2020-2021大學《高等數學》（下）期末課程考試試卷A10（含答案）

1.因為被積函數為1所以J,kfe=Z?的弧長。（）

2020-2021《高等數學》（下）期末課程考試

鼠試卷A10

2.若￡為球面V+），2+z2=l,則曲（小+/+22）"5=￡的面積。（）

適用專業(yè):考試口期:

晅試卷類型：閉卷考試時間：120分鐘試卷總分：100分

3.若二元函數在某點的各偏導數存在則二元函數在該點可微。（）

題

一填空題：（共5小題,每小題3分，共15分）4.若級數均發(fā)散，則級數￡>3也發(fā)散。（）

“131n*l

..sin（3孫）

11m——----￡=__________5.（l+c2"）dp+2a>2%6=0是全微分方程（）

（x,y）->（2.0）y

2.方程/+10），=0的通解為一

型四、解下列各題。（共4小題，每小題7分，共28分）

3.改變積分順序V）公

1.設z=e"cosu,而〃=2,v=x-y求2],2丫0

設z=sin（冷，），貝U當=_______dz

4.

ox'

點

典5.計算_________

K-〃=0D

——-E

二.單項選擇.（共5小題，每小題3分，共15分）

1.設。為圓域：Y+VW%曲面〃是D在第一象限中的部分.則有（）.

(B)jjx2y2Jcr=叫工與2db

(A)J]xda=明xda2.求由曲面z=f+V和平面z=4所圍成的立體體積。

D

(C)Jjxyda=4JJxyd<J(D)jjyda=4|Jyda

D倒DD)

斑

2.設加%，力是常系數線性非齊次方程）'0''+/=/（力的三個線性無關的解，

則y"++社=0的通解可以為（）

（A）qM+c?%（B）qy+Q*?c,y,+c2y2+c3y3（D）qy,+qy,-（c,+c,）y3

3.從（1,1）到（0,0）有向曲線弧y=F上任一點的切向量為（）

區(qū)（A）（-l,-2x）（B）（1,-2A）（0（-1,2X）（D）（1,2A）

4.積分（戶（蒼），卜氏+。（蒼），）力，與路徑無關的充要條件是（）3.求曲面積分口天玲也+地公+人奴勿，其中Z是柱面f+）,2及z=o,z=2所

2=絲(B)且幽(C)竺造(D)迤金圍區(qū)域的整個邊界曲面的外側。

?dxdydxdydydxdydxdxdydydx

5.級數￡（-l廣口為（）級數

n=ln

（A）絕對收斂（B）發(fā)散（C）條件收斂（D）無法判別是否收斂的

三.判斷題.（共5小題，每小題2分，共10分）

4.計算二重積分0個2公小，其中D：OVxVLOVyV/。六.(11分)證明曲線積分J：：(2xcosy-y2sinx)公+(2.ycosx-x2siny)ay在整個

平面內與路徑無關，并計算積分值

五.(10分)求過點4,的平面，使它與三個坐標面在第一卦限內所圍成

的四面體體積最小。

七.(11分)已知函數/(x)滿足+力=0,(D求“X)

(2)將所求/(x)展開成x的幕級數。

三.判斷題.(共5小題，每小題2分，共10分)

2020-2021《高等數學》(下)期末課程考試1.因為被積函數為1所以Jjdr=Z.的弧長。(錯)

試卷A10答案2.若Z為球面V+V+z'i,則注(/+丫2+22”5=2的面積。(對)

3.若二元函數在某點的各偏導數存在則二元函數在該點可微。(錯)

適用專業(yè)：考試日期：4.若級數均發(fā)散，則級數￡＞儲，〃也發(fā)散。(錯)

“

聚試卷類型：閉卷考試時間：120分鐘試卷總分：100分n=lM=1n=\

5.(\+e2O)dp+2pe2Od0=O是全微分方程(對)

一填空題：(共5小題，每小題3分，共15分)

sin(3g)四、解下列各題。(共小題，每小題分，共分)

型1.4728

(x,y)->(2.0)y

2.方程/+7/+10y=0的通解為y=C<2x+Ge_5,_1.設z=e"cosv,而”==求4，Zy。

3.改變積分順序J：f(x,y)公=J；f(x,y)dy.

fy,.dzdudzdvyuu.yx7{t、

解：zr=-----+-----=——-ecosv-esinv---^ecos(x-y)-esinlx-y)

8zHzdudxdvdxxx~

4.設z=sin3),則丁=ycos(jcy)；—=xcos(xy^。

sK-

-E(4分)

級數切Q的和為1.5.

5.

z=eucosv—+€?msinv=-excos(x-y)+exsin(x-y)(3分)

Iv

dudyd\fdyxx

二.單項選擇.(共5小題，每小題3分，共15分)

2.用三重積分表示由曲面z=f+,,2和平面2=4所圍成的立體體積并求該體積

1.設。為圓域：d+)，244,曲面。是D在第一象限中的部分.則有(B).

(A)xda=^xda(B)JJx2y2d(r=4jjjcy2da解：j||dv=JJdxdy^,,dz(1分)

DD,DD|Qf+/￡4

(C)Jjxydcj=4jjxydcr(D)JJyt/cr=4jjyt/cr.

D22

斑D、=j|(4-x-y^dxdy=Jj^dxdy-J1(無2+丁)(3分)

2.設為是常系數線性非齊次方程y+0，'+G=〃x)的三個線性無關的解，則jp+y%.r2+y2S4

y"+〃y+qy=O的通解可以為(D)

=4^r22-￡de/=164一8萬=8乃(2分)

(A)cty2+c2y3(B)qy,+c2y3(0qy,+c2y2+c3j3(D)qy+c2y2-(。］+G)必

3.從(1,1)到(0,0)有向曲線弧y=V上任一點的切向量為(A)3.求曲面積分Ug龍+)&a+z出曲，其中X是柱面d+y2=R2及z=o,z=2

區(qū)

(A)(-1,-2A)(B)(L-2A)(C)(T,2X)(D)(1,2X)所圍區(qū)域的雙個邊界曲面的外側

4.積分1/蒼}，)心+。(4,)，)力與路徑無關的充要條件是(C)

解：令P=x,Q=y,R=z；

(A)更增(B)"=迤(C)巴絲(D)"尤

dP1dQGR、

—=1,—=1,-=1

?dxdydxdydydxdydxdxdydydx&dydz

5.級數□為(C)級數則由高斯公式打xdydz+ydzdx+zdxdy

n=\〃

(A)絕對收斂(B)發(fā)散(C)條件收斂(D)無法判別是否收斂的

幅+箏部二妒…=(y2cosx+x2cosy)［：；(4分)

=2cosl

證明：P=2xcosy-y2sin尤Q=2ycosx-x2siny

2

4.計算二重積分。孫2aMy,其中D：0<x<l,0<y<xo

D—=-2xsinv-2ysinx=—(3分)

dydx

解：|jxy2dxdy=J；mjy%y(3分)

D七.⑴分)已知函數/(x)滿足Q?)力+/(x)-J；e"=0,(1)求/■")

=-['/i/x(2分)=—(4分)將所求/(“展開成的鬲級數。

3J。24(2)x

五.(10分)求過點(2,1,g]的平面，使它與三個坐標面在第一卦限內所圍成解：(1)兩邊求導得：/z(x)+f[x)=ex

的四面體體積最小。該方程為一階常系數非齊次線形微分方程

其特征方程為：/+1=0,根為「=-1

解：設平面方程為截距式：日+5+三=1,{a,b,c>0)

abc所以對應齊次方程的解為)，=C"'(3分)

由條件知2+J+,=l(2分)

ab3c設非齊次解為了=〃""一，

本題是求函數v=Lbc在條件2+!+_L=i下的條件極值問題，

6ab3c代入原方程z/(x)e~x=e~x,/(x)=1,w(x)=x+C

2+L_L-

設F(?,2)=—?/?<?+(4分)

6ab3cy=(x+C)e~x

r1,22_

FY-L在￡'+f(A)-J；e。"=0中取x=0得〃0)=0代入得C=0

IA

Fr.=—ac——T=n04=6x

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