2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第六部分培優(yōu)專練02 倍長中線模型專練教師版

1倍長中線模型專練1.在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線.(1)如圖1,AD是△ABC的中線，AB=7,AC=5,求AD的取值范圍.我們可以延長AD取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是(2)如圖2,AD是。ABC的中線，點(diǎn)E在邊AC上，BE交AD于點(diǎn)F,且AE=EF,求證：AC=BF;(3)如圖3,在四邊形ABCD中，AD/IBC,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE,ED且CE⊥DE,試猜想線段BC,CD,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明.【分析】(1)延長AD到點(diǎn)M,使DM=AD,連接BM,即可證明△ADC≥△MDB,則可得BM=AC,在AABM中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到AM的取值范圍，進(jìn)而得到中線AD的取值范圍；(2)延長AD到知，∠CAD=∠AFE,由角度關(guān)系即可推出CE到F,使EF=EC,連接AF,即可證明△AEF=△BEC以及角度關(guān)系即可證明點(diǎn)F,A,D在一條直線上，通過證明Rt△DEF≌Rt△DEC,即可得到FD=CD,進(jìn)【解析】(1)延長AD到點(diǎn)M,使DM=AD,連接BM,(2)證明：延長AD到點(diǎn)M,使DM=AD,連接BM,2∴點(diǎn)F,A,D在一條直線上，(1)如圖1,若點(diǎn)F恰好為CD中點(diǎn)，求證：AE=BE+2CE;(2)在(1)的條件下，求的值；(3)如圖2,延長AF交BC的延長線于點(diǎn)G,延長【分析】(1)延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G,利用“AAS”證△ADF≌△GCF得AD=CG,據(jù)此知CG=BC=BE+CE,根據(jù)EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得證；(2)設(shè)CE=a,BE=b,則AE=2a+b,AB=a+b,在Rt△ABE中，由AB2+BE2=AE2可得b=3a,據(jù)此可得答案；(3)連接DG,證△ADF≌△3而得出∠ADF=∠FGH,根據(jù)∠ADF=90°即可得證.【解析】解：(1)如圖1,延長BC交AF的延長線于點(diǎn)G,3.(1)閱讀理解：如圖①,在。ABC中，若AB=8,AC=5,求BC邊上的中線AD的取值范圍.可判斷中線AD的取值范圍是(2)問題解決：如圖②,在。ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE4(3)問題拓展：如圖③,在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=100°,的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(圖①)(圖②)(圖③)【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明。ADC=EDB,AC=BE=6,AD=ED,在△ABE(2)延長FD至M,使DF=DM,連接BM,EM,可得出CF=BM,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得出EF=EM,(3)延長AB至N,使BN=DF,連接CN,可得∠NBC=∠D,證明。NBC=。FDC,得出EN=EF,即可得出結(jié)論.【解析】解：(1)(2)延長FD至M,使DF=DM,連接BM,EM,同(1)可得出CF=BM.∵FD=MD,FD⊥DE,∴EF=EM.在△BEM中，BE+BM>EM,∴BE理由：延長AB至N,使BN=DF,連接CN,5NN∵∠BCD=100°,∠FCE=50°(1)如圖1,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連AE并延長到點(diǎn)F,使FE=EA,則BF與AC的數(shù)量關(guān)系是(2)如圖2,若AB=AC,點(diǎn)E為邊AC一點(diǎn)，過點(diǎn)C作BC的垂線交BE的延長線于點(diǎn)D,連接AD,若(3)如圖3,點(diǎn)D在。ABC內(nèi)部，且滿足AD=BC,∠BAD=∠DCB,點(diǎn)M在DC的延長線上，連AM交BD的延長線于點(diǎn)N,若點(diǎn)N為AM的中點(diǎn)，求證：DM=AB.在MT上取一點(diǎn)K,使得MK=CD,連接GK,利用全等三角形的性質(zhì)證明AB=MT、DM=MT,即可(2)過點(diǎn)A引AF//CD交BE于點(diǎn)F,如圖：6由題意可得CD⊥BC,又∵AB=AC,∴AF(3)證明：過點(diǎn)M作MT//AB交BN的延長線于點(diǎn)T,MGAD,在MT上取一點(diǎn)K,使得MK=CD,連接GK,如圖：∵∠ANB=∠MNT,AN=MN,∴△ANB≌△MNT(AAS),∵∠AND=∠MNG,AN=NM,∴△AND≌△7圖1(1)如圖1,延長DE交BC于點(diǎn)F,若∠BAE=68°,則∠DFC的度數(shù)為(2)如圖2,連接EC、BD,延長EA交BD于點(diǎn)M,若∠AEC=90°,求證：點(diǎn)M為BD中點(diǎn)；(3)如圖3,連接EC、BD,點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，連接AG,交BD于點(diǎn)H,AG=9,HG=5,的面積.即可的∠DFC=∠BAE;(2)過點(diǎn)B作ME的垂線交EM的延長線于N,證明△AEC≌△BNA,得AE=BN,進(jìn)而可得AD=NB,再證明△DAM≌△BNM即可得證點(diǎn)M為BD中點(diǎn)；(3)延長AG至K,使得GK=AG=9,連接CK,設(shè)AE交BC于點(diǎn)P,先證明△ABE≌△ACD,進(jìn)而證明△AEG≌△KCG,根據(jù)角度的計(jì)算以及三角形內(nèi)角和定理求得∠BAD=∠KCA,進(jìn)而證明△ABD≌△CAK,再根據(jù)∠CAG=∠ABD,∠BAC=90°,證明AH⊥BD,根據(jù)已知條件求得Sm最后證明Sc=SAm即可.提示：設(shè)DF交AC于Q,∵△ABC是等腰Rt?ABC和ADE是等腰Rt△ADE,∠C=45°,(2)如圖2,過點(diǎn)B作ME的垂線交EM的延長線于N,∴∠N=90°.8∵ABC是等腰Rr?ABC和?ADE是等腰Rt△ADE,∴AB=AC,AD=AE.(3)延長AG至K,使得GK=AG=9,連接CK,設(shè)AE交BC于點(diǎn)P,如圖∵ABC是等腰Rt?ABC和ADE是等腰Rt△ADE,∴AB=AC,AE=AD.∵G點(diǎn)是EC的中點(diǎn)，∴EG=GC.∵AG=9,HG=5,∴AH=AG-HG=9如圖1,點(diǎn)D是。ABC邊BC的中點(diǎn)，A(1)小明的想法是，過點(diǎn)B作BE//AC交AD的延長線于點(diǎn)E,如圖2,從而通過構(gòu)造全等解決問題，請(qǐng)(2)請(qǐng)按照上述提示，解決下面問題：在等腰Rt?ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D邊AC延長線上一點(diǎn)，連接BD,過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AF⊥AE,且AF=AE,連接EF交BC于點(diǎn)G,連接CF,求證BG=CG.【分析】(1)根據(jù)已知證明△BDE≌△ADC,進(jìn)而求得AC=BE,根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得AD的取值范圍；(2)過點(diǎn)B作BMIIFC交FE的延長線于M,證明VABE≌VACF,得CF=BE,再證明BM=CE,進(jìn)而證明△BMG≌△CFG,即可證明BG=CG∵AB-BE<AE<AB+BE,即2<2AD<8,∴1<AD<4.(2)如圖，過點(diǎn)B作BMIIFC交FE的延長線于M,∴∠2=∠3.M7.(1)方法學(xué)習(xí)：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，張老師提出了如下問題：如圖1,在△ABC中，AB=8,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法(如圖2),圖2①延長AD到M,使得DM=AD;③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB-BM<AM<AB+BM,從而得到AD的取值范圍(2)請(qǐng)你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明.(3)深入思考：如圖3,AD是△ABC的中線，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°,請(qǐng)直接利用(2)的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【分析】(1)延長AD到M,使得DM=AD,連接BM,根據(jù)題意證明△MDB≌△ADC,可知BM=AC,在AC=BM,進(jìn)而可知AC//BM;(3)延長AD到M,使得DM=AD,連接BM,由(1)(2)的結(jié)論以及已知條件證明△ABM≌△EAF,進(jìn)而可得AM=2AD,由AM=EF,即可求得AD與EF的數(shù)量關(guān)系.【解析】(1)1<AD<7.(2)AC//BM,且A理由：由(1)知，△MDB≌△ADC,∴∠M=∠CAD,AC=BM,理由：如圖2,延長AD到M,使得DM=AD,連接BM,由(1)知△BDM≌△CDA(SAS),∴BM=AC,由(2)知AC//BM,∴∠BAC+∠ABM=180°,8.問題背景：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1,△ABC中，若AB=4,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點(diǎn)E,使DE散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中.請(qǐng)寫出小明解決問題的完整過程；圖2M是BC中點(diǎn)，連接AM,DE.當(dāng)AM=3時(shí)，求DE的長.【分析】問題背景：先判斷出BD=CD,由對(duì)頂角相等∠BDE=∠CDA,進(jìn)問題解決：先證明△ADC≌△EDB(SAS),得出BE=AC=3,最后用三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；拓展應(yīng)用：如圖2,延長AM到N,使得MN=AM,連接BN,同(1)的方法得出△BMN≌△CMA(SAS),則BN=AC,進(jìn)而判斷出∠ABN=∠EAD,進(jìn)而判斷出△ABN≌△EAD,得出AN=ED,即可求解.【解析】問題背景：延長AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE,問題解決：如圖1,延長AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE,拓展應(yīng)用：如圖2,延長AM到N,使得MN=AM,連接BN,圖29.(1)基礎(chǔ)應(yīng)用：如圖1,在△ABC中，AB=5,AC=7,AD是BC邊上的中線，延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,連接CE,把AB,AC,2AD利用旋轉(zhuǎn)全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取(2)推廣應(yīng)用：應(yīng)用旋轉(zhuǎn)全等的方式解決問題如圖2,在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E,F分別(3)綜合應(yīng)用：如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180EF、BE、FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明.圖1圖3【分析】(1)先證明△CDE≌△BDA(SAS)可得CE=AB=5,在△ACE中，利用三角形的三邊關(guān)系解答即(2)如圖2中，延長ED到H,使得DH=DE,連接DH,FH.再證明△BDE≌△CDH(SAS)可得BE=CH,再證明EF=FH,利用三角形的三邊關(guān)系解答即可；(3)如圖3,作輔助線，構(gòu)建△ABG,同理證明△ABG≌△ADF和△AEG≌△AEF.可得新的結(jié)論：EF=BE-DF.【解析】(1)1<AD<6.提示：如圖1:∵CD=BD,AD=DE,∠CDE=∠ADB,∴△CDE≌△BDA(SAS),∴EC=AB=5,∵7-5<AE<7+5,∴2<2AD<12,∴1<AD<6.(2)證明：如圖2中，延長ED到H,使得DH=DE,連接DH,FH.證明：如圖3中，在BE上截取BG,使BG=DF,連接AG.10.(1)閱讀理解：如圖1,在△ABC中，若AB=5,AC=8,求BC邊上的中線AD的取值范圍.小聰同學(xué)是這樣思考的：延長AD至E,使DE=AD,連接BE.利用全等將邊AC轉(zhuǎn)化到BE,在△BAE中利用三角形三邊關(guān)系即可求出中線AD的取值范圍.在這個(gè)過程中小聰同學(xué)證三角形全等用到的判定方法是 (2)問題解決：如圖2,在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在AB邊上，點(diǎn)N在AC邊上，若DM⊥(3)問題拓展：如圖3,在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，分別以AB,AC為直角邊向△ABC外作Rt△ABM和Rt△ACN,其中∠BAM=∠NAC=90°,AB=AM,AC=AN,連接MN,探索AD與MN的關(guān)系，并說明理由.【分析】(1)閱讀理解：由SAS證明△ACD≌△EBD,得出BE=AC=8,在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.(2)問題解決：延長ND至點(diǎn)F,使FD=ND,連接BF、MF,同(1)得：△BFD≌△CND,由全等三角形的性質(zhì)得出BF=CN,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出MF=MN,在△BFM中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.(3)問題拓展：延長AD至E,使DE=AD,連接CE,由(1)得：△BAD≌△CED,由全等三角形的性質(zhì)2AD=MN.延長DA交MN于G,證出∠AGN=90°,得出AD⊥MN即可.(2)證明：如圖2中，延長ND至點(diǎn)F,使FD=ND,連接BF、MF,圖2同(1)得△BFD≌△CND(SAS),∴BF=CN,(3)解：結(jié)論：2AD=MN,AD⊥MN.理由：如圖3中，延長AD至E,使DE=AD,連接CE,延長DA交MN于G.由(1)得△BAD≌△CED,∴∠BAD=∠E,AB=CE,如圖①:在。ABC中，若AB=6,AC=4,點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍.解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE,可證△ACD≌△EBD,從而把AB、AC,2AD集中在AABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是,這如圖②,在ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接(3)問題拓展：如圖③,在四邊形ABCD中，AB//CD,AF與DC的延長線交于點(diǎn)F、點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的角平分線.試探究線段AB,AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.圖③【分析】(1)由已知得出AC-CE<AE<AC+CE,即5-4<AE<5+3,據(jù)此可得答案；垂直平分線的性質(zhì)得出EM=EF,在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM>EM即可得出結(jié)論；(3)如圖③,延長AE,DF交于點(diǎn)G,根據(jù)平行和角平分線可證AF=FG,易證△ABE≌△GEC,據(jù)此知AB=CG,繼而得出答案.【解析】解：(1)1<AD<5.證明：延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM、EM,如圖②所示.同(1)得：△BMD≌△CFD(SAS),∴BM=CF,如圖③,延長AE,DF交于點(diǎn)G,∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG=∠GAF,E圖3(1)如圖1,在ABC中，若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E,使得AD=DE,再連接BE,把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是(2)解決問題：如圖2,在。ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于(3)問題拓展：如圖3,在、ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，延長DA至E,使得AC=BE,求證：【分析】(1)如圖1延長AD到點(diǎn)E,使得AD=DE,再連接BE,由AD為中線，推出BD=CD,可證△ACD≌△EBD(SAS)得AC=EB,在△ABE中，由三邊關(guān)系4<2AD<16即可，得FC=GB,由DE⊥DF,DF=D(3)如圖3,延長AD到G使DG=AD,連結(jié)BG,由D是BC邊上的中點(diǎn)，得BD=CD,可證△ACD≌△GBD(SAS)得AC=GB,∠DAC=∠G,【解析】(1)如圖1延長AD到點(diǎn)E,使得AD=DE,再連接BE,在△ABE中，∵AB-BE<AE<AB+BE,(2)如圖2延長FD到G,使DG=FD,連結(jié)BG,EG,(3)如圖3,延長AD到G使DG=AD,連結(jié)BG,由D是BC邊上的中點(diǎn)，∴BD=CD,圖313.已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,(1)如圖1,①若AB=AC,請(qǐng)直接寫出∠EAC-∠BCD=②連接DE,若AE=2DE,求證：∠DEB=∠AEC;(2)如圖2,連接FB,若FB=AC,試探究線段CF和DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.干已知即可解題.②延長ED至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接AG,從而可證明。ADG≌BDE(SAS),再利用全等的性質(zhì)，可知∠DGA=∠DEB,即可知道AG//BC,所以∠GAE=∠AEC,根據(jù)題干又可得到AE=EG,所以∠DGA=∠GAE,從而得出結(jié)論.(2)延長CD至點(diǎn)H,使得DH=DF,【解析】(1)①∵∠EAC+∠ACD=90°,∠AEC+∠BCD=90,②如圖，延長ED至點(diǎn)G,使得DG=DE,連接AG,如圖，延長CD至點(diǎn)H,使得DH=DF,連接BH,(1)如圖1,若AB與CD不平行，試判斷AB+CD與AD之間的數(shù)