2021-2022學(xué)年第一學(xué)期人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬卷二（詳解版）

2021-2022學(xué)年第一學(xué)期人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)期末模擬卷二

(詳解版)

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題(共30分)

1.把方程E+3=4x配方，得()

A.(x-2)2=1B.(X+2)2=28

C.(x-2)2=7D.(x+2)2=21

【答案】A

【詳解】

略

2.若"是方程Y+x-l=0的根，貝!)/+,"+2020的值為()

A.2022B.2021C.2019D.2018

【答案】B

【分析】

利用一元二次方程根的定義，代入變形計(jì)算即可.

【詳解】

”是方程+X-1=0的根，

m2+m—1=0，

-?-m2'+m=?\i

/?/+加+2020=2021,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程根的定義，熟練把方程的根轉(zhuǎn)化為所含字母的一元二次方程是

解題的關(guān)鍵.

3.已知二次函數(shù),丫=?2+。(。>0),如果當(dāng)+l時(shí)，p<y<q,則下列說法

正確的是()

A.4有最大值，也有最小值B.4一〃有最大值，沒有最小值

C.沒有最大值，有最小值D.〃沒有最大值，也沒有最小值

【答案】C

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，表示出〃、4的值，即可求解.

【詳解】

解：?.,二次函數(shù)尸加+。（。＞0）.

???開口向上，對(duì)稱軸為x=0,

當(dāng)xNO時(shí)，y隨X增大而增大.

:.q_p=y=a（m+1）2+c—am2—c=2am+a.

.-q-p=2am+a.即4一〃是m的一次函數(shù).

a＞0,

二一次函數(shù)上升趨勢.

??國一〃有最小值，沒有最大值.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì).關(guān)鍵在于表示出g-p的代數(shù)值，從而轉(zhuǎn)

化為一次函數(shù)的性質(zhì).比較綜合.

4.如圖，拋物線＞=以2+法+。（〃*0）與X軸交于點(diǎn)（一3,0）,其對(duì)稱軸為直線l=-3，結(jié)

合圖象分析下列結(jié)論：①必c＞0；②3a+c＞0；③當(dāng)x＜0時(shí)，）'隨x的增大而增大；

④一元二次方程cV+bx+a=O的兩根分別為%=-；,x2=1；⑤若加,〃（機(jī)＜〃）為方程

。（8+3乂》一2）+3=0的兩個(gè)根，貝］用＜—3且及＞2,其中正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個(gè)小題中的結(jié)論是否正

確，從而可以解答本題.

【詳解】

解：由函數(shù)圖象可得，

a<0,b<0,c>0,

則。兒,0,故①正確；

?.?x=—3時(shí)，y=9a-3Z?+c=0,

/.6ci+c=0,

c=-6a,

.\3a+c=3a-6a=-3a>0,故②正確；

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，>隨x的增大而增大，當(dāng)-：<x<o時(shí)，>隨方的增大而減

22

小，故③錯(cuò)誤；

,??拋物線>=加+法+以4*0)與》軸交于點(diǎn)(-3,0),其對(duì)?稱軸為直線x=-g,

???該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),

0￥?+法+°=0的兩個(gè)根為玉=-3,12=2,

.,?"+匕’+"1)2=0的兩個(gè)根為石=-3,r=2,

XX"

二一元二次方程以"x+“=o的兩根分別為%=q,x2=1,故④正確；

???該函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)為(-3,0),(2,0),

，該函數(shù)的詳解式可以為y="(x+3)(x-2),

當(dāng)y=-3時(shí)、-3=a(x+3)(x-2)

當(dāng)y=-3對(duì)應(yīng)的x的值一個(gè)小于-3,一個(gè)大于2,

.?.若“，〃(，〃<")為方程a(x+3)(x-2)+3=0的兩個(gè)根，則,"<-3且〃>2,故⑤錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與工軸的交點(diǎn)、二次函

數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

5.如圖，兩個(gè)全等的正方形的四種不同擺放中，中心對(duì)稱圖形有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】

把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖

形就叫做中心對(duì)稱圖形，據(jù)此可得結(jié)論.

【詳解】

解：第一個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；

第二個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

第三個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，符合題意；

第四個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形，不合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了中心對(duì)稱圖形，熟練掌握中心對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

6.如圖，48是。。的弦，且48=6,點(diǎn)C是弧48中點(diǎn)，點(diǎn)O是優(yōu)弧4B上的一點(diǎn)，

NA￡>C=30。，則圓心0到弦AB的距離等于（）

A.3>/3B.1C.G口.乎

【答案】C

【分析】

連接OA,AC,OC,OC交48于E,先根據(jù)垂徑定理求出4E=3,然后證明三角形OAC

是等邊三角形，從而可以得到N04E=3O。，再利用三線合一定理求解即可.

【詳解】

解：如圖所示，連接04,AC,OC,0C交A3于巴

是弧45的中點(diǎn)，AB=6,

：.0C±AB,AE=BE=3f

,/ZADC=30°,

???ZAOC=2ZADC=60°,

又,.?0A=。。，

???△O4C是等邊三角形，

■:0CLAB,

.?.0C=0E=20C=(A。，OE2+AE2^AO\

22

O￡2+32=4OE2

/.0E=y/3

二圓心。到弦A8的距離為6，

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定

理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

7.如圖平面直角坐標(biāo)系中，P在第一象限，。尸與x軸、y軸都相切，過矩形AO3C的

頂點(diǎn)C,與8c交于點(diǎn)。，。尸半徑為5,A坐標(biāo)是(0,8),則。坐標(biāo)是()

A.(9,2)B.(9,3)C.(10,2)D.(10,3)

【答案】A

【分析】

設(shè)圓與X軸，y軸的切點(diǎn)分別是E,F,連接EP,并延長，交4c于點(diǎn)N,連接FP,并

延長，交BC于點(diǎn)M,連接PC,PD,利用切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理計(jì)算

CM的長即可.

【詳解】

如圖，設(shè)圓與x軸，y軸的切點(diǎn)分別是E,F,連接EP,并延長，交4c于點(diǎn)N,連接

FP,并延長，交BC于點(diǎn)、M,連接PC,PD,

?0P與x軸、y軸都相切，

.PEA.OB,PFLOA,

'FOLOE,PE=PF,

?四邊形PFOE是正方形，

?0P的半徑為5,

.PE=PF=PC=PD=5,

?四邊形A02C是矩形，

.PNLAC,PM1BC,

.四邊形40EN,四邊形NEBC都是矩形,

?點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,8）,

.OA=EN=8,

.AF=PN=CM=3,

?NC=4PC2-PN2=正4=4,

.AC=OB=AN+NC=9,

"PM±BC,

.CM=DM=3,

.BD=BC-CD=8-6=2,

.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（9,2）.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的性質(zhì)，正方形的判定，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，垂徑定理，根

據(jù)題意熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，平面圖形曲由直角邊長為1的等腰直角△A。。和扇形80。組成，點(diǎn)P在

線段48上，PQ-LAB,且PQ交AO或交C8于點(diǎn)Q.設(shè)AP=x（0<x<2）,圖中陰影

部分表示的平面圖形AP。（或APQO）的面積為y,則函數(shù)關(guān)于x的大致圖象是（）

【答案】D

【分析】

根據(jù)點(diǎn)。的位置，分點(diǎn)。在AZ）上和點(diǎn)。在弧8。上兩種情況討論，分別寫出y和X的

函數(shù)詳解式，即可確定函數(shù)圖象.

【詳解】

解：當(dāng)。在AO上時(shí)，即點(diǎn)尸在A0上時(shí)，有O<x,l,

此時(shí)陰影部分為等腰直角三角形，

該函數(shù)是二次函數(shù)，且開口向上，排除8,C選項(xiàng);

當(dāng)點(diǎn)。在弧上時(shí)，補(bǔ)全圖形如圖所示，

D

陰影部分的面積等于等腰直角AAOQ的面枳加上扇形30。的面枳，再減去平面圖形

PBQ的面積即減去3弓形。防的面枳,

設(shè)/QOB=0,則NQOF=26,

砌T?

?Q=lxlxl=l

…0AAOD'S弓形QBF

22180

5S弓S=?_gx"x￥n1

當(dāng)/=45。時(shí)，AP=x=l+—?1.7----,

242

1萬1/九■1、341

y=—I-----(-----)=—I—al.15,

2424248

當(dāng)夕寸，AP=x=1.86,S引珍例?=.一；xgx0=著一，,

」+3+J.45,

42年

2286

在A,。選項(xiàng)中分別找到這兩個(gè)特殊值，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，選項(xiàng)。符合題意.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，圖形的面積等內(nèi)容，選擇題中利用特殊值解決

問題是常見方法，構(gòu)造圖形表達(dá)出陰影部分面積是本題解題關(guān)鍵.

9.如圖，弧長為半圓的弓形在坐標(biāo)系中，圓心在（0,2）.將弓形沿x軸正方向無滑動(dòng)滾

動(dòng)，當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為202反時(shí)，圓心的橫坐標(biāo)是（

MV

A.2020萬B.1010^+2020C.2021/rD.101U+2020

【答案】D

【分析】

求出一個(gè)周期圓心走的路程，即可求出圓心經(jīng)過的路徑長為2021萬時(shí)圓心的位置，故可

求解.

【詳解】

如圖，圓心在（0,2）,可得廠2

OA=—x1.71r=n,AB=2r=4,BC=—x2/rr=TT,‘曬=1/2仃

44%

...一個(gè)周期圓心經(jīng)過的路徑長為OA+，檢+L+BC=47,

：.C（4+2萬，0）,

故當(dāng)圓心經(jīng)過的路徑長為2021萬時(shí),

202br+4萬=505..」

.?.圓心的橫坐標(biāo)是505x（4+2乃）+乃=10111+2020

此題主要考查弧與坐標(biāo)綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出一個(gè)周期圓心經(jīng)過的路徑長.

10.某市有6名教師志愿到四川地震災(zāi)區(qū)的甲、乙、丙三個(gè)鎮(zhèn)去支教，每人只能去一個(gè)

鎮(zhèn)，則恰好其中一鎮(zhèn)去4名，另兩鎮(zhèn)各去1名的概率為（）

A2010「5c10

A.—BR.C.D.--

8181243243

【答案】B

【分析】

因?yàn)閷?duì)于這六個(gè)人來說，會(huì)被隨機(jī)分派到3個(gè)鎮(zhèn)中的任何一個(gè)，所以一共有36種情況,

而有4個(gè)人的鎮(zhèn)可能是3個(gè)鎮(zhèn)中的任何一個(gè)，剩下兩個(gè)鎮(zhèn)各派一個(gè)人的派法是3xC；,

根據(jù)概率公式求解.

【詳解】

解：6名教師志愿隨機(jī)派到3個(gè)鎮(zhèn)中的任何一個(gè)共有3,種情況，有4個(gè)人的鎮(zhèn)可能是3

個(gè)鎮(zhèn)中的任何一個(gè)，另兩鎮(zhèn)各去1名的結(jié)果數(shù)為3x6x5,

所以恰好其中一鎮(zhèn)去4名，另兩鎮(zhèn)各去1名的概率=當(dāng)9=￡,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】

選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.

二、填空題（共24分）

11.在一個(gè)不透明的布袋中裝有除顏色外其他都相同的黃、白兩種顏色的球共40個(gè)，

從中任意摸出一個(gè)球，若摸到黃球的概率為④則布袋中黃球的個(gè)數(shù)為.

【答案】18

【分析】

利用摸到黃球的概率為玲，然后根據(jù)概率公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：設(shè)袋子中黃球有x個(gè)，根據(jù)題意，得：

二=2

40-20,

解得：418,

即布袋中黃球可能有18個(gè)，

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】

此題考查了概率，掌握概率公式的求法即概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比是解題的關(guān)

鍵，是一道?？碱}型.

12.如圖，在正十邊形AA2A34444444。中，連接44、A4，則/A4A4=°

45

【分析】

設(shè)正十邊形的圓心O,連接4。、40,再求出最后運(yùn)用圓周角定理解答即可.

【詳解】

解：如圖：設(shè)正十邊形的圓心。，連接40、4。，

???正十邊形的各邊都相等

3

二"04=—x360°=108°

10

二ZA44A=108嗎=54。.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理，根據(jù)題意正確作出輔助線、構(gòu)造出圓周

角是解答本題的關(guān)鍵.

13.如圖，。。的半徑。4=6,以A為圓心，OA為半徑的弧交于8、C點(diǎn)，貝IJBC

的長度是.

【答案】6百

【分析】

連接A8,OB,AC交04于。，由。0的半徑為。4=6,以4為圓心，。4為半徑的弧

交。O于8,C兩點(diǎn)，可得OA=A8=OB,由等邊三角形可得N304=60。，根據(jù)AB=AC,

可得用B=??C，可證BC_L04，可得4Z)=O￡)=goA=3，BD=CD=^BC,在RtA40。

中，由勾股定理60=而京=3"=后二？'=3。即可.

【詳解】

連接A8,08,4c交。4于力，

：。0的半徑為。4=6,以A為圓心，0A為半徑的弧交。0于8,C兩點(diǎn)，

OA=AB=OB,

：.N804=60°,

\'AB=AC,

???舛8=今。，

：.BCLOA,

：.AD=OD=-0-4=3,BD=CD=-BC,

22

在Rt/iA。。中，由勾股定理比）=JOB?-?！?gt;2-乎=班，

，BC=2BD=66.

故答案為.

【點(diǎn)睛】

本題考查半徑相等的弧與圓相交問題，等邊三角形判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理,

掌握半徑相等的弧與圓相交問題，等邊三角形判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理是解題

關(guān)鍵.

吁\&那么金

14.如果

【答案】.

【分析】

觀察圖象的變化，先旋轉(zhuǎn)了180,上半部分再作軸對(duì)稱變換，即可解決問題.

【詳解】

解：由題意可知，先旋轉(zhuǎn)J'180,上半部分再作軸對(duì)稱變換，可得圖形:

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱變換，掌握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱變換的作圖方法是關(guān)鍵.

15.如圖是足球守門員在0處開出一記手拋高球后足球在空中運(yùn)動(dòng)到落地的過程，它

是一條經(jīng)過A、M、C三點(diǎn)的拋物線.其中4點(diǎn)離地面1.4米，M點(diǎn)是足球運(yùn)動(dòng)過程中

的最高點(diǎn)，離地面3.2米，離守門員的水平距離為6米，點(diǎn)C是球落地時(shí)的第一點(diǎn).那

么足球第一次落地點(diǎn)c距守門員的水平距離為一米.

v

【分析】

設(shè)拋物線的詳解式為y=a(x-6)2+3.2,將點(diǎn)40,1.4)代入求出。的值即可得到詳解式，求

出y=0時(shí)X的值即可得.

【詳解】

解：(1)設(shè)拋物線的詳解式為)，=心-?+3.2,

將點(diǎn)40,1.4)代入，得：38+3.2=1.4,

解得：a=-0.05,

則拋物線的詳解式為y=-0.05(x-6)2+3.2；

當(dāng)y=0時(shí)，-0.05(x-6)2+3.2=0,

解得：士=-2(舍)，々=14,

所以足球第一次落地點(diǎn)C距守門員14米，

故答案是：14.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)詳解式及將實(shí)

際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題的能力.

16.定義：若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)與它的頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形是直

角三角形，則把這種拋物線稱作“和美拋物線”.如圖，一組拋物線的頂點(diǎn)片(1,勿)，

82(2,)2),B3(3,J3),...y“)(〃為正整數(shù))依次是直線+；上的點(diǎn)，這組

拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)依次是Ai(m,0),42(30),A3(a3,0),…A“+i(a“+i,0)(0

<ai<L"為正整數(shù)).若這組拋物線中存在和美拋物線，則ai=__.

【答案】沁

【分析】

由拋物線的對(duì)稱性可知：拋物線的頂點(diǎn)與拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形必為等

腰直角三角形，該等腰直角三角形的高等于斜邊的一半，0<4<1,該等腰直角三角形

的斜邊長小于2,斜邊上的高小于1（即拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于1）,由此求解即可.

【詳解】

解：由拋物線的對(duì)稱性可知：拋物線的頂點(diǎn)與拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形必

為等腰直角三角形，

該等腰直角三角形的高等于斜邊的一半，

?/0<fl,<1,

該等腰直角三角形的斜邊長小于2,斜邊上的高小于1（即拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于1）,

117

:當(dāng)x=i時(shí)，=—

2111

當(dāng)x=2時(shí)，y=-+-=—<1.

當(dāng)x=3時(shí)，y=ln—=—>1,

44

美麗拋物線的頂點(diǎn)只有用和層，

7

若方為頂點(diǎn)，則瓦（1,上），

?175

?.a,=1----=—,

'1212

同理當(dāng)當(dāng)為頂點(diǎn)，求得4=￡，

故答案為:1或行.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了拋物線與x軸交點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相

關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

17.如圖，在平行四邊形A8C。中，AD=5,AB=2幣,N8是銳角，于點(diǎn)

E,F是AB的中點(diǎn)，連接。尸，EF,若NE尸。=90。，則AE的長為.

AD

【答案】26

【分析】

先設(shè)BE=x,再通過作輔助線構(gòu)造平行四邊形AGBE,用x來表示出。E,最府分別在

QA4BE和放乂￡>￡中得到用x表示的式子，建立方程后，求出x,代入后即可求

出AE的長.

【詳解】

解：設(shè)BE=x,

則在RtAABE中有AE?=AB2-x2=（2V7）2-%2=28-x2,

如圖，延長E尸至點(diǎn)G使FG=EF,連接AG、DE、BG,

???點(diǎn)/是AB的中點(diǎn)，

二四邊形4E8G是平行四邊形，

：.AG//BE,AG=8E=x,

又：a4BCD中有A。〃8C,

AG,A、。三點(diǎn)共線，

DG=AG^-AD=x^-5,

,?ZEFD=90°,

???。/垂直平分EG,

/.DE=DG=x+5,

VA￡1BC,AD//BC,

，AE2=DE2-AD2=（x+5）2-52=x2+10x,

?*-x2+10x=28-x2

解得再=2,X2=-7（舍）

JA￡2=X2+10X=24,

***AE=2>/6.

故答案為：2任.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定、勾股定理、

一元二次方程的應(yīng)用等內(nèi)容，要求學(xué)生能夠通過作輔助線構(gòu)造平行四邊形或等腰三角形,

能利用勾股定理建立方程求出線段的長，本題綜合性較強(qiáng)，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，考查

了學(xué)生的綜合分析能力.

18.如圖，在等邊三角形ABC中，。是AC的中點(diǎn)，尸是邊A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)產(chǎn)

作交8c于點(diǎn)E,連接DP,DE.若=是等腰三角形，則的長

是.

A

C

【答案】-3+四或4或12-4拓.

【分析】

過點(diǎn)。作DFLBC,垂足分別為G、F,根據(jù)△PDE是等腰三角形，分三種

情況討論，利用勾股定理列出方程即可.

【詳解】

解：過點(diǎn)。作。GLAB,DFLBC,垂足分別為G、F,

VAB=8,NA=60。，。是AC的中點(diǎn)，

.?.AG=^AD=^AB=2,DG=^AD2-AG2=2^>

同理，CF=2,OF=26，

設(shè)BP為x,同理可得，BE=2x,PE=6X,

PG=6-x,EF=6-2x,

當(dāng)0P=PE時(shí),

(2>/3)2+(6-X)2=(>/3X)2,

解得，玉=—3—(舍去)，x,=—3+y/33；

當(dāng)DP=DEKi，

(2揚(yáng)2+出_=(2>/3)2+(6-2x)2,

解得，占=。(舍去)，々=4；

當(dāng)DE=PE時(shí)，

(2后+(6-2x)2=(6x)2,

解得，百=12+4"(舍去)，x2=12—45/6；

故答案為：-3+后或4或12-4瓜.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等，解題關(guān)鍵是熟練對(duì)等

腰三角形分類討論，利用勾股定理列出方程.

三、解答題(共46分)

19.(本題4分)解方程：

(1)(x-1)(x+3)=2x+4；

【答案】(I)x'=幣，X2=-5;(2)原分式方程無解

【分析】

(1)先將方程整理成一般式，再利用直接開平方法求解即可；

(2)兩邊都乘以x(x-1),將分式方程化為整式方程，再進(jìn)一步求解即可.

【詳解】

解：(1)整理，得：N-7=0,

/.x2=7,

則x=士幣，

即xijy，xi=~；

(2)兩邊都乘以x(x-1),得：2/-4》+3=0,

：△=(-4)2-4x2x3=-8<0,

方程無解，

故原分式方程無解.

【點(diǎn)睛】

此題考查計(jì)算能力：解一元二次方程，解分式方程，正確掌握各自的特點(diǎn)及解法是解題

的關(guān)鍵.

20.(本題8分)為做好開學(xué)前后新冠肺炎疫情防控工作，保障廣大師生員工生命安全和

身體健康，重慶某中學(xué)決定向某醫(yī)藥生產(chǎn)廠家購買防疫物資學(xué)校原計(jì)劃訂購84消毒液

和醫(yī)用酒精共5000瓶，已知消毒液每瓶單價(jià)24元，酒精每瓶單價(jià)20元.

(1)據(jù)悉，學(xué)校計(jì)劃購買防疫物資的總資金不超過112000元，那么原計(jì)劃最多購買消

毒液多少瓶？

(2)后來，學(xué)校決定就以112000元的總資金按照(1)中消毒液的最大數(shù)量進(jìn)行購買

但學(xué)校后勤處通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)醫(yī)用酒精的需求量更大，于是學(xué)校接受了后勤處的建議,

在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上消毒液少訂購了10。瓶，醫(yī)用酒精多訂購了原計(jì)劃的4％,醫(yī)藥生產(chǎn)

廠家決定對(duì)醫(yī)用酒精給予優(yōu)惠，單價(jià)降低5a%元，消毒液單價(jià)不變，最終學(xué)?；ㄙM(fèi)和

原計(jì)劃一樣多就完成了訂購，求。(。=0)的值.

【答案】(1)3000瓶；(2)60

【分析】

(1)設(shè)原計(jì)劃購買消毒液x瓶，則原計(jì)劃購買醫(yī)用酒精(5000-x)瓶，根據(jù)學(xué)校計(jì)劃購

買防疫物資的總資金不超過112000元，即可得出關(guān)于X的一元一次不等式，解之取其

中的最大值即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)最終學(xué)校花費(fèi)和原計(jì)劃一樣多就完成了訂購，即可得出關(guān)于“的一元二次方

程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)設(shè)原計(jì)劃購買消毒液x瓶，則原計(jì)劃購買醫(yī)用酒精(5000-x)瓶，

依題意,得：24x+20(5000-x)<112000,

解得：x<3000.

答：原計(jì)劃最多購買消毒液3000瓶.

(2)依題意，得：(3000-10a)x24+2000(l+a%)(20-5a%)=l120()0,

令a%=r,則a=100f,

(3000-10()0r)x24+2(XX)(1+r)(20-5r)=112(X)0,

整理得：10--6f=0,

解得：4=0或￡2=66,

q=0或出=60,

；"0,

Z.。=60,

答：”的值為60.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)

各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式；(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次

方程.

21.(本題10分)如圖，拋物線y=-x2+公+c與F軸相交于點(diǎn)C(0,3),與x正半軸

相交于點(diǎn)8,負(fù)半軸相交于點(diǎn)A,A點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0).

(1)求此拋物線的詳解式；

(2)如圖1,點(diǎn)P在第一象限的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作軸，垂足是點(diǎn)O,線

段BC把線段PD分成兩條線段，其中一條線段長是另一條線段長的2倍，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)如圖2,若點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)廠在x軸上，當(dāng)以8、C、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形

是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】⑴⑵P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,%⑵3)；⑶F.(L。),

Fi(5,0),Fi(近一2,0),Fa(->/7-2,0)

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法，把點(diǎn)4、C代入計(jì)算，即可求出詳解式；

(2)先求出直線8c的詳解式，設(shè)尸。交8c于點(diǎn)H,則H。"，-m+3),結(jié)合線段

8C把線段尸。分成兩條線段，則有PH=2O”或。〃=2PH,分別求出的值，即可

得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)E為(x,-x2+2x+3)，點(diǎn)尸為(。，0)；當(dāng)以8、C、E、F為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，可分成四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)CE〃BF時(shí)，點(diǎn)F在線

段08之間時(shí)；②當(dāng)CE〃8F時(shí)，點(diǎn)尸在點(diǎn)8的右邊時(shí)；③當(dāng)BC〃EF時(shí)，點(diǎn)尸在線段

之間時(shí).；④當(dāng)8C〃E尸時(shí)，點(diǎn)F在線段點(diǎn)4的左邊時(shí)；分別求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可.

【詳解】

解：(1)???拋物線丫=-公+法+。經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),C(0,3),

，拋物線的詳解式為：y=-x2+2x+3.

(2)令＞=0可得-X2+2X+3=0，

解得：玉=-1,%=3,

：.B(3,0)；

VC(0,3),

：.OC=OB=3,由此可求得直線BC詳解式為y=-x+3,

設(shè)-〃P+2%+3),

設(shè)PO交8c于點(diǎn)H,則，(機(jī)，-m+3),

PH=（—m2+2m+3）—（—m+3）=—nr+3m

DH=-m+3

由題意得PH=2。”或DH=2PH

當(dāng)PH=2O〃時(shí)

-nT+3m=2（-m+3）

解得叫=2,?=3（不合題意，舍去）

這時(shí)，-w2+2/n+3=-22+2x2+3=3

當(dāng)Z）”=2PH時(shí)

一，"+3=2（-；n2+3m）

解得：町=；，網(wǎng)=3（不合題意，舍去）

這時(shí)，―>+2m+3=—（；）-+2x—+3=—

224

綜上可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為（；，絲）或（2,3）.

24

（3）根據(jù)題意，若點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)尸在x軸上，

設(shè)點(diǎn)E為（X,一/+2犬+3），點(diǎn)尸為（。，0）：

當(dāng)以8、C、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，則

①當(dāng)CE〃8F時(shí)，點(diǎn)尸在線段之間時(shí)，如下圖：

解得：占=0,X,=2,

.?.點(diǎn)E坐標(biāo)為（2,3）；

:*CE=2,

：.BF=2,

?:點(diǎn)、B為(3,0),

二點(diǎn)尸為(1,0)；

②當(dāng)CE〃8F時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)8的右邊時(shí)，如下圖:

.,?點(diǎn)尸為(5,0)；

③當(dāng)BC〃EF時(shí)，點(diǎn)尸在線段08之間時(shí)，如下圖:

,:點(diǎn)、B為(3,0),

，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-3,

A-X2+2X+3=-3，

解得：X=1±A/7,

?.?點(diǎn)E在點(diǎn)8的右邊，

二點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1+77,-3),

二從點(diǎn)B到點(diǎn)E,橫坐標(biāo)向右平移：1+幣-3=幣-2,

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為("-2,0)；

④當(dāng)BC〃EF時(shí)，點(diǎn)F在線段點(diǎn)A的左邊時(shí)，如下圖：

此時(shí)點(diǎn)E為(1-77,-3),

從點(diǎn)8到點(diǎn)E,橫坐標(biāo)向左平移：3-(l-V7)=2+V7,

二點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為:0-(2+V7)=-2-V7,

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-2-5/7,0)；

綜合上述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：Fi(1,0),Fi⑸0),Fi(V7-2,0),FA(-萬-2,0)；

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、平行四邊形的定義、平移的

性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)圓分類討論的思考思考問題，學(xué)會(huì)添加常

用輔助線，學(xué)會(huì)用方程的思想解決問題，屬于中考?jí)狠S題.

22.(本題10分)在正方形ABC。中，M是8c邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)M不與3、C重合，點(diǎn)產(chǎn)

在射線4W上，將線段”繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AQ,連接BP,DQ.

(1)依題意補(bǔ)全圖1,并求證：△ABgaADQ.

(2)連接。P,若點(diǎn)尸，Q,。恰好在同一條直線上，求證：DP2+DQ2=2AB2.

【答案】(I)畫圖見詳解，證明見詳解；(2)證明見詳解.

【分析】

(1)利用正方形與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得至IJAO=AB,AP^AQ,利用/D48-/D4M與

ZPAQ-ZDAM相等，即可用邊角邊證明AABP當(dāng)AADQ:

(2)連接BD,如圖2,用同樣的方法證明△AB尸絲△ADQ,然后證明N8PD=90。，再

利用直角三角形DAB與直角三角形DPB的三邊關(guān)系即可證明.

【詳解】

(1)解：補(bǔ)全圖形如下圖；

證明：為正方形，

：.AB=AD,ZDAB=90°,

???線段AQ是由線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的,

N限690°,AP=AQ,

：.ZDAB^ZPAQ=90°,

ZDAB-ZDAM=ZPAQ-ZDAM,

即/BAP=NZMQ,

在/XABP和△AOQ中，

AB=AD

<NBAP=/DAQ,

AP=AQ

：.(SAS).

：.AB=ADtZDAB=90°,

???線段AQ是由線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的,

AZPAQ=90°fAP=AQf

：.ZDAB=ZPAQ=900,

：./DAB?/DAM=/PAQ-/DAM,

即Z1=Z2,

在AA3尸和△AOQ中，

AB=AD

<Z1=Z2,

AP=AQ

：.Z^ABP^^ADQ(SAS),

:?DQ=BP,N2=N3,

;在RSQAP中，Z2+Z(2B4=90°,

JZBPD=Z3+ZQPA=90°/BPD=/3+ZQPA=90°,

???ABPD為直角三角形,

???DP?+BP1=BD?，

又?:DQ=BP,BD2=AD2+AB2=2AB2

:.DP2+DQ2=2AB2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的證明以及勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等

三角形的證明方法以及直角三角形的三邊關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵.

23.(本題14分)在平行四邊形中，已知NA=45。，AD±BD,點(diǎn)E為線段8c

上的一點(diǎn)，連接OE,以線段OE為直角邊構(gòu)造等腰K/AOEF,EF交線段A8于點(diǎn)G,

連接AF、DG.

(1)如圖1,若AB=12母,BE=5,則。E的長為多少？

(2)如圖2,若點(diǎn)H,K分別為線段8G,OE的中點(diǎn)，連接求證：AG=2HK；