旋轉(zhuǎn)模型(初中數(shù)學(xué)典型模型六)

幾何模型六：旋轉(zhuǎn)模型引例：如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AP＝6，BP＝8，CP＝10；若將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得△AP'B；

求：AP'＝

，∠APB＝

度．解：連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝∠CAB＝60°，AP＝AP′，∴△APP′為等邊三角形，∴AP′＝AP＝6；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BP′＝PC＝10，在△BPP′中，PP′＝6，BP＝8，由勾股定理的逆定理得，△BPP′是直角三角形，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．一、等線段共點(diǎn)類(lèi)型例1.已知：如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝113°，∠APC＝123°，試說(shuō)明：以AP、BP、CP為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，并確定所構(gòu)成三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．解：將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AQB，則△AQB≌△APC∴BQ＝CP，AQ＝AP，∵∠1+∠3＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴QP＝AP，∴△QBP就是以AP，BP，CP三邊為邊的三角形，∵∠APB＝113°，∴∠6＝∠APB﹣∠5＝53°，∵∠AQB＝∠APC＝123°，∴∠7＝∠AQB﹣∠4＝63°，∴∠QBP＝180°﹣∠6﹣∠7＝64°，∴以AP，BP，CP為邊的三角形的三內(nèi)角的度數(shù)分別為64°，63°，53°．典型例題例2.如圖，P是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)．若PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度數(shù)．

解：如圖，將△ABP繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，使AB與BC重合；則∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝2，P′C＝PA＝1；由勾股定理得：PP′2＝22+22＝8；∵P′C2＝12＝1，PC2＝32＝9，∴PC2＝PP′2+P′C2，∴∠PP′C＝90°；而∠BP′P＝45°，∴∠BP′C＝135°，∴∠APB＝∠BP′C＝135°．典型例題變式1.如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AP＝6，BP＝8，CP＝10；若將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得△AP'B；（1）AP'＝

，PP'＝

，（2）求∠APB的度數(shù)（3）求S△APB、S△APC和S△BPC（4）求四邊形APBP'的面積（5）求AB2的值變式練習(xí)變式2.

如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)（1）若PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB（2）若PA＝1，PB＝2，PC＝3，求S△ABP和S△BPC（3）若PA＝1，PB＝2，PC＝3，求正方形的面積變式練習(xí)變式3.（1）如圖1，AB＝BC，當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，將△PAB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（2）在（1）中，若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大?。?）如圖2，∠ABC＝60°，AB＝BC，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求△APC面積.（4）如圖3，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA＝

，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面積．變式練習(xí)變式練習(xí)二、半角模型中旋轉(zhuǎn)例3.（1）正方形ABCD中，P、Q分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且∠PAQ＝45°，證明：DQ+BP＝PQ；（2）在（1）題中，連接BD分別交AP、AQ于點(diǎn)M、N，求BM、MN、ND的數(shù)量關(guān)系．證明：將△ADQ繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則AD與AB重合，得到△ABE，如圖2，則∠D＝∠ABE＝90°，∵∠ABP＝90°，∴∠ABE+∠ABP＝180°∴點(diǎn)E、B、P共線，由旋轉(zhuǎn)知，∠EAQ＝∠BAD＝90°，AE＝AQ，BE＝DQ，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAE＝45°，∴∠PAQ＝∠PAE，在△APE和△APQ中∴△APE≌△APQ（SAS），∴PE＝PQ，而PE＝PB+BE＝PB+DQ，∴DQ+BP＝PQ，例3.（2）在（1）題中，連接BD分別交AP、AQ于點(diǎn)M、N，求BM、MN、ND的數(shù)量關(guān)系．解：BM2+DN2＝MN2理由：如圖3，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，如圖3，將△ADN繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則AD與AB重合，得到△ABK，連接KM，則∠ABK＝∠ADN＝45°，BK＝DN，AK＝AN，同（1）的方法得，△AMN≌△AMK，得到MN＝MK，∵∠MBA+∠KBA＝45°+45°＝90°，∴△BMK為直角三角形，∴BK2+BM2＝MK2，∴BM2+DN2＝MN2．典型例題變式1.在正方形ABCD中，P為AB上的點(diǎn)，Q為AD上的點(diǎn)（1）若∠QCP＝45°，求證BP+DQ＝PQ（2）若∠QCP＝45，DQ＝3，BP＝2，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．（3）若∠QCP＝45°，若AB=8,PQ=7,求△PQA的面積（4）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，且△APQ的周長(zhǎng)為2．求∠PCQ的度數(shù)．（5）連接BD，線段BD交CQ為M，交CP為N，求證：MN2＝MD2+NB2變式2.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD；變式練習(xí)變式3.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD．求證：EF＝BE+FD；變式練習(xí)變式3.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且2∠EAF＝∠BAD．證明：EF＝BE﹣FD變式練習(xí)變式4.在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC，DM≠DN，證明：MN＝BM+NC．變式練習(xí)三、手拉手模型中的旋轉(zhuǎn)例4.如圖，在凸四邊形ABCD中，∠BCD＝30°，∠DAB＝60°，AD＝AB．求證：AC2＝CD2+BC2．證明：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC于點(diǎn)C，且使得CE＝CD．∵∠BAD+∠BCD＝90°，∠BCD＝30°∴∠DCE＝60°，∴△CDE是等邊三角形，∴DE＝CD，∠EDC＝60°，∵AB＝AD，∠DAB＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD，∠ADB＝60°，在△ADC和△BDE中，∴△ADC≌△BDE（SAS），∴AC＝BE，∵∠BCE＝90°，∴BE2＝BC2+CE2，即AC2＝BC2+CD2．變式1.四邊形ABCD被對(duì)角線BD分為等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一條對(duì)角線AC的長(zhǎng)度為2，求四邊形ABCD的面積．解：將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°，使B與D重合，C到C′點(diǎn)，則有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，所以C、D、C′在同一直線上，又因?yàn)锳C＝AC′，所以△ACC′是等腰直角三角形，在△ABC和△ADC′中

∴△ABC≌△ADC′（SAS），∴四邊形ABCD的面積等于等腰直角三角形ACC′的面積，所以S四邊形ABCD＝S△ACC′＝2變式練習(xí)例5.△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．解：∵將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△EDC，∴△APC≌△EDC，∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝5，∠PCD＝60°，∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°．在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝6，CE＝5，，四、費(fèi)馬點(diǎn)例6.如圖，直角坐標(biāo)系中有菱形ABCD，點(diǎn)B與原點(diǎn)重合，C坐標(biāo)為（4，0），∠ABC＝60°，若在菱形ABCD內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P，試求PA+PB+PC的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少；典型例題變式1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝

，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，按下列要求畫(huà)圖（保留畫(huà)圖痕跡）：以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′），并回答下列問(wèn)題：∠ABC＝

，∠A′BC＝

，OA+OB+OC＝________

變式練習(xí)變式練習(xí)五、最值中的旋轉(zhuǎn)例7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，M是BC的中點(diǎn)，P是A'B'的中點(diǎn)，連接PM．若BC＝2，∠BAC＝30°，求線段PM的最大值.變式1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為

．

變式練習(xí)變式2.已知：

，PB＝4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)．（1）如圖，當(dāng)∠APB＝45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)∠APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)∠APB的大?。?/p>

變式練習(xí)1.如圖，已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB的延長(zhǎng)線于E、F．下面結(jié)論一定成立的是

．（填序號(hào)）①DE＝DF；②S△DEF＝2S△CEF；③S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．

課后練習(xí)2.如圖，設(shè)A、B、C是平面上已知的三點(diǎn)，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角都小于120°時(shí)，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則PA+PB+PC的值最?。n后練習(xí)3.已知：△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，在∠BAC所對(duì)弧AC上，任取一點(diǎn)D，連接AD，BD，CD．

（1）如圖1，