2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題含答案

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形/O8C的頂點(diǎn)48分別在坐標(biāo)軸上，兩點(diǎn)坐標(biāo)分

別為(0,加)和(2加，0)且機(jī)>0,頂點(diǎn)C在第一象限，連接OC,現(xiàn)將矩形405。沿

0c折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)。處，拋物線y=辦2+bx(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)8.

,68

(1)C點(diǎn)坐標(biāo)為(2m,m)；.點(diǎn)坐標(biāo)為(gm,丁)(均用含m的式子表不)；

(2)若拋物線川=依2+隊(duì)還經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，求。與機(jī)之間的關(guān)系式并寫出機(jī)的取值范圍；

(3)如圖2,當(dāng)〃?=5時(shí)，作拋物線咒=。7+法關(guān)于其頂點(diǎn)E的中心對(duì)稱的拋物線/=

-aW+bx，由刈，”這兩條拋物線所組成的圖象記為G,設(shè)8的中點(diǎn)為陽(yáng)，直接寫出

當(dāng)圖象G與線段CM有公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍.

圖1

'：ZOAC=ZD=90°,ZAEO=ZDEC,AO=CD,

：./\AEO^/\DEC(AAS),貝ijOE=CE,

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設(shè)：AE=DE=a,貝ijEC=2/n-a,

OC=y/m2+(2m)2=V5m,過(guò)點(diǎn)E作EF_LOC,則FC=；0C=字，

、I1

設(shè)：NCOB=/ACO=a,tana=?

則cosa=*=等=,解得：a=

LccZ77i—aq

過(guò)點(diǎn)。作力C于點(diǎn)從

11

S^CED=*EXDC=qDHXEC,

解得：DH=,

故點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為：陽(yáng)+駕=等，同理可得其橫坐標(biāo)為：等，

68

故。(g〃3~/n),

63

故：答案為：C(2m,〃?)，D(-w,

(2)根據(jù)題意可知拋物線^=0?+/(a<0)經(jīng)過(guò)5,。兩點(diǎn)，

a(2m)2+b(2m)=0

根據(jù)題意可得，6m、2.,6m.8zn?

(a(—)2+fo(^-)=—

解得：a=—(zw>0)；

13

(3)當(dāng)機(jī)=5時(shí)，點(diǎn)C、。的坐標(biāo)分別為(10,5)、(6,8),則點(diǎn)“(8,y),

設(shè)：y\=a(x-5)2-25a

.??拋物線yuqf+bx與”=-ax2+bx關(guān)于頂點(diǎn)E中心對(duì)稱.

J設(shè)拋物線”=-辦2+版的解析式為戶=-。(x-5)2-25a,

①當(dāng)圖形G上方的拋物線圖象與MC有交點(diǎn)時(shí)，

5=—ax25—25a(a=-i

13?,解得"理

{=-axv9Q-25a(_||

Ta=

131

故：一而々W一奇

②當(dāng)圖形G下方的拋物線圖象與MC有交點(diǎn)時(shí)，

同理可得：

6占?131_u.13

練上，一面而或“<一禿?

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2.拋物線y=r+（m+2）x+4的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，直線_y=x+2與拋物線交于4，B

兩點(diǎn)（點(diǎn)/在點(diǎn)8的左側(cè)）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，若SM4B=2SAJBC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）將直線上下平移，平移后的直線丁="，與拋物線交于H,9兩點(diǎn)（4在￡的左

側(cè)），當(dāng)以點(diǎn)4,B'和（2）中第二象限的點(diǎn)尸為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求，的值.

△=(m+2)2-16=0

解得機(jī)=-6.

...拋物線的函數(shù)表達(dá)式是-4x+4；

（2）如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CE〃/18交y軸于點(diǎn)E,設(shè)直線交y軸于點(diǎn)，.

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由直線48：y=x+2,得點(diǎn)H(0,2).

設(shè)直線CE：y=x+b.

".'y—x2-4x+4=(x-2)2,

：.C(2,0).

：.2+b=0,則b=-2.

.'.HE=4.

由S&PAB=2SMBC，

可在y軸上且點(diǎn)〃上方取一點(diǎn)尸，使FH=2HE,則尸(0,10).

過(guò)點(diǎn)尸作Q〃/18交拋物線于點(diǎn)Pi、尸2.止匕時(shí)滿足&RIB=2S^BC，

設(shè)直線PI、尸2的函數(shù)解析式為：y-x+k.

,:F(0,10)在直線尸1、尸2上,

，%=10.

直線Pi、P2的函數(shù)解析式為：y=x+10.

y=%+10

聯(lián)立

,y=%2—4%4-4

解得容:「%2=6

72=16'

綜上，滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)是Pi(-1,9),Pi(6,16)；

(3)設(shè)/'(xi,y\),B'(%2>/)，

顯然，ZPA'B'#90°.

(/)如圖2,當(dāng)NHB'P=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)B'作直線MV〃歹軸，A'M_LMV于M,PN

圖2

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直線HB'的解析式是

：.AB'4W=45°.

進(jìn)一步可得到B'M,/\PB'N都是等腰直角三角形.

：.PN=NB',

.'?X2+l=9-yi,即X2+_P2=8①

又”=X2+f，②

X7=4—7Tt

I.

(丫2=4+/

將點(diǎn)(4一點(diǎn),4+1t)代入二次函數(shù)解析式，得4+q=(4-1t-2)2

解得Zi=O,/2=10（此時(shí)點(diǎn)/'與點(diǎn)尸重合，舍去）;

②如圖3,當(dāng)PB'=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作EF〃了軸，A'ELEF于E,B'F_LE尸于

則△“EPs/\PFB'.

.A'EPF

"PE~B'F"

.二+i_丫2-9

*'9-yi-x2+l

AXIX2+(xi+x2)+1=9(yi+j/2)-yiy2-81.

令—-4x+4=x+t,貝！Ix2-5x+4-t=0.

貝(JXI+%2=5,XIX2=4-t.

y\+y2=(xi+z)+(JQ+Z)=X]+X2+2Z=5+2Z.

y\y2=(xi+/)(JQ+Z)=xix2+/(xi+x2)+?=P+4/+4.

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(4-?)+5+1=9(5+2/)-(？+4z+4)-81.

整理，得P-15什50=0.

解得fi=5,5=10(舍去).

綜上所述，f的值是0或5.

3.已知直線/”y=-x+6與x軸交于點(diǎn)直線/2：尸孑一學(xué)與x軸交于點(diǎn)5,直線人、

/2交于點(diǎn)C,且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)4作x軸的垂線，若點(diǎn)P(x,2)為垂線上的一個(gè)點(diǎn)，0是y軸上一

動(dòng)點(diǎn)，若SAC?°=5,求此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)若P在過(guò)/作無(wú)軸的垂線上，點(diǎn)。為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CP+PQ+QA的值最小

時(shí)，求此時(shí)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-2,0),將直線k繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后的直線“剛好

過(guò)點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作平行于x軸的直線出點(diǎn)、M、N分別為直線以/4上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否

存在點(diǎn)M、N,使得△8WN是以〃點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出N點(diǎn)

解：(1)直線匕：y=$-竽，令x=l,則y=-4,故C(l,-4),

把C(1,-4)代入直線八：y=-x+bt得：b=-3,貝U/i為：y=-x-3,所以/(-3,

0),

所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(-3,2),如圖，設(shè)直線ZC交y軸于點(diǎn)M,

設(shè)好尸所得：色;匚泮V，解得｛7;小，

：.ypc=-1.5x-2.5,即M(0,-2.5).

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SACPQ=%MX(XC-xp)=J(70+2.5)義4=5,解得：叫=0或-5,

，Q的坐標(biāo)為(0,0)或(0,-5)；

(2)確定C關(guān)于過(guò)/垂線的對(duì)稱點(diǎn)C'(-7,-4)、/關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(3,0),

連接/'C交過(guò)N點(diǎn)的垂線與點(diǎn)尸，交y軸于點(diǎn)0,此時(shí)，CP+PQ+0Z的值最小，

將點(diǎn)X'、C'點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：x+?得：

則直線"C'的表達(dá)式為：尸|x—|，

19

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,-昔),

(3)將氏c點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式，同理可得其表達(dá)式為：y=-^x-l

①當(dāng)點(diǎn)〃在直線/4上方時(shí)，設(shè)點(diǎn)N(小-4),點(diǎn)M(s,-?-會(huì)，點(diǎn)8(4,0),

過(guò)點(diǎn)N、3分別作y軸的平行線交過(guò)點(diǎn)M與x軸的平行線分別交于點(diǎn)R、S,

■:NRMN+/RNM=90°,NRMN+/SMR=90°,

:?NSMR=/RNM,

NMRN=NMSB=90°,MN=MB,

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:./XMSB"ANRM(44S),

:.RN=MS,RM=SB,

48

-is一方+4=4-s

3s=-4

即34g，解得:

n=-16'

s_n=__s__

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-16,-4）,

②當(dāng)點(diǎn)“在/4下方時(shí),

74

同理可得：N（―寧，-4）,

74

即：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（一〒-4）或（-16,-4）.

3.如圖，在RtZ\/8C中，ZJCS=90°,。為邊上的一點(diǎn)，以/。為直徑的。。交8c

于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)C作CGL/5交AB于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)E的弦EP

交45于點(diǎn)0（EP不是直徑），點(diǎn)0為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)8P,8尸恰好為。。的切線.

（1）求證：8c是。。的切線.

（2）求證：EP=ED.

3

（3）若sinN/8。一AC=15,求四邊形CaQE的面積.

（1）證明：連接OE,OP,

,：AD為直徑，點(diǎn)。為弦EP的中點(diǎn),

點(diǎn)0為弦EP的中點(diǎn)，

：.AB垂直平分EP,

：.PB=BE,

'：OE=OP,OB=OB,

:.XBEO沼X(jué)BPO(SSS),

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:?/BEO=/BPO,

???8尸為OO的切線，

；?NBPO=90°,

：?NBEO=90°,

：?OE工BC,

???6C是OO的切線.

(2)證明：NBEO=/ACB=90°,

：.AC//OE,

：.ZCAE=ZOEA,

?：OA=OE,

：./EAO=NAEO,

：.ZCAE=NEAO,

：.EF=ED.

(3)解：??,4)為的OO直徑，點(diǎn)。為弦EP的中點(diǎn),

：.EP,LAB,

:CGL4B,

J.CG//EP,

VZACB=ZBEO=90°,

J.AC//OE,

:?NCAE=NAEO,

*：OA=OE,

：.NEAQ=/AEO,

：.ZCAE=ZEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：./\ACE^/\AQE(AAS),

:.CE=QE9

VZAEC-iZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

AZCEH=ZAHG,

*.<NAHG=NCHE,

:?/CHE=/CEH,

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：.CH=CE,

:.CH=EQ,

，四邊形CHQE是平行四邊形，

*：CH=CE,

???四邊形是菱形，

AG3

sinZABC-sinZACG~—=一，

AC5

V^C=15,

???4G=9,

CG=y/AC2-AG2=12,

△ACEWAAQE,

：.AQ=AC=15,

：.QG=6,

'：HQ2=HG2+QG2,

：.HQ1=(12-HQ)2+62,

1c

解得：HQ=~,

15

：.CH=HQ=^-,

ic

四邊形CHQE的面積=C77?G0=號(hào)x6=45.

4.如圖，△NBC中，AB=AC,。。是△NBC的外接圓，80的延長(zhǎng)線交邊NC于點(diǎn)D.

(1)求證：ZBAC=2ZABD；

(2)當(dāng)△88是等腰三角形時(shí)，求/BCD的大??；

(3)當(dāng)/。=2,8=3時(shí)，求邊8C的長(zhǎng).

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圖1

*：AB=AC,

：.AB=AC,

J.OALBC,

???ZBAO=ZCAO,

*：OA=OB,

：.NABD=/BAO,

：./BAC=2/ABD.

(2)解：如圖2中，延長(zhǎng)/。交8C于〃.

①若BD=CB,則ZC=4BDC=NABD+/BAC=3NABD,

*：AB=AC,

：.NABC=NC,

：.NDBC=2NABD,

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???/O8C+NC+N80c=180°,

???8N4BD=180°,

：.ZC=3ZABD=61.5°.

②若CD=CB,則NC8O=N88=3NZ8。，

???ZC=4ZABDf

VZr>BC+ZC+ZCDB=180°,

：.\OZABD=1SO°,

AZBCD=4ZABD=72°.

③若DB=DC,則。與4重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或72°?

(3)如圖3中，作力石〃8c交8。的延長(zhǎng)線于瓦

圖3

^AEAD2

則一=—=

BCDC3

A。AE4

—=—=一，設(shè)O8=CZ4=4a,OH=3a,

OHBH3

9：BH1=AB1-AH2=OB2-OH2,

???25-49。2=16。2-9。2,

.225

??〃=彌'

4

:.BC=2BH=挈

6.已知，如圖：△ZBC是等腰直角三角形，48c=90°,AB=\O,。為△48C外一點(diǎn),

連接Z。、BD,過(guò)。作。垂足為“，交4c于E.

(1)若是等邊三角形，求。E的長(zhǎng)；

第12頁(yè)共16頁(yè)

Q

(2)若BD=4B,且tan/印加氣，求。E的長(zhǎng).

【解答】解：(1)是等邊三角形，48=10,

二408=60°,/￡>=”=10,

:DHLAB,

:.AH=%B=5,

：.DH=yjAD2-AH2=V102-52=5V3,

???△Z8C是等腰直角三角形，

：.ZCAB=45°,即N4E〃=45°,

AAEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

2

(2)'：DHLAB,且

可設(shè)BH=3k,貝UDH=4k,

根據(jù)勾股定理得：DB=5k,

,:BD=4B=IQ,

.?.5%=10解得：k=2,

：.DH=8,BH=6,AH=4,

又,：EH=AH=4,

:.DE=DH-EH=4.

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7.如圖，已知。。是△/BC的外接圓，AB是。。的直徑，D是4B延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE

交OC的延長(zhǎng)線于E,交0。于