高考數(shù)學人教B版一輪復習訓練4-1任意角的概念與弧度制任意角的三角函數(shù)

核心考點·精準研析考點一象限角與終邊相同的角

1.若角α是第二象限角,則QUOTE是 ()A.第一象限角 B.第二象限角C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角2.(2019·長春模擬)若角α的頂點為坐標原點,始邊在x軸的非負半軸上,終邊在直線y=QUOTEx上,則角α的取值集合是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE3.下列各角中,與角330°的終邊相同的是 ()A.150° B.390° C.510° D.150°4.與2010°終邊相同的最小正角是________. 導學號

【解析】1.選C.因為α是第二象限角,所以QUOTE+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以QUOTE+kπ<QUOTE<QUOTE+kπ,k∈Z.當k為偶數(shù)時,QUOTE是第一象限角;當k為奇數(shù)時,QUOTE是第三象限角.綜上,QUOTE是第一或第三象限角.2.選D.因為直線y=QUOTEx的傾斜角是QUOTE,所以終邊落在直線y=QUOTEx上的角的取值集合為{α|α=kπQUOTE,k∈Z}.3.選B.與角330°的終邊相同的角為α=k·360°+330°(k∈Z),令k=2,可得α=390°.4.因為2010°=(6)×360°+150°,所以150°與2010°終邊相同,又終邊相同的兩個角相差360°的整數(shù)倍,所以在0°～360°中只有150°與2010°終邊相同,故與2010°終邊相同的最小正角是150°.答案:150°1.表示區(qū)間角的三個步驟(1)先按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界.(2)按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的360°～360°范圍內的角α和β,寫出最簡區(qū)間.(3)起始、終止邊界對應角α,β再加上360°的整數(shù)倍,即得區(qū)間角集合.2.象限角的兩種判斷方法(1)圖象法:在平面直角坐標系中,作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角.(2)轉化法:先將已知角化為k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出與已知角終邊相同的角α,再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.3.求QUOTE或nθ(n∈N*)所在象限的方法(1)將θ的范圍用不等式(含有k)表示.(2)兩邊同除以n或乘以n.(3)對k進行討論,得到QUOTE或nθ(n∈N*)所在的象限.提醒:注意“順轉減,逆轉加”的應用,如角α的終邊逆時針旋轉180°可得角α+180°的終邊,類推可知α+k·180°(k∈Z)表示終邊落在角α的終邊所在直線上的角.【秒殺絕招】結論法解T1,若角α是第一(或二)象限角,則QUOTE是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,則QUOTE是第二或第四象限角.排除法解T2,終邊在直線上,是kπ,終邊在射線上是2kπ,排除A,B;直線y=QUOTEx的傾斜角是鈍角,加鈍角或減銳角,排除C,所以選D.考點二弧度制、扇形的弧長及面積公式

【典例】1.若扇形的圓心角α=120°,弦長AB=12cm,則弧長l=________cm.

2.已知扇形的周長為20cm,當它的面積最大時,它的圓心角的弧度數(shù)為________.

【解題導思】序號聯(lián)想解題1由扇形的圓心角想到弧長公式l=|α|·r2由扇形的周長想到扇形面積公式S=QUOTElr,周長=l+2r,轉化為函數(shù)求最值【解析】1.設扇形的半徑為rcm,如圖.由sin60°=QUOTE得r=4QUOTEcm,所以l=|α|·r=QUOTE×4QUOTE=QUOTEπ(cm).答案:QUOTEπ2.因為扇形的周長為20,所以l+2r=20,即l=202r,所以扇形的面積S=QUOTElr=QUOTE(202r)·r=r2+10r=(r5)2+25,所以當半徑r=5時,扇形的面積最大為25,此時α=2(rad).答案:2有關弧長及扇形面積問題的注意點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時,要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積最大值的問題時,常轉化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形.1.已知扇形周長為10,面積是4,求扇形的圓心角.【解析】設圓心角是θ,半徑是r,則QUOTE解得QUOTE(舍去)或QUOTE所以扇形的圓心角為QUOTErad.2.已知扇形周長為40,當它的半徑和圓心角分別取何值時,扇形的面積最大?【解析】設圓心角是θ,半徑是r,則2r+rθ=40.又S=QUOTEθr2=QUOTEr(402r)=r(20r)=(r10)2+100≤100,當且僅當r=10時,Smax=100,此時2×10+10θ=40,θ=2,所以當r=10,θ=2時,扇形的面積最大.考點三任意角三角函數(shù)的定義及應用

命題精解讀考什么:(1)三角函數(shù)符號判斷,比較大小、解不等式,運用定義求值等等.(2)考查數(shù)學抽象,邏輯推理,數(shù)學運算等核心素養(yǎng),以及數(shù)形結合的思想.怎么考:與直線、誘導公式、三角恒等變換等結合考查判斷符號、求三角函數(shù)值等等.學霸好方法1.三角函數(shù)值符號的判斷方法(1)先分別判斷每個三角函數(shù)值的符號.(2)按照題中要求判斷所求三角函數(shù)值的符號.2.利用單位圓解三角不等式(組)的一般步驟(1)用邊界值定出角的終邊位置.(2)根據(jù)不等式組定出角的范圍.(3)求交集,找單位圓中公共的部分.(4)寫出角所滿足的范圍.三角函數(shù)符號判斷【典例】(2019·衡水模擬)若sinθ·cosθ<0,QUOTE>0,則角θ是 ()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】選D.由QUOTE>0,得QUOTE>0,所以cosθ>0.又sinθ·cosθ<0,所以sinθ<0,所以θ為第四象限角.知道哪些三角函數(shù)符號,可確定角所在象限?提示:知sinθ,cosθ,tanθ中兩個的符號,可確定角所在象限.比較大小、解不等式【典例】1.設a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,則 ()A.c>b>a B.b>c>aC.a>b>c D.c>a>b2.(2020·長春模擬)已知α,β是第一象限角,且sinα>sinβ,則 ()A.α>β B.α<βC.cosα>cosβ D.tanα>tanβ【解析】1.選A.b=cos55°=sin35°>sin33°=a,c=tan35°>sin35°=b,所以c>b>a.2.選D.因為α,β是第一象限角,所以sinα>0,sinβ>0,又sinα>sinβ,所以sin2α>sin2β>0,所以1cos2α>1cos2β,所以cos2α<cos2β,所以QUOTE>QUOTE>0,所以tan2α>tan2β,因為tanα>0,tanβ>0,所以tanα>tanβ.三角函數(shù)式如何比較大小?提示:對于較為簡單的三角不等式,在單位圓中,利用三角函數(shù)線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài),注意實線與虛線),再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域,由此寫出不等式的解集.運用定義求值【典例】1.(2019·南昌模擬)已知角α的終邊在直線y=x上,且cosα<0,則tanα=________.

2.(2019·許昌模擬)設α是第二象限角,P(x,4)為其終邊上的一點,且cosα=QUOTEx,則tanα=________. 導學號

【解析】1.如圖,由已知,角α的終邊在第二象限,在其終邊上任取一點P(x,y),則y=x,由三角函數(shù)的定義得tanα=QUOTE=QUOTE=1.答案:12.因為α是第二象限角,所以cosα=QUOTEx<0,即x<0.又cosα=QUOTEx=QUOTE,解得x=3,所以tanα=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE如何運用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值?提示:(1)已知角α終邊上一點P的坐標,則可先求出點P到原點的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設出終邊上一點的坐標,求出此點到原點的距離,然后用三角函數(shù)的定義求解.1.若tanα>0,則 ()A.sin2α>0 B.cosα>0C.sinα>0 D.cos2α>0【解析】選A.因為tanα>0,所以α∈QUOTE(k∈Z)是第一、三象限角.所以sinα,cosα都可正、可負,排除B,C.而2α∈(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),結合正、余弦函數(shù)圖象可知,A正確.取α=QUOTE,則tanα=1>0,而cos2α=0,所以D不正確.2.若角θ的終邊經(jīng)過點P(QUOTE,m)(m≠0)且sinθ=QUOTEm,則cosθ的值為________.

【解析】由已知r=QUOTE,所以sinθ=QUOTE=QUOTEm,因為m≠0,所以m=±QUOTE,所以r=QUOTE=2QUOTE,所以cosθ=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.函數(shù)y=lgsinx+QUOTE的定義域為________.

【解析】要使函數(shù)有意義,則有QUOTE即QUOTE解得QUOTE(k∈Z),所以2kπ<x≤QUOTE+2kπ,k∈Z.所以函數(shù)的定義域為QUOTE.答案:QUOTE1.已知點MQUOTE在函數(shù)y=log3x的圖象上,且角θ的終邊所在的直線過點M,則tanθ= ()A.QUOTE B.±QUOTE C.3 D.±3【解析】選C.因為點MQUOTE在函數(shù)y=log3x的圖象上,所以a=log3QUOTE=1,即MQUOTE