微積分(I)復(fù)習(xí)(不定積分與定積分)

$number{01}微積分(I)復(fù)習(xí)(不定積分與定積分)2024-01-24目錄引言不定積分基本概念與性質(zhì)不定積分的計(jì)算方法定積分的基本概念與性質(zhì)定積分的計(jì)算與應(yīng)用廣義積分簡(jiǎn)介01引言0302熟練掌握不定積分和定積分的基本概念、性質(zhì)和計(jì)算方法。01復(fù)習(xí)目的與要求通過(guò)對(duì)典型例題的解析，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。能夠運(yùn)用積分學(xué)的基本定理和公式，解決一些實(shí)際問(wèn)題。02定積分的基本概念、性質(zhì)和計(jì)算方法。03積分學(xué)的基本定理和公式。01不定積分的基本概念、性質(zhì)和計(jì)算方法。04典型例題的解析和討論。課程內(nèi)容概述02不定積分基本概念與性質(zhì)不定積分是微分的逆運(yùn)算，表示一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)。010203不定積分的定義不定積分的結(jié)果是一個(gè)函數(shù)族，每個(gè)函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)。不定積分的符號(hào)為∫，后面跟隨被積函數(shù)和微分變量，如∫f(x)dx。123不定積分的性質(zhì)積分區(qū)間可加性若函數(shù)在區(qū)間[a,b]和[b,c]上均可積，則在區(qū)間[a,c]上也可積，且∫[a,c]f(x)dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[b,c]f(x)dx。線性性質(zhì)兩個(gè)函數(shù)的和或差的積分等于各函數(shù)積分的和或差。常數(shù)倍性質(zhì)函數(shù)乘以常數(shù)的積分等于函數(shù)積分乘以該常數(shù)。123基本積分公式包括冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的積分公式。積分法則包括乘積的積分、冪函數(shù)的積分、三角函數(shù)的積分、分部積分法、換元積分法等。在應(yīng)用基本積分公式和法則時(shí)，需要注意被積函數(shù)的定義域和值域，以及選擇合適的積分方法和技巧?；痉e分公式與法則03不定積分的計(jì)算方法示例原理方法第一類(lèi)換元法（湊微分法）∫cos(x)dx=∫d(sin(x))=sin(x)+C通過(guò)湊微分，將復(fù)合函數(shù)的微分過(guò)程逆過(guò)來(lái)，得到原函數(shù)。觀察被積函數(shù)，尋找可以湊成微分形式的項(xiàng)，將其替換為新的變量，并求出原函數(shù)。原理通過(guò)變量代換，簡(jiǎn)化被積函數(shù)的形式，便于求解。方法選擇合適的變量代換，將被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為更容易求解的形式，并求出原函數(shù)。示例∫√(a^2-x^2)dx(x>0)令x=asint，則dx=acostdt，原式化為∫a^2*cost*acostdt=a^2/2*∫(1+cos2t)dt=a^2/2*(t+1/2*sin2t)+C=a^2/2*arcsin(x/a)+1/2*x√(a^2-x^2)+C第二類(lèi)換元法原理將被積函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)的乘積，并分別對(duì)其求導(dǎo)和積分，通過(guò)相互抵消達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。方法選擇合適的函數(shù)u和v，使得u'dv易于求解，然后進(jìn)行分部積分運(yùn)算。示例∫x*e^xdx=∫xd(e^x)=x*e^x-∫e^xdx=x*e^x-e^x+C分部積分法04定積分的基本概念與性質(zhì)表示由曲線$y=f(x)$與直線$x=a,x=b$及$x$軸所圍成的平面圖形的面積。定積分的幾何意義設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，將區(qū)間$[a,b]$分成$n$個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為$Deltax_1,Deltax_2,ldots,Deltax_n$，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$，當(dāng)$max{Deltax_i}to0$時(shí)，該和式的極限存在且唯一，則稱(chēng)該極限為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的定積分，記作$int_{a}^f(x)dx$。定積分的數(shù)學(xué)定義定積分的定義定積分的性質(zhì)線性性質(zhì)被動(dòng)收入是指?jìng)€(gè)人投資一次或一二三四五六七八九十次或被動(dòng)收入投資一次次或少數(shù)幾次后，被動(dòng)收入是指?jìng)€(gè)人投人投人投人投資一次或被動(dòng)收入投資收入投收入投區(qū)間可加性若$a<c<b$，則$int_{a}^f(x)dx=int_{a}^{c}f(x)dx+int_{c}^f(x)dx$。保號(hào)性若在區(qū)間$[a,b]$上，$f_1(x)leqf_2(x)$，則$int_{a}^f_1(x)dxleqint_{a}^f_2(x)dx$。絕對(duì)值不等式$left|int_{a}^f(x)dxright|leqint_{a}^|f(x)|dx$。可積條件函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積的充分必要條件是，對(duì)于任意給定的正數(shù)$epsilon$，總存在一種劃分，使得屬于該劃分的所有小區(qū)間上的振幅之和小于$epsilon$?？煞e函數(shù)類(lèi)連續(xù)函數(shù)、只有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)的函數(shù)、單調(diào)函數(shù)等都是可積的。特別地，閉區(qū)間上的有界函數(shù)也是可積的。可積條件與可積函數(shù)類(lèi)05定積分的計(jì)算與應(yīng)用牛頓-萊布尼茲公式是計(jì)算定積分的基本公式，它將定積分轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)在積分區(qū)間上原函數(shù)之差。定義公式表述使用條件∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。牛頓-萊布尼茲公式適用于被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)的情況。030201牛頓-萊布尼茲公式換元法通過(guò)變量代換簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算，常用的代換有三角代換、根式代換等。分部積分法將定積分轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的乘積的積分，通過(guò)分部積分公式進(jìn)行計(jì)算。使用場(chǎng)景當(dāng)被積函數(shù)比較復(fù)雜或難以直接計(jì)算時(shí)，可以考慮使用換元法或分部積分法。定積分的換元法與分部積分法030201定積分在幾何、物理等方面的應(yīng)用舉例02030104計(jì)算變力做功、液體靜壓力等。計(jì)算總收益、總成本等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積等。計(jì)算曲線長(zhǎng)度、重心坐標(biāo)等工程問(wèn)題。幾何應(yīng)用物理應(yīng)用工程應(yīng)用經(jīng)濟(jì)應(yīng)用06廣義積分簡(jiǎn)介03計(jì)算方法通過(guò)變量替換或分部積分等方法，將無(wú)窮限廣義積分轉(zhuǎn)化為定積分或容易計(jì)算的積分。01定義無(wú)窮限廣義積分是指積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間，或被積函數(shù)在有限區(qū)間內(nèi)無(wú)界的積分。02性質(zhì)無(wú)窮限廣義積分具有線性性、可加性和收斂性。無(wú)窮限廣義積分定義無(wú)界函數(shù)廣義積分（瑕積分）無(wú)界函數(shù)廣義積分是指被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)有界，但在個(gè)別點(diǎn)上無(wú)界的積分。性質(zhì)無(wú)界函數(shù)廣義積分同樣具有線性性、可加性和收斂性。通過(guò)分割積分區(qū)間、去掉無(wú)界點(diǎn)等方法，將無(wú)界函數(shù)廣義積分轉(zhuǎn)化為定積分或容易計(jì)算的積分。計(jì)算方法廣義積分的收斂性與判別法如果廣義積分的值存在且有限，則稱(chēng)該廣義積分收斂；否則稱(chēng)該廣義積