(1.62)-6.5.1 模擬高通濾波器的設計

6.2.6頻率變換與模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設計高通、帶通、帶阻濾波器的幅頻響應曲線及邊界頻率分別如圖所示。圖6.2.12各種濾波器幅頻特性曲線及邊界頻率示意圖低通、高通、帶通和帶阻濾波器的通帶最大允許衰減和阻帶最小允許衰減仍用

p和

s表示。Ωph表示高通濾波器的通帶邊界頻率；Ωpl和Ωpu分別表示帶通和帶阻濾波器的通帶下邊界頻率和通帶上邊界頻率；Ωsl和Ωsu分別表示帶通和帶阻濾波器的阻帶下邊界頻率和阻帶上邊界頻率。從原理上講，通過頻率變換公式，可以將模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Q(p)變換成希望設計的低通、高通、帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。

(1)通過頻率變換公式，先將希望設計的濾波器指標轉(zhuǎn)換為相應的低通濾波器指標；

(2)設計相應的低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)；

(3)對Q(p)進行頻率變換，得到希望設計的濾波器系統(tǒng)函數(shù)Hd(s)。定義p=η+jλ為Q(p)的歸一化復變量，其通帶邊界頻率記為λp，λ稱為歸一化頻率。用Hd(s)表示希望設計的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，s=σ+jΩ表示Hd(s)的復變量。例如，一階巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)為：3dB截止頻率λp=1，是關(guān)于3dB截止頻率歸一化的。（6.2.48）（6.2.49）從p域到s域映射的可逆變換記為p=F(s)。低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)與Hd(s)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為在虛軸(頻率軸)上該映射關(guān)系簡化為如下頻率變換公式：

式中：Ωph為希望設計的高通濾波器HHP(s)的通帶邊界頻率。低通濾波器的通帶[0+，λp]映射為高通濾波器的通帶[-∞，-Ωph]，[-λp，0-]映射為高通濾波器的通帶[Ωph，∞]。（6.2.51）1．模擬高通濾波器設計

（6.2.50）從低通到高通濾波器的映射關(guān)系為：p=η+jλs=σ+jΩp=jλs=jΩ低通濾波器的阻帶[λs,∞]映射為高通濾波器的阻帶[-Ωsh,0]，而將低通濾波器的阻帶[-∞,-λs]映射為高通濾波器的阻帶[0,Ωsh]。

映射關(guān)系式（6.2.50）確保低通濾波器Q(p)通帶[-λp,λp]上的幅度值出現(xiàn)在高通濾波器HHP(s)的通帶Ωph≤|Ω|上。同樣，低通濾波器Q(p)阻帶λs≤|λ|上的幅度值出現(xiàn)在高通濾波器HHP(s)的阻帶[-Ωs,Ωs]上。阻帶：將（6.2.50）式代入（6.2.48）式，就可將通帶邊界頻率為λp的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Q(p)轉(zhuǎn)換成通帶邊界頻率為Ωph的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù):（6.2.52）（6.2.50）（6.2.48）【例6.2.5】設計巴特沃思模擬高通濾波器，要求通帶邊界頻率為4kHz，阻帶邊界頻率為1kHz，通帶最大衰減為0.1dB，阻帶最小衰減為40dB。解：(1）將希望設計的高通濾波器的指標轉(zhuǎn)換成相應的低通濾波器Q(p)的指標。

為了計算簡單，一般選擇Q(p)為歸一化低通，即取Q(p)的通帶邊界頻率λp=1。則由（6.2.51）式可求得歸一化阻帶邊界頻率為轉(zhuǎn)換得到低通濾波器的指標為：通帶邊界頻率λp=1，阻帶邊界頻率λs=4，通帶最大衰減

p=0.1dB，阻帶最小衰減

s=40dB。

p=1，

（2）設計相應的歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)Q(p)?？梢圆捎迷O計巴特沃斯低通濾波器的步驟。

調(diào)用MATLAB函數(shù)buttord和butter來設計Q(p)。

（3）用（6.2.50）式將Q(p)轉(zhuǎn)換成希望設計的高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)。MATLAB函數(shù)lp2hp實現(xiàn)低通到高通的變換。［BH,AH］=lp2hp(B,A,wph)將系統(tǒng)函數(shù)分子和分母系數(shù)向量為B和A的低通濾波器變換成通帶邊界頻率為whp的高通濾波器，返回結(jié)果BH和AH是高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子和分母的系數(shù)向量。設計巴特沃思模擬高通濾波器程序ep616.m：wp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;%設置低通濾波器指標參數(shù)[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');%計算低通濾波器Q(p)的階數(shù)N和3dB截止頻率wc[B,A]=butter(N,wc,'s');%計算低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)Q(p)的分子分母多項式系數(shù)wph=2*pi*4000;%模擬高通濾波器通帶邊界頻率wph[BH,AH]=lp2hp(B,A,wph);fk=0:6000/512:6000;%0~6000Hzwk=2*pi*fk;Hk=freqs(BH,AH,wk);%求高通濾波器的頻率特性plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel('頻率(kHz)');ylabel('幅度(dB)')axis([0,6,-80,5])wp=1;ws=4;Rp=0.1;As=40;%設置高通濾波器指標參數(shù)

[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,‘s’);%計算低通濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率[B,A]=butter(N,wc,'s');%計算低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)分子分母多項式系數(shù)wph=2*pi*4000;%計算模擬高通濾波器的通帶邊界頻率[BH,AH]=lp2hp(B,A,wph);%低通到高通的轉(zhuǎn)換，計算高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)分子分母多項式系數(shù)fk1=0:10/512:10;%定義歸一化低通濾波器的頻率范圍wk1=fk1;Hk=freqs(B,A,wk1);%低通濾波器的頻率響應函數(shù)figure,plot(fk1,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel('歸一化頻率');ylabel('幅度(dB)')axis([0,10,-80,5])fk2=0:6000/512:6000;%定義高通濾波器的頻率范圍wk2=2*pi*fk2;HHk=freqs(BH,AH,wk2);%高通濾波器的頻率響應函數(shù)figure,plot(fk2/1000,20*log10(abs(HHk)));gridonxlabel('頻率(kHz)');ylabel('幅度(dB)')axis([0,6,-80,5])濾波器的參數(shù)：N=5；B=[0000010.2405]；A=[15.153313.278121.144520.810110.2405]；BH=[1-1.4304e-012-5.1402e-007-0.0091-3.16365.9326e-004]；AH=[15.1073e+0041.3042e+0092.0584e+0132.0078e+0179.7921e+020]由系數(shù)向量B和A寫出歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)為由系數(shù)向量BH和AH寫出希望設計的高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為Q(p)和HHP(s)的損耗函數(shù)曲線如圖6.2.13所示。圖6.2.13例6.2.5所得低通、高通濾波器損耗函數(shù)曲線調(diào)用函數(shù)buttord和butter可以直接設計巴特沃思高通濾波器ep616b.m。wp=2*pi*4000;ws=2*pi*1000;Rp=0.1;As=40;%設置高通濾波器指標參數(shù)[N,wc]=buttord(wp,ws,Rp,As,'s');%計算高通濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率

[BH,AH]=butter(N,wc,'high','s');%計算高通濾波器系統(tǒng)函數(shù)HHP(s)分子分母多項式系數(shù)fk=0:6000/512:6000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(BH,AH,wk);plot(fk/1000,20*log10(abs(Hk)));gridonxlabel('頻率(kHz)');ylabel('幅度(dB)')axis([0,6,-80,5])程序運行結(jié)果:

N=5

BH=［100000］

AH=［15.1073e+0041.3042e+0092.0584e+0132.0