數(shù)字信號處理復(fù)習(xí)總結(jié)-最終版

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁緒論：本章推薦數(shù)字信號處理課程的基本概念。0.1信號、系統(tǒng)與信號處理1.信號及其分類信號是信息的載體，以某種函數(shù)的形式傳遞信息。這個函數(shù)可以是時光域、頻率域或其它域，但最基礎(chǔ)的域是時域。分類：周期信號/非周期信號決定信號/隨機(jī)信號能量信號/功率信號延續(xù)時光信號/離散時光信號/數(shù)字信號按自變量與函數(shù)值的取值形式不同分類：2.系統(tǒng)系統(tǒng)定義為處理（或變換）信號的物理設(shè)備，或者說，凡是能將信號加以變換以達(dá)到人們要求的各種設(shè)備都稱為系統(tǒng)。3.信號處理信號處理即是用系統(tǒng)對信號舉行某種加工。包括：濾波、分析、變換、綜合、壓縮、預(yù)計、識別等等。所謂“數(shù)字信號處理”，就是用數(shù)值計算的主意，完成對信號的處理。0.2數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成數(shù)字信號處理就是用數(shù)值計算的主意對信號舉行變換和處理。不僅應(yīng)用于數(shù)字化信號的處理，而且朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁也可應(yīng)用于模擬信號的處理。以下研究模擬信號數(shù)字化處理系統(tǒng)框圖。（1）前置濾波器將輸入信號xa(t)中高于某一頻率（稱折疊頻率，等于抽樣頻率的一半）的分量加以濾除。（2）A/D變換器在A/D變換器中每隔T秒（抽樣周期）取出一次xa(t)的幅度，抽樣后的信號稱為離散信號。在A/D變換器中的保持電路中進(jìn)一步變換為若干位碼。（3）數(shù)字信號處理器（DSP）（4）D/A變換器按照預(yù)定要求，在處理器中將信號序列x(n)舉行加工處理得到輸出信號y(n)。由一個二進(jìn)制碼流產(chǎn)生一個階梯波形，是形成模擬信號的第一步。（5）模擬濾波器把階梯波形平滑成預(yù)期的模擬信號；以濾除掉不需要的高頻分量，生成所需的模擬信號ya(t)。0.3數(shù)字信號處理的特點(diǎn)（1）靈便性。（2）高精度和高穩(wěn)定性。（3）便于大規(guī)模集成。（4）對數(shù)字信號可以存儲、運(yùn)算、系統(tǒng)可以獲得高性能指標(biāo)。0.4數(shù)字信號處理基本學(xué)科分支數(shù)字信號處理（DSP）普通有兩層含義，一層是廣義的理解，為數(shù)字信號處理技術(shù)——DigitalSignalProcessing，另一層是狹義的理解，為數(shù)字信號處理器——DigitalSignalProcessor。0.5課程內(nèi)容該課程在本科階段主要推薦以傅里葉變換為基礎(chǔ)的“經(jīng)典”處理主意，包括：（1）離散傅里葉變換及其迅速算法。（2）濾波理論（線性時不變離散時光系統(tǒng)，用于分離相加性組合的信號，要求信號頻譜占領(lǐng)不同的頻段）。在研究生階段相應(yīng)課程為“現(xiàn)代信號處理”（AdvancedSignalProcessing）。信號對象主要是隨機(jī)信號，主要內(nèi)容是自適應(yīng)濾波（用于分離相加性組合的信號，但頻譜占領(lǐng)同一頻段）和現(xiàn)代譜預(yù)計。簡答題：1．按自變量與函數(shù)值的取值形式是否延續(xù)信號可以分成哪四種類型?2．相對模擬信號處理，數(shù)字信號處理主要有哪些優(yōu)點(diǎn)?3．?dāng)?shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成有哪些？第一章：本章概念較多，需要理解和識記的內(nèi)容較多，學(xué)習(xí)時要注重。1.1離散時光信號1.離散時光信號的定義離散時光信號是指一個實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的數(shù)字序列，它是整數(shù)自變量n的函數(shù)，表示為x(n)。普通由模擬信號等間隔采樣得到：。時域離散信號有三種表示主意：1）用集合符號表示2）用公式表示3）用圖形表示2.幾種基本離散時光信號（記住定義）（1）單位采樣序列（2）單位階躍序列（3）矩形序列（4）實(shí)指數(shù)序列（5）正弦序列ω是正弦序列數(shù)字域的頻率，單位是弧度。對延續(xù)信號中的正弦信號舉行采樣，可得正弦序列。設(shè)延續(xù)信號為，它的采樣值為，因此（重點(diǎn)）這個式子具有普通性，它反映了由延續(xù)信號采樣得到的離散序列，其數(shù)字頻率與模擬頻率的普通關(guān)系。另外需要說明的是，ω的單位為弧度，Ω的單位為弧度/秒。本書中，我們一律以ω表示數(shù)字域頻率，而以Ω及f表示模擬域頻率。例：已知采樣頻率FT=1000Hz,則序列x（n）=cos(0.4πn)對應(yīng)的模擬頻率為(400π)弧度/s。說明：本題旨在理解數(shù)字頻率與模擬頻率之間的關(guān)系：。（6）復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列是以余弦序列為實(shí)部、正弦序列為虛部所構(gòu)成的一個復(fù)數(shù)序列。（7）周期序列(重點(diǎn))所有存在一個最小的正整數(shù),滿意：,則稱序列是周期序列，周期為。(注重：按此定義，模擬信號是周期信號，采用后的離散信號未必是周期的)例：正弦序列的周期性：

當(dāng)，為整數(shù)時，，即為周期性序列。周期，式中，、限取整數(shù)，且的取值要保證是最小的正整數(shù)?？煞謳追N情況研究如下：（1）當(dāng)為整數(shù)時，只要，就為最小正整數(shù)，即周期為。（2）當(dāng)不是整數(shù)，而是一個有理數(shù)時，設(shè)，式中，、是互為素數(shù)的整數(shù)（互為素數(shù)就是兩個數(shù)沒有公約數(shù)），取，則，即周期為。（3）當(dāng)是無理數(shù)時，則任何皆不能使為正整數(shù)，這時，正弦序列不是周期性的。例：X(n)=cos(0.4πn)的基本周期為(5)。[說明]基本周期的定義即計算公式：，其中N和k均為整數(shù)，N為基本周期（使得N為最小整數(shù)時k取值）。本題ω=0.4π，代入上式得到：。3.信號運(yùn)算（1）加法：兩個信號之和由同序號的序列值逐點(diǎn)對應(yīng)相加得到。（2）乘法：兩個信號之積由同序號的序列值逐點(diǎn)對應(yīng)相乘得到。（3）移位：當(dāng)，序列右移（稱為延時）；當(dāng)，序列左移（稱為超前）。（4）翻轉(zhuǎn)：（5）尺度變換：或，其中M和N都是正整數(shù)。當(dāng)時，序列是通過取x(n)的每第M個采樣形成，這種運(yùn)算稱為下采樣。對于序列，定義如下這種運(yùn)算稱為上采樣。4.信號分解（重點(diǎn)）任一信號x(n)可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和：簡記為1.2時域離散系統(tǒng)時域離散系統(tǒng)定義1線性系統(tǒng)（重點(diǎn)）判定公式：

若=,=則2時不變系統(tǒng)（重點(diǎn)）判定公式：y(n)=T[x(n)]y(n-)=T[x(n-)]例：判斷下列系統(tǒng)是否為線性、時不變系統(tǒng)。（重點(diǎn)）（1）；（2）；解：（1）令：輸入為，輸出為故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。（2）令：輸入為，輸出為，因?yàn)楣氏到y(tǒng)是時不變系統(tǒng)。又因?yàn)橐虼讼到y(tǒng)是非線性系統(tǒng)。3線性時不變系統(tǒng)（LTI或者LSI系統(tǒng)）輸入與輸出之間關(guān)系（重點(diǎn)）：y（n）==x（n）*h（n）重點(diǎn)：線性離不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的卷積【說明】離散時光LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)為系統(tǒng)對單位沖激序列δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)。單位沖激響應(yīng)的概念異常重要。在時域，LTI系統(tǒng)可以由其單位沖激響應(yīng)h(n)唯一決定，因此，我們常常用單位沖激響應(yīng)描述LTI系統(tǒng)。在這種情況下，LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系可以由卷積運(yùn)算描述：y（n）==x（n）*h（n）物理意義：卷積和運(yùn)算具有顯式意義，即可以用來決定系統(tǒng)的輸出。倘若系統(tǒng)決定，則其單位沖激響應(yīng)是唯一的。由此，可求系統(tǒng)對隨意輸入的響應(yīng)。注重：計算卷積和的關(guān)鍵是求和區(qū)間的決定。因此，常常需要繪制序列x(m)和h(n-m)的圖形。利用序列x(m)和h(n-m)的圖形可助我們方便地決定求和區(qū)間。卷積的求解主意（重點(diǎn)）：線性卷積是一種異常重要的一種運(yùn)算，對它的求解，普通我們采用作圖法。線性卷積滿意交換律，設(shè)兩序列長度分離是N和M，線性卷積后序列的長度為N＋M－1。卷積的計算過程包括翻轉(zhuǎn)、移位、相乘、相加四個過程。1）將和用和表示，畫出和這兩個序列；2）挑選一個序列，并將其按時光翻轉(zhuǎn)形成序列；3）將移位n，得到；4）將和相同m的序列值對應(yīng)相乘后，再相加。例：設(shè)，,和如圖1所示。求和的卷積。（重點(diǎn)）圖1解主意一：用圖解法求卷積和。(1)將和用和表示(圖2中(a)、(b)圖)。圖2圖解法求卷積過程(2)將舉行反折，形成(圖2中(c)圖)；將移位，得到(圖2中(d)、(e)、(f)圖)。(3)將和相同的序列值相乘，再相加，得到(圖2中(g)圖)。再研究解析法求線性卷積。用式求解上式首先要按照和的非零值區(qū)間決定求和的上下限，的非零值區(qū)間為，的非零值區(qū)間為，或，由兩個非零值區(qū)間可得的取值區(qū)間為，它們的乘積的非零值區(qū)間應(yīng)滿意：和因此當(dāng)、時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，。與圖解法結(jié)果一致。y(n)用公式表示為主意二：當(dāng)序列和的長度分離為有限長和時，可采用“不進(jìn)位乘法”求兩序列線卷積。如圖1所示：，例：兩線性時不變系統(tǒng)級聯(lián)，其單位取樣響應(yīng)分離為和，輸入為，求系統(tǒng)的輸出。已知：，，。解：設(shè)第一個系統(tǒng)的輸出為，則因而輸出為4.系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的判定（重點(diǎn)）1)穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若，則（記住!!）線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：(系統(tǒng)穩(wěn)定的充足須要條件是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)絕對可和)（記住!!）或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1（記住!!）2)因果系統(tǒng)：時刻的輸出只由時刻之前的輸入決定（記住!!）線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：（記住!!）因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)必然是因果序列。（記住!!）或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx（記住!!）3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時滿意上述兩個條件的系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：，（記住!!）或：H(z)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)H(z)的收斂域滿意：（記住!!）例：判斷線性時不變系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性，并給出根據(jù)。（重點(diǎn)）(1)；（2）；解：（1）只要，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌cn時刻的和n時刻以前的輸入有關(guān)。倘若，則，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）倘若，，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因果的，因?yàn)檩敵鲞€和x(n)的未來值有關(guān)。注重：倘若給出的是h(n)，用上面要求記住的充要條件判斷！例：設(shè)某線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為（a為實(shí)數(shù)），分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。（重點(diǎn)）解：研究因果性：因?yàn)闀r，，所以該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。研究穩(wěn)定性：∵∴當(dāng)時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例：設(shè)某線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為（a為實(shí)數(shù)），分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。（重點(diǎn)）解：研究因果性：因?yàn)闀r，，所以該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。研究穩(wěn)定性：∵∴當(dāng)時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1.3線性常系數(shù)差分方程1差分方程定義卷積和是一種LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，普通情況下，我們可以用差分方程描述LTI系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。差分方程給出了系統(tǒng)響應(yīng)y[n]的內(nèi)部關(guān)系。為得到y(tǒng)[n]的顯式解，必須求解方程。2差分方程求解eq\o\ac(○,1)經(jīng)典法eq\o\ac(○,2)遞推法eq\o\ac(○,3)變換域法（參見下章z域變換）（重點(diǎn)）例：設(shè)系統(tǒng)的差分方程為，輸入序列為，求輸出序列。解：一階差分方程需一個初始條件。設(shè)初始條件為：則設(shè)初始條件改為：則該例表明，對于同一個差分方程和同一個輸入信號，因?yàn)槌跏紬l件不同，得到的輸出信號是不相同的。幾點(diǎn)結(jié)論（重點(diǎn)）（1）對于實(shí)際系統(tǒng)，用遞推解法求解，總是由初始條件向n>0的方向遞推，是一個因果解。但對于差分方程，其本身也可以向n<0的方向遞推，得到的是非因果解。因此差分方程本身不能決定該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)還是非因果系統(tǒng)，還需要用初始條件舉行限制。（2）一個線性常系數(shù)差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性非時變系統(tǒng)，這和系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。倘若系統(tǒng)是因果的，普通在輸入x(n)=0(n<n0)時，則輸出y(n)=0(n<n0)，系統(tǒng)是線性非時變系統(tǒng)。模擬信號數(shù)字處理主意1模擬信號數(shù)字處理框圖：模擬信號輸入預(yù)濾波：目的是限制帶寬（普通使用低通濾波器）eq\o\ac(○,1)采樣：將信號在時光上離散化A/DC：模/數(shù)轉(zhuǎn)換 eq\o\ac(○,2)量化：將信號在幅度上離散化（量化中幅度值=采樣幅度值）eq\o\ac(○,3)編碼：將幅度值表示成二進(jìn)制位（條件）數(shù)字信號處理：對信號舉行運(yùn)算處理D/AC：數(shù)/模轉(zhuǎn)換（普通用采樣保持電路實(shí)現(xiàn)：臺階狀延續(xù)時光信號在采樣時刻幅度發(fā)生跳變）平滑濾波：濾除信號中高頻成分（低通濾波器），使信號變得平滑：輸入信號經(jīng)過處理后的輸出信號2．延續(xù)信號的采樣對延續(xù)信號舉行理想采樣，設(shè)采樣脈沖，則采樣輸出在研究理想采樣后，信號頻譜發(fā)生的變化時，可遵循下面的思路：1）由；2）由；3）按照頻域卷積定理，由計算出。計算過程：1）2）周期信號可以用傅里葉級數(shù)展開，因此其中系數(shù)所以其傅里葉變換3）因此，采樣后信號頻譜產(chǎn)生周期延拓，周期為Ωs，同時幅度為本來的1/T倍。這是一個異常重要的性質(zhì)，應(yīng)熟練控制。3時域抽樣定理（重點(diǎn)）一個限帶模擬信號，若其頻譜的最高頻率為，對它舉行等間隔抽樣而得，抽樣周期為T，或抽樣頻率為；惟獨(dú)在抽樣頻率時，才可由確切恢復(fù)。例：有一延續(xù)信號式中，（1）求出的周期。（2）用采樣間隔對舉行采樣，試寫出采樣信號的表達(dá)式。（3）求出對應(yīng)的時域離散信號(序列)，并求出的周期。解：（1）周期為（2）（3）x(n)的數(shù)字頻率ω=0.8π，故，因而周期N=5，所以x(n)=cos(0.8πn+π/2)簡答題：（重點(diǎn)）是不是隨意延續(xù)信號離散后，都可從離散化后的信號恢復(fù)出本來的信號？為什么？一個延續(xù)時光信號經(jīng)過理想采樣以后，其頻譜會產(chǎn)生怎樣的變化？在什么條件下，頻譜不會產(chǎn)生失真？說明時域采樣定理的要點(diǎn)？離散信號頻譜函數(shù)的普通特點(diǎn)是什么？畫出模擬信號數(shù)字處理框圖。并說明各部分的作用。名詞解釋：（重點(diǎn)）時域采樣定理線性系統(tǒng)、時不變系統(tǒng)、穩(wěn)定系統(tǒng)、因果系統(tǒng)

第二章：本章涉及信號及系統(tǒng)的頻域分析主意，概念較多，但很基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時要注重。2.1序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)1.定義DTFT是一個用來決定離散時光序列頻譜的重要數(shù)學(xué)工具。物理意義：傅里葉變換是將對信號的時域分析轉(zhuǎn)換為對其在頻域的分析，便于研究問題。若序列滿意絕對可和條件則其離散時光傅里葉變換（DiscreteTimeFourierTransform-DTFT：非周期序列的傅里葉變換）定義為（記住!!）反變換定義為：傅里葉變換對例：設(shè)，求其序列傅里葉變換。（重點(diǎn)）解當(dāng)時 (2-5)的幅度和相位隨變化曲線如圖2.1所示。圖2.1R4(n)的幅度與相位曲線例：試求如下序列的傅里葉變換：（重點(diǎn)）（1）（2）（3） （4）解：（1） （2）（3） ， （4） =2.性質(zhì)1）周期性（重點(diǎn)）：DTFT是關(guān)于ω的周期為2π的周期函數(shù)。

2)線性（重點(diǎn)）：設(shè)，，那么3）時移特性（重點(diǎn)）4）頻移特性5）時域卷積定理（重點(diǎn)）6）頻域卷積定理7）帕斯瓦爾定理時域總能量等于頻域一周期內(nèi)總能量。7)幅度頻譜為ω的偶函數(shù)，相位頻譜為ω的奇函數(shù)。8)X(ejω)的實(shí)部為ω的偶函數(shù)，X(ejω)的虛部為ω的奇函數(shù)。對稱關(guān)系的總結(jié)（重點(diǎn)）：倘若x[n]為復(fù)數(shù)序列，其DTFT為X(ejω),(a)x[n]實(shí)部的DTFT為X(ejω)的共軛對稱部分(b)x[n]虛部的DTFT為X(ejω)的反共軛對稱部分(c)x[n]的共軛對稱部分的DTFT為X(ejω)的實(shí)部(d)x[n]的反共軛對稱部分的DTFT為X(ejω)的虛部倘若實(shí)序列x[n]的DTFT為X(ejω),(e)x[n]的偶對稱部分的DTFT為X(ejω)的實(shí)部，(f)x[n]的奇對稱部分的DTFT為X(ejω)的虛部，例：設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，輸入序列為，完成下面各題：（1）求出系統(tǒng)輸出序列；（2）分離求出、和的傅里葉變換。（重點(diǎn)）解：（1）（2）2.2時域離散信號的傅里葉變換與模擬信號傅里葉變換之間的關(guān)系：式中2.3序列的Z變換1Z變換定義(重點(diǎn))Z變換為離散時光信號與LTI系統(tǒng)分析的重要數(shù)學(xué)工具。給定一離散時光序列x(n)，其z變換定義為：（記住!!）其中，,。z變換存在情況下的Z變量取值范圍稱為收斂域(ROC)。注重：Z變換+不同收斂域?qū)?yīng)不同收斂域的不同序列序列（Z變換+收斂域）(重點(diǎn))例：求以下序列的Z變換及收斂域：（重點(diǎn)）（1）；（2）；（3）解：（1）（2）（3）[說明]上題也可以改為求序列的傅立葉變換?？梢岳谩?Z變換和DTFT之間的關(guān)系(重點(diǎn))DTFT為單位圓上的z變換。數(shù)學(xué)表達(dá)為：記住并理解!3.序列特性與X(z)的收斂域ROC的關(guān)系。(重點(diǎn))收斂區(qū)域要根據(jù)序列的性質(zhì)而定。同時，也惟獨(dú)Z變換的收斂區(qū)域決定之后，才干由Z變換唯一地決定序列。普通來來說，序列的Z變換的收斂域在Z平面上的一環(huán)狀區(qū)域：總結(jié)：a.ROC不包含任何極點(diǎn)。b.有理z變換的收斂域ROC由其極點(diǎn)界定。c.對于有限長序列x[n],其z變換的收斂域ROC為囫圇z-平面，可能在z=0或z=∞除外。惟獨(dú)序列為時，收斂域是囫圇Z平面。d.對于右邊序列x[n],其z變換的收斂域ROC由其離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的極點(diǎn)決定，其形式為。e.對于左邊序列x[n],其z變換的收斂域ROC由其離原點(diǎn)最近的極點(diǎn)決定，其形式為。f.對于雙邊序列x[n],其z變換的收斂域ROC環(huán)狀收斂域，，其形式為公共收斂域。4.Z反變換(重點(diǎn))常用序列的Z變換(重點(diǎn)--記住!!)：逆變換x，C：收斂域內(nèi)繞原點(diǎn)逆時針的一條閉合曲線留數(shù)定理：留數(shù)輔助定理：利用部分分式展開：，然后利用定義域及常用序列的Z變換求解。(重點(diǎn))基本要求：用部分分式展開法求z反變換。(重點(diǎn))例：假設(shè)，收斂域ROC為,則的z反變換為()。（重點(diǎn)）說明：本題要求控制序列的時域特性域z變換收斂域之間的對應(yīng)關(guān)系。詳細(xì)說，有限長序列的z變換的ROC是怎樣的，右邊序列的z變換的ROC是怎樣的，因果序列的z變換的ROC是怎樣的，左邊序列的z變換的ROC是怎樣的，反因果序列的z變換的ROC是怎樣的。典型序列的z變換表達(dá)式是否記住了？這兩個典型z變換對，對求z變換或逆z變換異常重要。例：已知，試求與對應(yīng)的所有可能的序列。（重點(diǎn)）解：同一個Z變換函數(shù)，收斂域不同，對應(yīng)的序列也不同。本題沒有給定收斂域，所以必須先決定收斂域。有兩個極點(diǎn)：，，因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為邊界，所以收斂域有以下三種情況：，，，三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列，分離研究如下：（1）對應(yīng)左邊序列∴（2）對應(yīng)雙邊序列∴（3）對應(yīng)右邊序列∴例：設(shè)，用部分分式展開法求逆Z變換。（重點(diǎn)）解：先去掉z的負(fù)冪次，以便于求解，將的分子分母同乘以，得：將等式兩端同時除以z，得：因而得：由收斂域知，為右邊序列，得：主要應(yīng)用于單階極點(diǎn)的序列。5Z變換的性質(zhì)eq\o\ac(○,1)線性性質(zhì)(重點(diǎn))eq\o\ac(○,2)序列的移位性質(zhì)(重點(diǎn))eq\o\ac(○,3)序列乘以指數(shù)序列的性質(zhì)(重點(diǎn))eq\o\ac(○,4)序列乘以n的ZTeq\o\ac(○,5)復(fù)共軛序列的ZTeq\o\ac(○,6)初值定理eq\o\ac(○,7)終值定理eq\o\ac(○,8)時域卷積定理(重點(diǎn))設(shè)則eq\o\ac(○,9)復(fù)卷積定理eq\o\ac(○,10)帕斯維爾定理，那么2.4離散時光系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)1系統(tǒng)函數(shù)定義（重點(diǎn)）一個線性時不變離散時光系統(tǒng)在時域中可以用它的單位取樣響應(yīng)來表征，即：對等式兩邊取Z變換并按照時域卷積定理，有：則：普通稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)（系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換與輸入的Z變換之比），它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。2系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系(給定差分方程，能計算其系統(tǒng)函數(shù)，或給定系統(tǒng)函數(shù)，能計算得到差分方程。)（重點(diǎn)）3頻率響應(yīng)（重點(diǎn)）頻率響應(yīng)是一個重要的概念，按照頻率響應(yīng)，可理解濾波。頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的DTFT：（重點(diǎn)）其中，|H(ejω)|稱為幅頻響應(yīng)，稱為相頻響應(yīng)。系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是以2π為周期的ω的延續(xù)函數(shù)，這一點(diǎn)和延續(xù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是不同的，學(xué)習(xí)時應(yīng)加以注重。若h(n)為實(shí)數(shù)，則系統(tǒng)的幅度響應(yīng)在區(qū)間內(nèi)是偶對稱的，而相位響應(yīng)是奇對稱的。注重：僅當(dāng)穩(wěn)定系統(tǒng)才有頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)H(ejω)可按照DTFT與z變換之間的關(guān)系容易得到：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解結(jié)論：對于LTI系統(tǒng)，倘若輸入為正弦序列x(n)=cos(ω0t+φ0),則輸出響應(yīng)y(n)必為相同形式的正弦序列，但需在ω=ω0的幅頻響應(yīng)|H(ejω)|舉行加權(quán)，并通過相頻響應(yīng)在ω=ω0的值舉行移位，即：y[n]=|H(ejω0)|cos(ω0t+φ0+)例：假設(shè)實(shí)序列x[n]的DTFT記為,則其幅值是關(guān)于ω的（偶函數(shù)）。說明：還記得反復(fù)強(qiáng)調(diào)的一句話，實(shí)序列的DTFT的幅度、實(shí)部是關(guān)于頻率ω偶函數(shù)，而相位和虛部則是關(guān)于頻率ω奇函數(shù)。例：對于一LTI離散時光系統(tǒng)其頻率響應(yīng),倘若系統(tǒng)輸x(n)=,響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)y(n)=()。說明：將系統(tǒng)的頻率響應(yīng)寫成幅度相位表達(dá)式：，則輸出信號為：。這里因?yàn)榻o出了的詳細(xì)表達(dá)式，所以需要分離計算出和之值。4用系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性（重點(diǎn)）系統(tǒng)函數(shù)：（傳輸函數(shù)H(z)為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h（n）的Z變換。）1)穩(wěn)定系統(tǒng)：有界的輸入產(chǎn)生的輸出也有界的系統(tǒng)，即：若，則線性移不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1（銘記此結(jié)論!）2)因果系統(tǒng)：時刻的輸出只由時刻之前的輸入決定線性移不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：或：其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域在某圓外部：即：|z|>Rx（銘記此結(jié)論!）3）穩(wěn)定因果系統(tǒng)：同時滿意上述兩個條件的系統(tǒng)。線性移不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：，或：H(z)的極點(diǎn)在單位圓內(nèi)H(z)的收斂域滿意：（銘記此結(jié)論!）例：.一因果LTI離散時光系統(tǒng)的傳輸函數(shù),則系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為(0.5nu（n）)。說明：按照傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，其實(shí)就是將傳遞函數(shù)舉行逆z變換，但要注重系統(tǒng)的因果性如何。例：因果IIR離散時光LTI系統(tǒng)，其傳輸函數(shù)，則系統(tǒng)(穩(wěn)定)。例：一FIR離散時光LTI系統(tǒng)總是(穩(wěn)定)。說明：系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何判斷？按照教材中的說法，就是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的收斂域倘若包括“單位圓”，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。倘若你認(rèn)識了序列的z變換的ROC的性質(zhì)，則此題不難回答。對于因果系統(tǒng)來說，其單位沖激響應(yīng)為因果序列，故其z變換的ROC一定是某圓外部的囫圇區(qū)域。而這個圓就位于離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的極點(diǎn)上，所以，對于因果系統(tǒng)，倘若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)都位于單位圓以內(nèi)的話，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于FIR系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)是一個有限長序列，其z變換的ROC為除了無窮遠(yuǎn)和原點(diǎn)之外的囫圇z平面，天然包括單位圓，所以FIR系統(tǒng)一直是穩(wěn)定的。5系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)及極點(diǎn)決定（式中，zk是極點(diǎn)，zi是零點(diǎn)；在極點(diǎn)處，序列x(n)的Z變換是不收斂的，因此收斂區(qū)域內(nèi)不應(yīng)包括極點(diǎn)。）系統(tǒng)函數(shù)H（z）的極點(diǎn)位置主要影響頻響的峰值位置及尖銳程度，零點(diǎn)位置主要影響頻響的谷點(diǎn)位置及形狀。例：設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為，，用幾何法分析其幅頻特性。（重點(diǎn)）解：對差分方程兩邊取Z變換，得：系統(tǒng)函數(shù)為：，極點(diǎn)為，零點(diǎn)為，如下圖左所示：當(dāng)時，因?yàn)闃O點(diǎn)矢量長度最短，幅頻特性浮上峰值，隨著的增強(qiáng)，幅度逐漸減小，當(dāng)時，因?yàn)闃O點(diǎn)矢量長度最長，幅頻特性浮上谷值，隨著的增強(qiáng)，幅度逐漸增大，直到時，幅頻特性浮上峰值，如上圖右所示。簡答題：（重點(diǎn)）說明有限長序列、左邊序列、右邊序列、雙邊序列的概念和收斂域各是什么？說明系統(tǒng)頻率響應(yīng)的概念？系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)是什么關(guān)系？（單位圓上（）的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)）說明FIR系統(tǒng)為什么一直是穩(wěn)定的？怎樣在z域表示離散時光LTI系統(tǒng)?答案：傳輸函數(shù)H(z)表示離散時光LTI系統(tǒng)。

第三章：DFT是為適應(yīng)計算機(jī)分析傅里葉變換規(guī)定的一種專門運(yùn)算，本章是數(shù)字信號處理課程的重點(diǎn)章節(jié)。前言信號處理中會碰到幾種信號形式：（1）延續(xù)周期信號（2）延續(xù)非周期信號（3）離散非周期信號（4）離散周期信號(重點(diǎn))各種信號在時域和頻域之間總的來說都是傅里葉變換，但詳細(xì)形式及應(yīng)用是不同的。1．延續(xù)周期信號——傅里葉級數(shù)（FS）延續(xù)周期信號可展開成傅里葉級數(shù)：（*）式中，，為的周期。傅里葉級數(shù)的系數(shù)為：幅度頻譜是指各次諧波的振幅隨頻率的變化關(guān)系，即：2．延續(xù)非周期信號——傅里葉變換（FT）延續(xù)非周期信號的傅里葉變換為：因?yàn)榉侵芷诳梢暈椋瑒t離散頻譜間距，則變成的延續(xù)函數(shù)。3．離散非周期信號——序列的傅里葉變換（DTFT）倘若把序列看成延續(xù)時光信號的采樣，采樣間隔為，則數(shù)字頻率和模擬角頻率的關(guān)系為，且，代入上式，得：4．離散周期信號——離散傅里葉級數(shù)（DFS）設(shè)是周期為的周期序列，即：為隨意整數(shù)表3.1四種傅里葉變換形式的歸納普通邏輯：一個域的離散對應(yīng)另一個域的周期延拓，一個域的延續(xù)必然對應(yīng)另一個域的非周期。(重點(diǎn))3.1離散傅里葉級數(shù)1.周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）說明：離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。延續(xù)時光周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示，離散周期序列也可以表示成傅里葉級數(shù)形式。周期為N的復(fù)指數(shù)序列的基頻序列為k次諧波序列為因?yàn)?，即，因而，離散傅里葉級數(shù)的所有諧波成分中惟獨(dú)N個是自立的。因此在展開成離散傅里葉級數(shù)時，我們只能取N個自立的諧波分量，通常取k=0到(N-1)，即（*）式中，1/N是習(xí)慣上采用的常數(shù)，是k次諧波的系數(shù)。利用將（*）式兩端同乘以，并對一個周期求和即因?yàn)樗砸彩且粋€以N為周期的周期序列。因此，時域離散周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上依然是一個周期序列。稱為離散傅里葉級數(shù)系數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。令，則其中，符號DFS[.]表示離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS[.]表示離散傅里葉級數(shù)反變換。例：設(shè)，將以為周期舉行周期延拓，得到周期序列，求的DFS。解：其幅度特性為：2.周期序列的傅里葉變換思路：由利用和DTFT的頻移特性，可得傅里葉變換時域、頻域?qū)?yīng)關(guān)系：按照序列的傅里葉變換和離散傅里葉級數(shù)頻域特性，再結(jié)合延續(xù)時光信號的傅里葉變換頻域特性，我們可以得出傅里葉變換時、頻域的普通對應(yīng)關(guān)系：延續(xù)→非周期，離散→周期。這種對應(yīng)關(guān)系很重要，要求熟記(重點(diǎn))。3.2有限長序列的離散傅立葉變換(DFT)說明：(DiscreteFourierTransform，DFT離散傅里葉變換)1定義(重點(diǎn))，0≤≤（記住!!），0≤n≤記住!其中，應(yīng)該注重，固然和都是長度為得有限長序列，但他們分離是由周期序列和截取其主周期得到的，周期為的周期序列可以看成長度為的有限長序列周期延拓的結(jié)果。本質(zhì)上是做DFS或IDFS，所以不能忘懷它們的隱含周期性。尤其是涉及其位移特性時更要注重。(重點(diǎn))DFT的隱含周期性：(重點(diǎn))例：設(shè)，求的4點(diǎn)DFT。(重點(diǎn))解：的4點(diǎn)離散傅里葉變換為：以為周期將延拓成周期序列，得：其離散傅里葉級數(shù)為：例：設(shè)，求的8點(diǎn)DFT。(重點(diǎn))解：的8點(diǎn)離散傅里葉變換為：以為周期將延拓成周期序列，得：其離散傅里葉級數(shù)為：由例可見，離散傅里葉變換的結(jié)果與變換區(qū)間長度的取值有關(guān)。2離散傅立葉變換與DTFT、Z變換的關(guān)系(重點(diǎn))DFT的物理意義：X（k）為x(n)的傅里葉變換在區(qū)間上的等間隔采樣。為在Z平面單位圓上的點(diǎn)等間隔采樣。3時域分析記住結(jié)論：時域抽樣對應(yīng)頻域的周期拓展，頻率抽樣對應(yīng)時域的以周期N的周期拓展。這可以表述為如下公式：3.3離散傅里葉變換的基本性質(zhì)1線性性質(zhì)若則2循環(huán)移位性質(zhì)設(shè)是長度為的有限長序列，則的點(diǎn)循環(huán)移位定義為（）：循環(huán)移位的實(shí)現(xiàn)步驟：3循環(huán)卷積定理（重點(diǎn)）1）設(shè)序列h(n)和x(n)的長度分離為N和M。h(n)與x(n)的L點(diǎn)循環(huán)卷積定義為式中，L稱為循環(huán)卷積區(qū)間長度，L≥max［N，M］。2)循環(huán)卷積矩陣特點(diǎn)：（1）第1行是序列{x(0),x(1),…,x(L－1)}的循環(huán)倒相序列。注重，倘若x(n)的長度M<L，則需要在x(n)末尾補(bǔ)L－M個零后，再形成第一行的循環(huán)倒相序列。（2）第1行以后的各行均是前一行向右循環(huán)移1位形成的。（3）矩陣的各主對角線上的序列值均相等。循環(huán)卷積和線性卷積的區(qū)別線性卷積：翻折—>乘加—>移位：y（n）=x（n）*h（n）=∑h（k）x（n-k）循環(huán)卷積：補(bǔ)零—>周期延拓—>翻折—>循環(huán)移位—>對應(yīng)值相加例：計算下面給出的兩個長度為4的序列h(n)與x(n)的4點(diǎn)和8點(diǎn)循環(huán)卷積。（重點(diǎn)）解：按照循環(huán)卷積矩陣寫出h(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為h(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積矩陣形式為【補(bǔ)充】①計算h(n)與x(n)的線性卷積？②哪一種情況下計算的循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積？【說明】當(dāng)循環(huán)卷積區(qū)間長度L大于等于y(n)=h(n)*x(n)的長度時，循環(huán)卷積結(jié)果就等于線性卷積。假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長序列，長度分離是N和M。循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是L≥N＋M－1。（重點(diǎn)）3）時域循環(huán)卷積定理設(shè)h(n)和x(n)的長度分離為N和M，其L點(diǎn)循環(huán)卷積為eq\o\ac(○,L)且則由DFT的循環(huán)卷積定理有4復(fù)共軛序列的DFT性質(zhì)：設(shè)是x(n)的復(fù)共軛序列，長度為N，，則例：給定一16-點(diǎn)實(shí)序列x（n）,其16-點(diǎn)DFT記為X(k),已知X(13)=2+j3,則X*(3)=(2+j3)。說明：DFT的性質(zhì)。實(shí)序列的DFT的共軛對稱性：X(k)＝X*(N-k)，或X(N-k)＝X*(k)。5DFT的共軛對稱性（重點(diǎn)）可總結(jié)出DFT的共軛對稱性質(zhì)：倘若序列x(n)的DFT為X(k)，則x(n)的實(shí)部和虛部（包括j）的DFT分離為X(k)的共軛對稱分量和共軛反駁稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反駁稱分量的DFT分離為X(k)的實(shí)部和虛部乘以j。3.4頻域采樣定理離散傅里葉變換相當(dāng)于信號傅里葉變換的等間隔采樣，也就是說實(shí)現(xiàn)了頻域的采樣，便于計算機(jī)計算。那么是否任一序列都能用頻域采樣的主意去逼近呢？這是一個很吸引人的問題。我們考慮一個隨意的絕對可和的序列x(n)，它的z變換為倘若對X(z)單位圓上舉行等距離采樣現(xiàn)在要問，這樣采樣以后，信息有沒有損失？或者說，采樣后所獲得的有限長序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。為了弄清這個問題，我們從周期序列開始因?yàn)樗砸布词窃侵芷谛蛄衳(n)的周期延拓序列，其時域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N。在第一章我們看到，時域的采樣造成頻域的周期延拓，這里又對稱的看到，頻域采樣同樣造成時域的周期延拓。因此，倘若序列x(n)不是有限長的，則時域周期延拓時，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會產(chǎn)生誤差。對于長度為M的有限長序列，惟獨(dú)當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N大于或等于序列長度M時，才有即可由頻域采樣值X(k)恢復(fù)出原序列x(n)，否則產(chǎn)生時域混疊現(xiàn)象，這就是所謂的頻域采樣定理。（重點(diǎn)）內(nèi)插公式：3.5DFT的應(yīng)用舉例1.用DFT計算線性卷積(重點(diǎn))用循環(huán)（周期）卷積計算有限長序列的線性卷積(重點(diǎn))對周期要求：（N1、N2分離為兩個序列的長度）(記住!!)2.用DFT舉行譜分析的誤差問題(重點(diǎn))（1）混疊現(xiàn)象利用DFT逼近延續(xù)時光信號的傅里葉變換，為避免混疊失真，按照抽樣定理的要求，采樣頻率至少是信號最高頻率的兩倍。解決混疊問題的唯一主意是保證采樣頻率充足高。（2）截斷效應(yīng)任何帶限信號都是非時限的，任何時限信號都是非帶限的。實(shí)際問題中碰到的離散時光序列可能是非時限的、無限長序列，在對該序列利用DFT舉行處理時，因?yàn)樽鱀FT的點(diǎn)數(shù)總是有限的，因此就有一個必須將該序列截斷的問題。序列截斷的過程相當(dāng)于給該序列乘上一個矩形窗口函數(shù)RN(n)。倘若本來序列的頻譜為，矩形窗函數(shù)的頻譜為，則截斷后有限長序列的頻譜為截斷后序列的頻譜與原序列頻譜必然有差別，這種差別對譜分析的影響主要表現(xiàn)在如下兩個方面：①頻譜泄露：因?yàn)榫匦未昂瘮?shù)頻譜的引入，使卷積后的頻譜被展寬了，即的頻譜“泄露”到其它頻率處，稱為頻譜泄露。在舉行DFT時，因?yàn)槿o限個數(shù)據(jù)是不可能的，所以序列的時域截斷是必然的，泄露是難以避免的。為了盡量減少泄露的影響，截斷時要按照詳細(xì)的情況，挑選適當(dāng)形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。②譜間干擾。在主譜線兩邊形成無數(shù)旁瓣，引起不同頻率分量間的干擾(簡稱譜間干擾)，異常是強(qiáng)信號譜的旁瓣可能湮沒弱信號的主譜線，或者把強(qiáng)信號譜的旁瓣誤認(rèn)為是另一頻率的信號的譜線，從而造成假信號，這樣就會使譜分析產(chǎn)生較大偏差。（3）柵欄效應(yīng)因?yàn)镈FT是有限長序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當(dāng)于透過一個柵欄去看見本來信號的頻譜，因此必然有一些地方被柵欄所遮蔽，這些被遮蔽的部分就是未被采樣到的部分，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。因?yàn)闁艡谛?yīng)總是存在的，因而可能會使信號頻率中某些較大的頻率分量因?yàn)楸弧罢诒巍倍鵁o法得到反映。此時，通常在有限長序列的尾部增補(bǔ)若干個零值，借以改變原序列的長度。這樣對加長的序列作DFT時，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)增強(qiáng)就相當(dāng)于調(diào)節(jié)了本來柵欄的間隙，可以使本來得不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點(diǎn)上而得到反映。產(chǎn)生緣故說明：由傅里葉變換理論知道，若信號持續(xù)時光有限長，則其頻譜無限寬；若信號的頻譜有限寬，則其持續(xù)時光必然為無限長。(重點(diǎn))倘若用DFT分析延續(xù)信號的頻譜，在對延續(xù)信號采樣時，無法滿意采樣定理，那么就會浮上頻譜混疊現(xiàn)象。解決混疊問題的唯一主意是保證采樣頻率充足高。當(dāng)延續(xù)信號無限長或很長時，在對延續(xù)信號采樣時，采樣點(diǎn)數(shù)太多以致無法存儲和計算，需要將信號截斷，這樣將導(dǎo)致頻譜的泄漏現(xiàn)象。為了盡量減少泄露的影響，截斷時要按照詳細(xì)的情況，挑選適當(dāng)形狀的窗函數(shù)，如漢寧窗或漢明窗等。用DFT計算延續(xù)信號的頻譜只能得到采樣點(diǎn)上的頻譜，而不能看到囫圇頻譜，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。可以通過增強(qiáng)點(diǎn)數(shù)，因?yàn)辄c(diǎn)數(shù)增強(qiáng)就相當(dāng)于調(diào)節(jié)了本來柵欄的間隙，可以使本來得不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點(diǎn)上而得到反映。3.用DFT舉行譜分析的參數(shù)挑選問題(重點(diǎn))對模擬信號頻譜的采樣間隔，稱之為頻率分辨率。（1）在已知信號的最高頻率fc(即譜分析范圍)時，為了避免頻率混疊現(xiàn)象，要求采樣頻率Fs滿意：Fs>2fc。（2）采樣頻率Fs，采樣點(diǎn)數(shù)N，譜分辨率F=Fs/N，倘若保持采樣點(diǎn)數(shù)N不變，要提高頻譜分辨率(減小F)，就必須降低采樣頻率，采樣頻率的降低會引起譜分析范圍變窄和頻譜混疊失真。如維持Fs不變，為提高頻率分辨率可以增強(qiáng)采樣點(diǎn)數(shù)N。因?yàn)镹T=Tp，T=Fs-1，惟獨(dú)增強(qiáng)對信號的看見時光Tp，才干增強(qiáng)N。（3）采樣點(diǎn)數(shù)N>2fc/F（4）最小記錄時光Tp≥1/F例：用DFT對實(shí)信號舉行譜分析，要求頻率分辨率，信號最高頻率為，試決定以下參數(shù)：（1）最小記錄時光；（2）最大取樣間隔；（3）最少采樣點(diǎn)數(shù)；（4）若要求頻率分辨率提高一倍，求最少采樣點(diǎn)數(shù)。（重點(diǎn)）解（1）（2）（3）（4）簡答題：（重點(diǎn)）一個序列的DFT與序列的傅里葉變換之間的關(guān)系是什么？序列的DTFT和序列的z變換間的關(guān)系是什么？序列的DFT和序列的Z變換間的關(guān)系是什么？有限長序列的長度為M，對其舉行頻域采樣，不失真的條件是什么？兩個有限長序列，，對它們舉行線性卷積，結(jié)果用表示，的長度是多少？倘若舉行循環(huán)卷積，那么什么時候線性卷積和循環(huán)卷積的結(jié)果相等？用DFT舉行譜分析帶來哪些誤差問題？采取什么措施可以減少這些誤差？時域采樣定理的要點(diǎn)是什么？頻域采樣定理的要點(diǎn)是什么？

第四章：迅速傅里葉變換并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種迅速算法。4.1直接計算DFT的問題及改進(jìn)的途徑直接計算DFT，需要次復(fù)數(shù)乘法，次復(fù)數(shù)加法。直接計算離散傅里葉變換，因?yàn)橛嬎懔拷普扔贜2，顯然對于很大的N值，直接計算離散傅里葉變換要求的算術(shù)運(yùn)算量異常大。(重點(diǎn))我們可以利用系數(shù)WNnk的特性來改善離散傅里葉變換的計算效率。（1）的對稱性（2）的周期性利用的對稱性和周期性，將大點(diǎn)數(shù)的DFT分解成若干個小點(diǎn)數(shù)的DFT，F(xiàn)FT正是基于這個基本思路發(fā)展起來的。(重點(diǎn))說明：迅速傅里葉變換FFT(FastFourierTransform)分類：按時光抽取（DIT）算法和按頻率抽?。―IF）算法?；?FFT的算法原理和FFT運(yùn)算特點(diǎn)1）數(shù)據(jù)要求：2）計算效率（乘法運(yùn)算次數(shù)：，加法計算次數(shù)：NM）（復(fù)數(shù)運(yùn)算）（DFT運(yùn)算：乘法運(yùn)算次數(shù)：，加法計算次數(shù)：）（復(fù)數(shù)運(yùn)算）對于算法原理，要求能夠看懂分解流圖。1時域抽取法如下：（DecimationInTime,DIT–FFT）設(shè)序列x(n)長度為N，且滿意N=2M，M為正整數(shù)。按n的奇偶把x(n)分解為兩個N/2點(diǎn)的子序列：則x(n)的DFT為所以將X(k)又可以寫為上式將N點(diǎn)DFT分解為兩個N/2點(diǎn)的DFT運(yùn)算，運(yùn)算過程如下圖示利用蝶形運(yùn)算求解。運(yùn)算量：由按時光抽取的FFT流圖可見：每級都由個蝶形單元構(gòu)成，因此每級都需要次復(fù)數(shù)乘法和次復(fù)數(shù)加法。這樣，級運(yùn)算共需要：復(fù)數(shù)乘法：復(fù)數(shù)加法：而直接計算DFT需要：復(fù)數(shù)乘法：復(fù)數(shù)加法：以乘法為例，對FFT算法與直接DFT算法的運(yùn)算量舉行比較：864125.41281638444836.6102410485765120204.8可以看出：當(dāng)越大時，F(xiàn)FT算法的優(yōu)越性越突出。DIT-FFT算法與DFT運(yùn)算量的比較直接計算DFT與FFT算法的計算量之比為N越大，F(xiàn)FT的優(yōu)點(diǎn)越為顯然說明：控制給定點(diǎn)數(shù)的基2DIT-FFT蝶形圖8點(diǎn)DFT的殘破FFT流圖：2頻域抽樣法（DecimationInFrequency,DIF–FFT）將長度為N=2M的序列x(n)前后對半分開,其N點(diǎn)DFT可表示為按k的奇偶可將X(k)分為兩部分k取偶數(shù)時k取奇數(shù)時令得到注：DIT—FFT與DIF—FFT特點(diǎn)比較(重點(diǎn))相同之處：（1）DIF與DIT兩種算法均為原位運(yùn)算（2）DIF與DIT運(yùn)算量相同所以，DIF與DIT是兩種等價的FFT算法。不同之處：（1）DIF與DIT兩種算法結(jié)構(gòu)倒過來DIF的輸入序列為天然順序，輸出為倒序羅列，與DIT的正巧相反。（2）蝶形結(jié)構(gòu)不同DIF的復(fù)數(shù)乘法只浮上在減法之后，DIT則是先作復(fù)數(shù)乘法后作加減法。簡答題：(重點(diǎn))比較DIT—FFT與DIF—FFT特點(diǎn)。為什么要舉行FFT變換？FFT變換的基本思想是什么？說明基-2FFT分成哪兩種算法。說出它們的英文名稱和中文含義。(DFT的計算在數(shù)字信號處理中異常實(shí)用，但是因?yàn)镈FT的計算量較大，即使采用計算機(jī)也很難對問題舉行實(shí)時處理，通過引入其迅速算法FFT，使DFT的計算大大簡化，運(yùn)算時光普通可縮短一、二個數(shù)量級?；舅悸罚篋FT的運(yùn)算量與成正比；倘若一個大點(diǎn)數(shù)的DFT能分解為若干小點(diǎn)數(shù)DFT的組合，則顯然可以達(dá)到減小運(yùn)算量的效果。按照把長序列分解為短序列的分解形式不同，基-2FFT算法基本上可以分為兩大類：按時光抽取法—decimationintime,DIT；按頻率抽取法——decimationinfrequency,DIF))

第五章：本章主要控制IIR和FIR兩種濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。5.1基本單元結(jié)構(gòu)一個數(shù)字網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程表示，也可以用單位脈沖響應(yīng)來表示，也可以用系統(tǒng)函數(shù)來表示。但是對于研究這個系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)主意，即它的運(yùn)算結(jié)構(gòu)來說，用方框圖或信號流圖最直接。對于延時、乘以系數(shù)以及相加這三種基本運(yùn)算來說，方框圖和信號流圖表示法如下圖所示。以二階數(shù)字濾波器y(n)=b1y(n-1)+b2y(n-2)+ax(n)為例，它的方框圖和信號流圖如下圖所示。普通來說，用方框圖表示數(shù)字濾波器，結(jié)構(gòu)顯然、直觀；而用信號流圖來表示，則容易、方便。利用圖論中的轉(zhuǎn)置定理，可以把一個信號流圖轉(zhuǎn)化為另一個等價的信號流圖。轉(zhuǎn)置定理倘若將流圖中所有支路方向都顛倒或反向，并交換輸入x(n)和輸出y(n)，則其特性保持不變，新流圖是原流圖的轉(zhuǎn)置形式。例如，上圖中流圖的轉(zhuǎn)置形式如下圖(a)所示，但通常的習(xí)慣是將輸入x(n)畫在流圖的左邊，而輸出畫在流圖的右邊，這樣得到圖(b)所示的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)。5.2無限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)IIR（InfiniteImpulseResponse無限長脈沖響應(yīng)）濾波器具有以下特點(diǎn)（重點(diǎn)）：單位脈沖響應(yīng)h(n)無限長；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（0<|z|<∞）上有極點(diǎn)存在；結(jié)構(gòu)上存在從輸出到輸入的反饋，即結(jié)構(gòu)是遞歸型的。1.直接型對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：直接型包括直接Ⅰ型和直接Ⅱ型，書本講授的為直接Ⅱ型。直接Ⅱ型的推導(dǎo)，利用到線性移不變系統(tǒng)，交換級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。對于直接Ⅱ型，要求能夠直接由差分方程或系統(tǒng)函數(shù)繪出相應(yīng)的信號流圖，反之亦然。特點(diǎn)：便于理解，累積誤差大，運(yùn)算速度相對慢。（重點(diǎn)）2．級聯(lián)型對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：把濾波器用若干二階子網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)起來構(gòu)成，每個二階子網(wǎng)絡(luò)采用直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)。特點(diǎn)：級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個零點(diǎn)、一個極點(diǎn)，每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對零點(diǎn)、一對極點(diǎn)。相對直接型結(jié)構(gòu)，其優(yōu)點(diǎn)是調(diào)節(jié)方便，此外，運(yùn)算累積誤差較直接型小。（重點(diǎn)）3．并聯(lián)型對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為：特點(diǎn)：每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個實(shí)數(shù)極點(diǎn)，每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對共軛極點(diǎn)，調(diào)節(jié)極點(diǎn)位置方便，但調(diào)節(jié)零點(diǎn)位置不如級聯(lián)型方便。運(yùn)算誤差不堆積。運(yùn)算速度最高。（重點(diǎn)）例：已知IIRDF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。解：先將化為的有理式直接I型：直接II型：例：已知IIRDF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出級聯(lián)型和并聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖。解：級聯(lián)型并聯(lián)型：5.3有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)FIR（FiniteImpulseResponse有限長脈沖響應(yīng)）濾波器具有以下特點(diǎn)（重點(diǎn)）：單位脈沖響應(yīng)h(n)有限長；系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，對因果系統(tǒng)而言，極點(diǎn)所有位于z=0處；結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反饋。FIR濾波器有以下幾種基本結(jié)構(gòu)：直接型；級聯(lián)型。1．直接型特點(diǎn)：直觀明了，便于理解，但不便于調(diào)節(jié)參數(shù)。（重點(diǎn)）2．級聯(lián)型將H（z）因式分解得到特點(diǎn)：每一個一階因子控制一個零點(diǎn)，每一個二階因子控制一對共軛極點(diǎn)，調(diào)節(jié)零點(diǎn)位置比直接型方便，但H（z）中的系數(shù)比直接型多（近似3/2N），因而需要的乘法器多。（重點(diǎn)）例：已知FIRDF的系統(tǒng)函數(shù)為畫出直接型和級聯(lián)型的結(jié)構(gòu)流圖。（重點(diǎn)）解：直接型：級聯(lián)型：簡答題：（重點(diǎn)）IIR和FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)形式有哪些？各自有什么特點(diǎn)?IIR和FIR濾波器的基本特點(diǎn)是什么？名詞解釋：（重點(diǎn)）IIR濾波器FIR濾波器

第六章：本章講授了設(shè)計IIR濾波器常用的兩種設(shè)計主意——脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。6.1引言1.數(shù)字濾波器的分類（1）IIR和FIR數(shù)字濾波器（重點(diǎn)）這是按照濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)的長度是否有限來劃分的。若h(n)是一個長度為M+1的有限長序列，通常將此時的系統(tǒng)稱為有限長單位脈沖響應(yīng)（FIR，F(xiàn)initeImpulseResponse）系統(tǒng)。倘若系統(tǒng)函數(shù)的分母中除a0外，還有其它的ak不為零，則相應(yīng)的h(n)將是無限長序列，稱這種系統(tǒng)為無限長單位脈沖響應(yīng)（IIR，InfiniteImpulseResponse）系統(tǒng)。（2）低通、高通、帶通、帶阻濾波器注重：數(shù)字濾波器（DF）與模擬濾波器（AF）的區(qū)別數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)都是以2π為周期的，濾波器的低通頻帶處于2π的整數(shù)倍處，而高頻頻帶處于π的奇數(shù)倍附近。2.設(shè)計指標(biāo)描述濾波器的指標(biāo)通常在頻域給出。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)普通為復(fù)函數(shù)，通常表示為其中，稱為幅頻響應(yīng)，稱為相頻響應(yīng)。對IIR數(shù)字濾波器，通常用幅頻響應(yīng)來描述設(shè)計指標(biāo)，而對于線性相位特性的濾波器，普通用FIR濾波器設(shè)計實(shí)現(xiàn)。IIR低通濾波器指標(biāo)描述：——通帶截止頻率，——阻帶截止頻率，——通帶最大衰減，——阻帶最小衰減，——3dB通帶截止頻率3.設(shè)計主意（重點(diǎn)）三步：（1）按如實(shí)際需要決定濾波器的性能要求。（2）用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個性能要求。（3）用一個有限精度的算法去實(shí)現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。IIR濾波器常借助模擬濾波器理論來設(shè)計數(shù)字濾波器，（重點(diǎn)）設(shè)計步驟為：先按照所給的濾波器性能指標(biāo)設(shè)計出相應(yīng)的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)(butterworth濾波器設(shè)計法等，有封閉公式利用)，然后由Ha(s)經(jīng)變換（脈沖響應(yīng)不變法或者雙線性變換法等）得到所需的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。在變換中，普通要求所得到的數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)應(yīng)保留原模擬濾波器頻率響應(yīng)的主要特性。為此要求：（重點(diǎn)）（1）因果穩(wěn)定的模擬濾波器必須變成因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器；（2）數(shù)字濾波器的頻響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響。6.2脈沖響應(yīng)不變法、雙線性不變法設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器可以按照技術(shù)要求先設(shè)計一個模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)，再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。其設(shè)計流程如圖所示6.1所示。利用模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果來求相應(yīng)的數(shù)字濾波器，可以用映射的主意來實(shí)現(xiàn)，把s平面映射到z平面。這種由復(fù)變量s到復(fù)變量z之間的映射關(guān)系，必須滿意三點(diǎn)要求：圖6.1從模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器流程圖因果穩(wěn)定的映射成因果穩(wěn)定的，即s平面的左半平面必須映射到z平面單位圓的內(nèi)部。（重點(diǎn)）的頻率響應(yīng)能模仿的頻率響應(yīng)，即s平面的虛軸必須映射到z平面的單位圓上。變換前后的濾波器在時域或頻域的主要特征(頻率響應(yīng)或單位沖激響應(yīng)等)應(yīng)盡可能相同或臨近。將傳輸函數(shù)從s平面轉(zhuǎn)換到z平面的主意有多種，主要有沖激不變法和雙線性變換法。1脈沖響應(yīng)不變法設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，相應(yīng)的單位沖擊響應(yīng)是，。LT[.]代表拉氏變換，對舉行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到，將h(n)=作為數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)，那么數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)便是的變換。因此脈沖響應(yīng)不變法是一種時域逼近主意，它使在采樣點(diǎn)上等于。但是，模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果是，所以下面基于脈沖響應(yīng)不變法的思想，導(dǎo)出直接從到的轉(zhuǎn)換公式。設(shè)模擬濾波器惟獨(dú)單階極點(diǎn)，且分母多項式的階次高于多項式的階次，將用部分分式表示：式中為的單階極點(diǎn)。將舉行逆拉氏變換，得到：式中，是單位階躍函數(shù)。對舉行等間隔采樣，采樣間隔為，得到：對上式舉行變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即因?yàn)闆_激響應(yīng)不變法（又稱標(biāo)準(zhǔn)z變換法）從s平面→z平面是通過的多值映射，并不是一種容易的一一對應(yīng)的代數(shù)映射關(guān)系。脈沖響應(yīng)不變法所得到的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，不是容易的重臨模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而是模擬濾波器頻率頻率響應(yīng)的周期延拓。所以希翼所設(shè)計的濾波器是帶限的，否則頻率混疊現(xiàn)象會使設(shè)計出的數(shù)字濾波器在附近的頻率特性嚴(yán)重的偏離模擬濾波器在處的頻率特性，嚴(yán)重時使數(shù)字濾波器的指標(biāo)得不到滿意。特點(diǎn)（重點(diǎn)）優(yōu)點(diǎn)：1.頻率變換關(guān)系是線性的，即，倘若不存在頻譜混疊現(xiàn)象，用這種主意設(shè)計的數(shù)字濾波器會很好地重臨原模擬濾波器的頻響特性。2.數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)徹低模仿模擬濾波器的單位沖擊響應(yīng)波形，時域特性逼近好。缺點(diǎn)：會產(chǎn)生不同程度的頻譜混疊失真，其相宜用于帶限濾波器（低通、帶通濾波器）的設(shè)計，不相宜用于高通、帶阻濾波器的設(shè)計。2雙線性變換法(這種映射法能保證使s平面與z平面建立單值對應(yīng)，從而消除混疊現(xiàn)象)將雙線性變換帶入，得s平面的與z平面的成非線性正切關(guān)系。正是因?yàn)槿绱?，雙線性變換法消除了頻率混疊現(xiàn)象。但與此同時也直接影響數(shù)字濾波器頻響逼真的模仿模擬濾波器的頻響。這種頻率之間的非線性變換關(guān)系帶來了以下兩個問題：(1)一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器；(2)倘若模擬濾波器的頻響具有片斷常數(shù)特性，則轉(zhuǎn)換到z平面上，數(shù)字濾波器仍具有片斷常數(shù)特性，但特性轉(zhuǎn)折點(diǎn)頻率值與模擬濾波器特性轉(zhuǎn)折點(diǎn)頻率值成非線性關(guān)系。這種頻率的畸變，可通過對頻率舉行預(yù)修正來予以校正。特點(diǎn)（重點(diǎn)）優(yōu)點(diǎn)：1.不產(chǎn)生頻域混疊現(xiàn)象2.雙線性變換法可由容易的代數(shù)公式將直接轉(zhuǎn)換成。缺點(diǎn)：與之間的非線性關(guān)系是雙線性變換法的缺點(diǎn)，是數(shù)字濾波器頻響曲線不能保真地模仿模擬濾波器的頻響曲線形狀。只相宜片段常數(shù)特性的濾波器設(shè)計。例：已知模擬濾波器傳輸函數(shù)為，設(shè)，用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。解：用脈沖響應(yīng)不變法（令）將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。。用雙線性變換法將轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)。6.3設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的頻率變換法前面只推薦了IIR低通數(shù)字濾波器的設(shè)計主意，但是在工程上常常要設(shè)計各種截止頻率的低通、高通、帶通和帶阻數(shù)字濾波器，這些數(shù)字濾波器的設(shè)計主意通常是在設(shè)計一個低通濾波器的基礎(chǔ)上采用頻率變換法把低通濾波器轉(zhuǎn)換成所要求的濾波器。因?yàn)閿?shù)字濾波器設(shè)計都是從低通濾波器開始的，所以其他類型濾波器的設(shè)計都要把給定的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器指標(biāo)舉行設(shè)計，然后再轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標(biāo)。這種轉(zhuǎn)換主意可以在模擬域舉行，也可以在數(shù)字域完成。用兩種變換主意舉行各種頻率范圍的數(shù)字濾波器的設(shè)計過程可表示如下：(a)模擬頻率變換法設(shè)計流程(b)數(shù)字頻率變換法設(shè)計流程圖6.2頻率變換法設(shè)計數(shù)字濾波器流程上面兩種主意中模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)可按照所設(shè)計的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換獲得。也可給定一組相應(yīng)指標(biāo)舉行設(shè)計，然后以此濾波器為基礎(chǔ)舉行各種變換。設(shè)計好的濾波器必須求其頻率特性，舉行指標(biāo)驗(yàn)證。倘若不滿意給定數(shù)字濾波器指標(biāo)，則需要修改模擬指標(biāo)重新設(shè)計。簡答題：（重點(diǎn)）分析采用雙線性變換法將該模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器的頻率特性相對原模擬濾波器頻率特性是否有失真，為什么？是否可以用脈沖響應(yīng)不變法或雙線性變換法把模擬帶阻濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器，為什么？（答案：可以用雙線性變換法把模擬帶阻濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器，但不能用脈沖響應(yīng)不變法把模擬帶阻濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器。因?yàn)槊}沖響應(yīng)不變法中從s平面到z平面的映射是多值映射，將模擬帶阻濾波器變成數(shù)字帶阻濾波器會存在頻率響應(yīng)的混疊失真，而雙線性變換法從中從s平面到z平面的映射是一一對應(yīng)的，不存在頻率響應(yīng)的混疊失真。）說明脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)和適應(yīng)范圍？說明IIR數(shù)字濾波器間接設(shè)計法（由模擬濾波器到數(shù)字濾波器）的基本思想和設(shè)計要求。名詞解釋：（重點(diǎn)）IIR數(shù)字濾波器間接設(shè)計法雙線性變換法

（雙線性變換法是為克服脈沖響應(yīng)不變法頻率混疊現(xiàn)象提出的，其思想是將