2024屆北師大靜海附屬高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷附答案解析

屆北師大靜海附屬高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷2023.12第I卷（選擇題）一、單選題1．設(shè)集合，，，則（

）A． B． C． D．2．已知條件，條件，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的圖象大致是（

）A．B．C．D．

4．已知，，，則（

）A． B． C． D．5．已知等比數(shù)列的首項為1，若，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的前5項和為（

）A． B．2C． D．6．已知函數(shù)圖象的最小正周期是，則（

）①的圖象關(guān)于點對稱②將的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱③在上的值域為④在上單調(diào)遞增A．①②④ B．①②③ C．②④ D．②③④7．已知雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為3，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C． D．8．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x（萬元）1245銷售額y（萬元）10263549根據(jù)上表可得回歸方程的約等于9，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時，銷售額約為（

）A．56萬元 B．57萬元 C．58萬元 D．59萬元9．已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)恰有六個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題10．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則．11．若的展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16，則展開式中的系數(shù)為.12．已知直線被圓截得的線段長為，則．13．已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有三個不同的零點，則的取值范圍是．三、雙空題14．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)角和為1080°，若（，），則的值為；若正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點，則的最小值為．

15．隨著我國經(jīng)濟發(fā)展越來越好，外出旅游的人越來越多，現(xiàn)有兩位游客慕名來天津旅游，他們分別從“天津之眼摩天輪、五大道風(fēng)景區(qū)、古文化街、意式風(fēng)情街、海河觀光游船、盤山風(fēng)景區(qū)”這6個景點中隨機選擇1個景點游玩，記事件為“兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪”，事件為“兩位游客選擇的景點不同”，則，.四、解答題16．已知，，分別為銳角三角形三個內(nèi)角的對邊，且．(1)求；(2)若，，求；(3)若，求的值．17．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，E為CD的中點，M在AB上，且，

(1)求證：平面PAD；(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；(3)點F是線段PD上異于兩端點的任意一點，若滿足異面直線EF與AC所成角為，求AF的長．18．已知橢圓的左頂點，且點在橢圓上，分別是橢圓的左?右焦點.過點作斜率為的直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于點.(1)求橢圓的標準方程；(2)若，求的值.19．設(shè)為等比數(shù)列，為公差不為零的等差數(shù)列，且，，.(1)求和的通項公式；(2)記的前項和為，的前項和為，證明：；(3)記，求.20．已知定義域均為的兩個函數(shù)，．(1)若函數(shù)，且在處的切線與軸平行，求的值；(2)若函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；(3)設(shè)，是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：．1．D【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡,進而由集合的交并補運算即可求解.【詳解】或，由得,所以，故選：D2．B【分析】化簡兩個條件，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在中，解得：或，在中，解得：，∵可以推出，不可以推出，∴是的必要不充分條件，故選：B.3．C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可判斷出為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，再利用時的取值即可判斷出正確選項.【詳解】由函數(shù)可知，其定義域為，關(guān)于原點對稱；又對于定義域內(nèi)任意滿足，所以函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，因此排除B，又根據(jù)不同函數(shù)的增長速度可知，當(dāng)趨近于，趨近于，而非接近于0，所以排除A；又排除D故選：C4．A【分析】注意到，，后利用指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)單調(diào)性可比較大小.【詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，.又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，又，則.綜上，.故選：A5．C【分析】設(shè)的公比為，由，，成等差數(shù)列求出，再由等比數(shù)列前和公式得的前5項和．【詳解】解：設(shè)的公比為，因為，，成等差數(shù)列，所以，即，所以，所以．所以，因為，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以．故選：C．6．A【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出，即可得到函數(shù)的解析式，由正弦函數(shù)的對稱性可判斷①；由函數(shù)圖象的平移變換，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷②；根據(jù)的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)直接求解可判斷③；根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性通過解不等式可判斷④.【詳解】因為，函數(shù)的最小正周期是，∴，∴，，，∴關(guān)于對稱，故①正確.，∴關(guān)于軸對稱，故②正確.當(dāng)時，有，則，所以，∴，故③錯誤.由，解得，所以的一個單調(diào)增區(qū)間為，而，∴在上單調(diào)遞增，故④正確.故選：A.7．B【分析】確定拋物線焦點為，且，根據(jù)距離得到，得到雙曲線方程.【詳解】雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為，故拋物線的準線方程為，即拋物線焦點為，漸近線方程過，則，雙曲線的左頂點與拋物線焦點距離是，則左頂點為，即.故雙曲線方程為.故選：B.8．B【分析】首先求出，然后利用樣本中心點在回歸方程上即可求出，然后將代入回歸方程即可求解.【詳解】，所以，，則，所以時，，所以銷售額約為57.故選：B9．B【分析】先求出函數(shù)的表達式，再根據(jù)函數(shù)的表達式畫出圖象，最后根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想求解.【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，可得.畫出函數(shù)在上的圖象如下圖所示：由上圖，，函數(shù)恰有六個零點，即函數(shù)與函數(shù)有6個交點，從上圖觀察可知在直線與直線之間即可滿足題意，此時，.故選：B【點睛】求解本題的關(guān)鍵，一是求出函數(shù)的表達式，二是數(shù)形結(jié)合思想的運用.10．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算與概念即可得的值.【詳解】,所以，所以.故答案為：.【分析】由展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16可得，則展開式中第項為，令可得答案.【詳解】因的展開式的奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為16，則.則展開式中第項為.令可得，則的系數(shù)為.故答案為：12．【分析】首先將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，再求出圓心到直線的距離，最后利用勾股定理計算可得.【詳解】圓C：，即圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，又直線被圓截得的線段長為，所以，即，解得.故答案為：13．【分析】根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，利用分段函數(shù)的表達式，結(jié)合題意將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】當(dāng)時，，因為恰有三個不同的零點，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，即有三個解，而無解，故.當(dāng)時，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，即，即與的圖象有三個交點，如下圖，當(dāng)時，與必有1個交點，所以當(dāng)時，有2個交點，即，即令在內(nèi)有兩個實數(shù)解，，

當(dāng)時，函數(shù)在上恰有三個不同的零點，即，即與的圖象有三個交點，如下圖，

當(dāng)時，必有1個交點，當(dāng)時，與有2個交點，所以，即在上有根，令故，解得：.綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查函數(shù)方程的應(yīng)用，結(jié)合分段函數(shù)的表達式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．14．【分析】以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標系，由，列出方程組，求得，從而得到；設(shè)，則，由即可求得的最小值.【詳解】，以點A為坐標原點，分別以AB，AF所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標系，

正八邊形內(nèi)角和為，則，所以，，，，，，，，，，因為，則，所以，解得，，所以；設(shè)，則，，，則，所以，當(dāng)點P在線段GH上時，取最小值．故答案為：；．15．【分析】根據(jù)古典概型概率公式求出，再由條件概率公式求解即可.【詳解】由題意，兩位游客從6個景點中隨機選擇1個景點游玩，每人都有6種不同的選法，故共有(種)不同的選法.兩人都不選擇天津之眼摩天輪的方法有(種)，故兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪的方法共有(種)，所以故兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪的概率.AB表示兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪，且兩位游客選擇的景點不同，即一人選擇天津之眼摩天輪，另一人選擇其它景點，共有(種)選法，故，所以.故答案為：；.16．(1)(2)3(3)【分析】（1）根據(jù)題意由正弦定理以及銳角三角形可得；（2）利用余弦定理解方程可得；（3）根據(jù)二倍角以及兩角和的余弦公式即可計算出.【詳解】（1）由于，所以，由根據(jù)正弦定理可得，所以，且三角形為銳角三角形，即所以.（2）在中，由余弦定理知，即，解得或（舍），故.（3）由，可得，所以，，即17．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由已知可得兩兩垂直，所以以為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，通過向量證明線線平行，再證明線面平行即可；（2）分別求出相關(guān)平面的法向量后，再運用夾角公式計算即可；（3）根據(jù)已知條件求出點的坐標，再計算長度即可．【詳解】（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，平面，所以，因為，所以兩兩垂直，所以以為坐標原點，以所在的直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為，，E為CD的中點，M在AB上，且，所以．所以所以，所以，又，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．（2）．設(shè)平面的法向量為，則有，可取，由題意，平面的一個法向量可取，設(shè)平面PAD與平面PBC所成銳二面角為，則，所以平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為．（3）設(shè)，，即，可得，所以，又，由題意有，化簡得，解得或（舍），所以，所以.18．(1)(2)【分析】（1）依題意列方程組求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，利用韋達定理法可得，進而可得直線，的方程，可得點代入橢圓方程，即得.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓的標準方程為：；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，所以，所以，代入直線的方程為：，所以，（i）當(dāng)不垂直于軸時，，所以直線的方程為：，，直線的方程為：，聯(lián)立，可得，即，又因為在橢圓上，所以，整理可得：，解得，又，解得.（ii）當(dāng)軸，則，則，這時，這時，顯然不垂直，綜上所述：的值為.19．(1)，(2)證明見解析(3)【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量法求得通項公式；（2）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項和公式求得后，用作差法證明；（3）并項然后裂項求和．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意，，即，解得.所以.因為，，所以，從而.（2）由（1）知，，所以.因為，所以.（3）因為，所以．20．(1)；(2)在(?∞,0),(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,的極小值為，無極大值；(3)證明見詳解.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，確定單調(diào)性進而可得極值；（3）根據(jù)同構(gòu)和函數(shù)的單調(diào)性以及二次求導(dǎo)即可求解.【詳解】（1）因為，所以，所以，又在處的切線與軸平行，所以，所以，所以，即，所以；（2）因為,所以的定義域為,，令,得,當(dāng)變化時的關(guān)系如下表:01無意義0+無意義極小值所以在(?∞,0),(0,1)上單調(diào)遞減;在(1,+∞)上單調(diào)遞增.所以的極小值為，為極大值；（3）證明：要證,只需證，根據(jù),只需證，又，是兩個不相等的正數(shù)，不妨設(shè),由得,兩邊取指數(shù),,化簡得:，令，所以，根據(jù)（2）得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（如圖所示),

由于在上單調(diào)遞減,在上單