高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)測評9-8-1圓錐曲線中求值與證明問題

核心素養(yǎng)測評五十三圓錐曲線中求值與證明問題(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知拋物線y2=2px(p>0)過點(diǎn)AQUOTE,其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B,直線AB與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M,若=λ,則實(shí)數(shù)λ為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.3【解析】選C.把點(diǎn)AQUOTE代入拋物線方程,得2=2p×QUOTE,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x,則B(1,0).設(shè)MQUOTE,則=QUOTE,=QUOTE.由=λ,得QUOTE,解得λ=2或λ=1(舍去).2.已知F1,F2是橢圓QUOTE+QUOTE=1的左右焦點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為QUOTE,則∠F1AF2的平分線l所在直線的斜率為 ()A.2 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)锳QUOTE,可知A在橢圓上,又F1,F2是橢圓QUOTE+QUOTE=1的左右焦點(diǎn),F1(1,0),所以AF1⊥x軸,所以|AF1|=QUOTE,|AF2|=QUOTE,所以點(diǎn)F2(1,0)關(guān)于∠F1AF2的平分線l對稱的點(diǎn)F在線段AF1的延長線上,又|AF|=|AF2|=QUOTE,|FF1|=1,所以F(1,1),線段FF2的中點(diǎn)QUOTE,∠F1AF2的平分線l的斜率k=QUOTE=2.3.已知雙曲線C:QUOTEx24y2=1的左焦點(diǎn)恰好在拋物線D:y2=2px(p≠0)的準(zhǔn)線上,過點(diǎn)P(1,2)作兩直線PA,PB分別與拋物線D交于A,B兩點(diǎn),若直線PA,PB的傾斜角互補(bǔ),則點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)之和為 ()A.2 B.4 C.4 D.±4【解析】選C.C的左焦點(diǎn)F(1,0),D的準(zhǔn)線x=QUOTE,故p=2.運(yùn)用極端化思想處理,當(dāng)兩直線PA,PB重合時(shí),A,B的坐標(biāo)均為(1,2),點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)之和為4.一般性證明:設(shè)AQUOTE,BQUOTE,則kPA+kPB=0?QUOTE+QUOTE=0?QUOTE+QUOTE=0?y1+y2=4.4.(多選)(2020·德州模擬)已知雙曲線C:QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為QUOTE,右頂點(diǎn)為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn),則有 ()A.漸近線方程為y=±QUOTExB.漸近線方程為y=±QUOTExC.∠MAN=60°D.∠MAN=120°【解析】選BC.由題意可得e=QUOTE=QUOTE,可設(shè)c=2t,a=QUOTEt,t>0,則b=QUOTE=t,A(QUOTEt,0),圓A的圓心為(QUOTEt,0),半徑r為t,雙曲線的漸近線方程為y=±QUOTEx,即y=±QUOTEx,圓心A到漸近線的距離為d=QUOTE=QUOTEt,弦長|MN|=2QUOTE=2QUOTE=t=b,可得三角形MNA為等邊三角形,即有∠MAN=60°.二、填空題(每小題5分，共10分)5.設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),滿足=3,若S△OAB=QUOTE,則p=________.

【解析】可得FQUOTE,因?yàn)?3,所以yA=3yB,因?yàn)锳,B,F共線,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,解得|yB|=QUOTEp,又S△OAB=QUOTE×QUOTE×|yAyB|=p|yB|=QUOTEp2=QUOTE,所以p=2.答案:26.(2020·杭州模擬)若雙曲線mx2y2=1的漸近線為y=±2x,則m=________;焦點(diǎn)F到漸近線的距離為________.

【解析】由雙曲線的方程知m>0,由mx2y2=0得y=±QUOTEx,因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±2x,所以QUOTE=2,得m=4,雙曲線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為QUOTE,焦點(diǎn)F到漸近線的距離為:QUOTE=1.答案:41三、解答題(每小題10分,共20分)7.已知拋物線C:y2=2px(p>0),直線y=x1與C相交所得的弦長為8. 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求p的值.(2)過原點(diǎn)O的直線l與拋物線C交于M點(diǎn),與直線x=1交于H點(diǎn),過點(diǎn)H作y軸的垂線交拋物線C于N點(diǎn),求證:直線MN過定點(diǎn).【解析】(1)由QUOTE,消x可得y22py2p=0,所以y1+y2=2p,y1y2=2p,所以弦長為QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=8,解得p=2或p=4(舍去),所以p=2.(2)由(1)可得y2=4x,設(shè)MQUOTE,所以直線OM的方程為y=QUOTEx,當(dāng)x=1時(shí),yH=QUOTE,代入拋物線方程y2=4x,可得xN=QUOTE,所以NQUOTE,①當(dāng)QUOTE≠Q(mào)UOTE,即y0≠±2時(shí),直線MN的斜率k=QUOTE=QUOTE,直線MN的方程為yy0=QUOTE,整理可得y=QUOTE(x1),故直線MN過定點(diǎn)(1,0).②當(dāng)QUOTE=QUOTE,即y0=±2時(shí),直線MN的方程為x=1,必過點(diǎn)(1,0),綜上,直線MN過定點(diǎn)(1,0).8.已知拋物線E:y2=4x,圓C:(x3)2+y2=1. 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)若過拋物線E的焦點(diǎn)F的直線l與圓C相切,求直線l的方程.(2)在(1)的條件下,若直線l交拋物線E于A,B兩點(diǎn),x軸上是否存在點(diǎn)M(t,0)使∠AMO=∠BMO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【解析】(1)由題知拋物線E的焦點(diǎn)為F(1,0),當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),過點(diǎn)F(1,0)的直線不可能與圓C相切,所以過拋物線焦點(diǎn)與圓相切的直線的斜率存在,設(shè)直線斜率為k,則所求的直線方程為y=k(x1),即kxyk=0,所以圓心(3,0)到直線l的距離為d=QUOTE=QUOTE,當(dāng)直線l與圓相切時(shí),有d=1?QUOTE=1?k=±QUOTE,所以所求的切線方程為y=QUOTE(x1)或y=QUOTE(x1).(2)由(1)知,不妨設(shè)直線l:y=QUOTE(x1),交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),聯(lián)立方程組QUOTE?x214x+1=0,所以x1+x2=14,x1·x2=1,假設(shè)存在點(diǎn)M(t,0)使∠AMO=∠BMO,則kAM+kBM=0.而kAM=QUOTE,kBM=QUOTE,所以kAM+kBM=QUOTE+QUOTE=QUOTE