求經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)Q在該拋物線的對稱軸上，若△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)若P為BD的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作PFLx軸于點(diǎn)EG為拋物線上一動點(diǎn)，M為x軸上一動點(diǎn)，N為直線PF

上一動點(diǎn)，當(dāng)以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)解：???拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),

/.{=-解得(b=?.

-9+3b+c=0c=3

:.y=—x2+2x+3；

(2)解：由⑴知B(3,0),C(0,3)，

連接BC,

VABCQ是以BC為直角邊的直角三角形,

則ZQCB=90°或ZQBC=90°,

：Q在對稱軸上，設(shè)Q(l,m),

則CQ2=1+(m-3)2=m2-6m+10,

BQ2=(3-l)2+(0-m)2=m2+4,

BC2=32+32=18,

當(dāng)ZQCB=90°時，由勾股定理得：QB2=QC2+BC2,

即m2+4=m2—6m+10+18,

解得m=4,

???Q(l,4)；

當(dāng)ZQBC=90°時，由勾股定理得：CQ2=BQ24-BC2,

即m2-6m+10=mz+4+18,

解得m=-2,

Q(l,-2)；

綜上所述，Q(l,4)或Q(l,-2)

(3)解：設(shè)點(diǎn)M(a,0),貝IG(a,-a2+2a+3),

?.?以F、M、N、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,

；.FM=MG,即|2-a|=|-az+2a+3|,

當(dāng)2-a=—a2+2a+3,解得a=；

當(dāng)2-a=-(-a2+2a+3),解得a="；

??M(^—,0)，(^—,0)，(-^,0)，(^—,0)?

6.綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B分別在x軸y軸的正半軸上，線段OA的長是不等式5x-4<3(x+

2)的最大整數(shù)解，線段0B的長是一元二次方程x2-2x-3=0的一個根，將RtAABO沿BE折疊，使

AB邊落在0B邊所在的y軸上，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合.

(2)求直線BE的解析式；

(3)在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M,使B、0、E、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的

坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)解：?.?Sx/yj+Z),

5x-4<3x+6,

2x<10,

x<5,

.?.0A=4,

Vx2-2x-3=0,(x-3)(x+l)=0,

x-3=0,x+l=0,

x=3,x=—L

.?.0B=3,

答：0A=4,0B=3；

(2)解：在R3A0B中，0A=4,0B=3,由勾股定理得：AB=5,

VOB=3,

.*.B(0,3),

設(shè)OE=x,

?.?將RSABO沿BE折疊，使AB邊落在OB邊上，A與D重合,

，DE=AE=4-x,OD=5-3=2,

在RSOED中，由勾股定理得：22+x2=(4-x)2

解得：x=|,

即E的坐標(biāo)是：(|,0).

設(shè)直線BE的解析式是y=kx+b,

???把B、E的坐標(biāo)代入得：

b=3

^0=-k+b'

2

解得：k=-2,b=3,

直線BE的解析式是：y=-2x+3；

(3)存在，M?3)；M2(-1,3)；M3(|,-3)

【解析】解：(3)如圖所示:

在平面內(nèi)存在點(diǎn)M,使B、0、E、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(一3）或（|,3）

或(|，-3).

7.如圖，矩形AOBC的兩條邊0A,0B的長是方程x3-18x+80=0的兩根，其中0A<0B,沿

直線AD將矩形折疊，使點(diǎn)C與y軸上的點(diǎn)B重合，

⑴求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求直線AD的解析式；

⑶若點(diǎn)P在y軸上，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使以A,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在,

請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴解：X2-18x4-80=0

可得：x=8或x=10,

OA,OB的長是方程x2-8x+80=0的兩根，且OA<OB

,OA=8,OB=10,

/.A(-8,0),B(0,10)

(2)解：由折疊的性質(zhì)可得：DE=CE

AE=AC=OB=10,

在RtAAOE中，

OE=VAE2-AO2=V102-82=6

所以BE=OB-OE=10-6=4,

設(shè)BD=x,則CD=DE=8-x,

在RtABOE中，由勾股定理可得：

DE2=BE2+BD2,

所以(8—x)2=42+x2,計(jì)算得出x=3,

所以D(-3,10)

設(shè)宜線AD的解析式為y=kx+b,

r—8k+b=0

T—3k+b=10

計(jì)算得出直：6

???直線AD的解析式為y=2x+16

(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，則有DPIDA,如圖，連接AP、DQ交于點(diǎn)F,

則F為AP、DQ的中點(diǎn)，

ZBDP+ZCDA=ZCDA+Z.CAD=90°

???ZBDP=ZCAD,且NPBD=ZDCA,

???ABPD-ACDA

.—BP=_—3

510

計(jì)算得出BP=|

所以O(shè)P=10-/

所以P(0,y)且A(-8,0)

所以F的坐標(biāo)為(空省芝呼)

即(-4,第

設(shè)Q(x,y),且D(-3,10)

所以個=_4,皇

當(dāng)P在x軸下方時，則有APIAD,如圖，連接DP、AQ交于點(diǎn)G,

則G為AQ、DP的中點(diǎn)，

同理可得：AAOP-AACD,

則：黑建

即器=V，計(jì)算得出0P=4

所以P(0,-4)且D(-3,10)

所以G(一|,3)

設(shè)Q(x,y),且A(-8,0)

所以*2=_曰，x=5,

22

y+o乙

—=3o,y=6

2J

???Q(5,6)

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為(-5,-|)或(5,6)

8.如圖，一次函數(shù)y=-gx+2的圖象交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B點(diǎn)，拋物線y=-x?+bx+c過A、

B兩點(diǎn).

備用圖

(1)求A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；并求這個拋物線的解析式;

(2)作垂直x軸的直線*=匕在第一象限交直線AB于M,交這個拋物線于N.求當(dāng)t取何值時，MN有最大

值？最大值是多少？

(3)在(2)的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個頂點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(1)解：；y=-\+2的圖象交y軸于點(diǎn)A,交x軸于點(diǎn)B點(diǎn)，

:.A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,2),B(4,0),

將x=0,y=2代入y=—x2+bx+c得c=2,

將x=4,y=0,代入y=-x2+bx+c得b=g,

.??拋物線解析式為：y=-x2+|x+2

(2)解：如答圖I所示，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)E,貝ljE(t,0),則M(t,2-1t),

YN=-t2++2>

,7-I

MN=yN—YM=-12+-t+2-(2--t)=-t2+4t=—(t—2)2+4,

.?.當(dāng)t=2時，MN有最大值4.

(3)解：由(2)可知A(0,2)、M(2,1)、N(2,5),

以A、M、N、D為頂點(diǎn)做平行四邊形，D點(diǎn)的可能位置有三種情況，如答圖2所示,

答圖2

當(dāng)D在y軸上時，設(shè)D的坐標(biāo)為(0,a),

由AD=MN,得|a-2|=4,解得al=6,a2=-2,

從而D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6)或D(0,-2),

當(dāng)D不在y軸上時，由圖可知D3為D1N與D2M的交點(diǎn)，

分別求出D1N的解析式為：y=-1x+6,

D2M的解析式為：y=|x-2,

聯(lián)立兩個方程得：D3(4,4),

故所求的D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6),(0,-2)或(4,4).

9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，A(4,0),B(8,0),C(0,4).動直線EF(EF〃x軸)從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個單

位長度的速度沿y軸負(fù)方向平移，且分別交y軸、線段BC于E、F兩點(diǎn)，動點(diǎn)P同時從點(diǎn)B出發(fā)，在線段

OB上以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動至原點(diǎn)O停止，當(dāng)點(diǎn)P停止時點(diǎn)E也隨之停止.

(1)求直線BC的解析式;

(2)是否存在t的值，使得△BPFs/^BCA相似？若存在，試求出t的值，并求出此時△EPF的面積；若不存

在，請說明理由；

(3)若將直線CB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)45。得到直線BD,在直線BD上有一動點(diǎn)M,在x軸上有一點(diǎn)N

是否存在點(diǎn)M,N,使得以點(diǎn)C、A、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，如果存在，請求出點(diǎn)N

的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

【答案】(1)解：設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

；B(8,0),C(0,4),

.[8k+b=0\

b=4)'

解得卜,

二直線BC的解析式為y=-：x+4；

(2)解：當(dāng)^BPF^-ABAC時，

.BC_AB

**BF-BP'

?.?EF〃y軸，

.BC_OC

**BF-OE'

.OC_AB

??—=—,

OEBP

根據(jù)題意得：OC=AB=4,CE=t,BP=2t,0E=4-t,

?44

**4-t-2t，

解得t=(,

當(dāng)^BPF^ABCA時，

.BP_BF

**BC-BA'

.'.BCBF=BPAB,

..BC_OC_4

*BF-OE_4-t'

VBC2=OC2+OB2=80,

?EF〃BO

.△CEF^ACOB

CE_EF

CO-OB

7_EF

4-8

ASAEPF=-XEFXOE=—

27

⑶解：過點(diǎn)c作CQ〃OB交BD于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作RQJ_CB于點(diǎn)R

.*.ZOBC=ZQCB

根據(jù)題意可知，ZCBQ=45°,...設(shè)QR=BR=m

由tanZCBO=—=-

BO2

r.tanZQCR=g=|

ACR=2,BC=3

/.3m=4>/5,即m=^V5

CQ=7CR2+QR2=V5m=y

.??點(diǎn)Q的坐標(biāo)為6，4)

設(shè)直線BD的y=klx+bl

(8kl+b]=0\

解得，kl=-3,bl=24

二直線BD為y=-3x+24

當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時，K為AC和MN的交點(diǎn)

?.?點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)C(0,4)

.,-K^(2,2)

設(shè)M(x,-3x+24),N(n,0)

?x+n-3x+24

??K(-'

?208

??x=—,n=—

33

，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，0)

當(dāng)AC為平行四邊形的邊時，當(dāng)M在x軸的上方時

；.CM〃AN,CM=AN

此時點(diǎn)M和點(diǎn)Q重合，M譚，4)

20

???AAKNT二-一

3

?cz,2032

..ON=4H—=—

33

，N為書，0)

當(dāng)M在x軸的下方時

由A(4,0),C(0,4)設(shè)M(x,-3x+24),N(a,0)

根據(jù)平移的性質(zhì)可得，［+4；；)

10—4=-3x+24/

解得，x號，a音

.??哨，0)

10.如圖，已知拋物線y=-x?+bx+c與x軸正半軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,3),點(diǎn)P是x軸上

一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)C,交直線AB于點(diǎn)D,設(shè)P(x,0).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式：

(2)當(dāng)0<x<3時，求線段CD的最大值;

(3)若P點(diǎn)在x正半軸移動時，在APDB和ACDB中，當(dāng)其中一個三角形的面積是另一個三角形面積的2倍

時，求相應(yīng)x的值：

(4)若點(diǎn)Q在拋物線上，點(diǎn)H在線段AB的垂直平分線上，且點(diǎn)Q,H,A,B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

求Q點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【答案】⑴解：???拋物線與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,3),

.?.-9+3b+c=0,c=3,

：.b=2,

,y=-x2+2x+3：

⑵解:VA(3,0),B(0,3).

直線AB的解析式為y=-x+3,

VP(x,O),

，D(x,-x+3),C(x,—x2+2x+3),

V0<x<3,

39

/.CD=—x2+2x+3-(-x+3)=—x2+3x=-(x--)2+-,

...當(dāng)時，CD的最大值為：；

⑶解："."CD=|—x2+3x|，PD=|—x+3|,

①當(dāng)SAPDB=2SACDB,

這時PD=2CD,

即x+3|=2|—x2+3x|,

解得x=±1,或x=3(舍)；

②當(dāng)SACDB=2SAPDB,

這時CD=2PD,

即2|-x+3|=|—x2+3x|.

解得x=±2,或x=3(舍);

綜上，*=號，或x=±2.

(4)解：直線AB的解析式為y=-x+3,

...線段AB的垂直平分線1的解析式為y=x,

設(shè)H為(x,x),則Q(3+x,x-3),或(3-x,-(3+x)),

①Q(mào)(3+x,x-3),(x>0),

則-(3+x)2+2(3+x)+3=x-3,

解得X=2V3-3或x=-2V3-3(舍)，

故Q的橫坐標(biāo)為2百，

②Q(3-x,-(3+x)),(x<0),

則-(3-x)2+2(3-x)+3=-(3+x),

解得x=—叵+竺(舍)或x左+經(jīng)(舍)，

2424

故Q的橫坐標(biāo)為2Vx

11.拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，且A(-l,0)、B(4,0),與y軸交于點(diǎn)

C,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2),連接BC,以BC為邊，點(diǎn)O為中心作菱形BDEC,

點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q,交BD于點(diǎn)M.

(1)求拋物線的解析式；

(2)x軸上是否存在一點(diǎn)P,使三角形PBC為等腰三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動時，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形？請說明理由

【答案】(1)解：由題意可設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx-2,?.?拋物線與x軸交于A(-1,0),B(4,0)兩點(diǎn),

故拋物線的表達(dá)式為：y=a(x+l)(x-4)=a(x2-3x-4),即-4a=-2,解得：a=|，，拋物線的解析式為：y=|

x2--x-2

2

⑵解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),則PB2=(m-4)2,PC2=m2+4,BC2=20,

①當(dāng)PB=PC時，(m-4)2=m2+4,解得：m=|；

②當(dāng)PB=BC時，同理可得：m=4±2V5；

③當(dāng)PC=BC時，同理可得：m=±4(舍