北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專題17 解一元一次方程50道題專訓(xùn)（5大題型）（原卷版+解析）

專題17解一元一次方程50道題專訓(xùn)（5大題型）【題型目錄】題型一解簡(jiǎn)單的一元一次方程題型二解復(fù)雜的一元一次方程題型三一元一次方程的整數(shù)解問(wèn)題題型四一元一次方程的新定義問(wèn)題題型五解含絕對(duì)值的一元一次方程【經(jīng)典例題一解簡(jiǎn)單的一元一次方程】1．（2023上·福建廈門·七年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┙夥匠?1)(2)2．（2023上·黑龍江大慶·七年級(jí)校聯(lián)考期中）解方程：(1)(2)(3)(4)3．（2023上·北京東城·七年級(jí)匯文中學(xué)校聯(lián)考期中）解方程：(1)；(2)．4．（2023上·湖北武漢·七年級(jí)武漢市糧道街中學(xué)校聯(lián)考期中）解方程：(1)；(2)．5．（2023上·重慶渝中·七年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)6．（2023上·廣東廣州·七年級(jí)?？计谥校┙夥匠?1)(2)7．（2023上·四川德陽(yáng)·七年級(jí)校考期中）解方程：(1)；(2)．8．（2023上·廣東廣州·七年級(jí)華美英語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┙夥匠蹋?1)(2)10．（2022上·北京大興·七年級(jí)?？计谀┙夥匠?1)(2)(3)(4)(5)(6)【經(jīng)典例題二解復(fù)雜的一元一次方程】11．（2023上·福建福州·七年級(jí)福建省福州楊橋中學(xué)校考期中）已知，將關(guān)于x的方程記作方程G．(1)當(dāng)，時(shí)，直接寫出方程G的解為_(kāi)_____；(2)若方程G的解為，求多項(xiàng)式的值；(3)若方程G的解為，求關(guān)于y的方程的解．12．（2023上·重慶北碚·七年級(jí)西南大學(xué)附中校考期中）若a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m是最小的正整數(shù)，求關(guān)于x的方程的解．13．（2023上·廣東中山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，．(1)計(jì)算：；(2)若的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值．14．（2022下·河南南陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在小組活動(dòng)中，同學(xué)們采用接力的方式求一元一次方程的解，規(guī)則：每人只能看到前一名同學(xué)給的式子，并進(jìn)行一步求解，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后求出方程的解．過(guò)程如下：一元一次方程：．A同學(xué)：．B同學(xué)：．C同學(xué)：．D同學(xué)：．E同學(xué)：．(1)求解過(guò)程中有哪些同學(xué)出現(xiàn)了錯(cuò)誤？錯(cuò)誤原因分別是什么？(2)請(qǐng)寫出本題的正確解題過(guò)程．15．（2023上·福建廈門·七年級(jí)福建省廈門集美中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的多項(xiàng)式A，B，其中，（m，n為有理數(shù)）．(1)化簡(jiǎn)；(2)若的結(jié)果不含x項(xiàng)和項(xiàng)，求m、n的值．16．（2022上·浙江臺(tái)州·七年級(jí)?？计谥校┤舴匠痰慕馀c關(guān)于x的方程的解相同，求k的值．17．（2021上·陜西渭南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程和的解的和為5，求m的值．18．（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知方程的解和方程的解互為相反數(shù)，求a的值．19．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程是一元一次方程．(1)求的值；(2)若已知方程與方程的解互為相反數(shù)，求b的值；(3)若已知方程與關(guān)于x的方程的解相同，求b的值．20．（2023上·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在解方程時(shí)，可先將，分別看成整體進(jìn)行移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得方程，然后再繼續(xù)求解，這種方法叫做整體求解法，請(qǐng)用這種方法解方程：(1)；(2)．【經(jīng)典例題三一元一次方程的整數(shù)解問(wèn)題】21．（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）當(dāng)整數(shù)k為何值時(shí)，方程有正整數(shù)解？并求出正整數(shù)解．22．（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）是否存在整數(shù)k，使關(guān)于x的方程有整數(shù)解？并求出解．23．（22·23七年級(jí)上·江蘇·期末）閱讀與理解：已知關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，求整數(shù)k的值．解：，，因?yàn)殛P(guān)于x的方程，有正整數(shù)解，所以為正整數(shù)，因?yàn)閗為整數(shù)，所以或，所以或；探究與應(yīng)用：應(yīng)用上邊的解題方法，已知關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，求整數(shù)k的值．24．（2022七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若關(guān)于的一元一次方程有一個(gè)正整數(shù)解，則可取的最小正數(shù)是多少？并求出相應(yīng)的解．25．（20·21七年級(jí)上·四川成都·期中）回答下列問(wèn)題．（1）已知方程是關(guān)于x的一元一次方程，求k的值．（2）已知關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，則整數(shù)k的值為？26．（20·21六年級(jí)下·上海浦東新·期中）已知方程有正整數(shù)解，求奇數(shù)的值．27．（22·23七年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）關(guān)于的一元一次方程，其中是正整數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若方程有正整數(shù)解，求的值．28．（21·22七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元一次方程，其中m是正整數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若方程有正整數(shù)解，求m的值．29．（18·19七年級(jí)上·北京石景山·期末）已知關(guān)于的一元一次方程，其中為整數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解(2)若該方程有整數(shù)解，求的值30．（22·23七年級(jí)上·湖南郴州·階段練習(xí)）在一元一次方程中，如果兩個(gè)方程的解相同，則稱這兩個(gè)方程為同解方程．(1)若關(guān)于的兩個(gè)方程與是同解方程，求的值；(2)已知關(guān)于的方程有整數(shù)解，那么滿足條件的所有整數(shù)_______．(3)若關(guān)于的兩個(gè)方程與是同解方程，求此時(shí)符合要求的正整數(shù)的值．【經(jīng)典例題四一元一次方程的新定義問(wèn)題】31．（2023上·安徽安慶·七年級(jí)安慶市第四中學(xué)?？计谥校┒x：若，則稱與是關(guān)于2的平衡數(shù)．(1)3與__________是關(guān)于2的平衡數(shù)．(2)若，，判斷與是否是關(guān)于2的平衡數(shù)，并說(shuō)明理由．(3)若，，且與是關(guān)于2的平衡數(shù)．若為正整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)的值．32．（2023上·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：若，則稱與是關(guān)于3的平安數(shù)．(1)4與是關(guān)于3的平安數(shù)，與是關(guān)于3的平安數(shù)．（填一個(gè)含的代數(shù)式）(2)若，，判斷與是否是關(guān)于3的平安數(shù)，并說(shuō)明理由．(3)若，，且與是關(guān)于3的平安數(shù)，若為正整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)的值．33．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）定義：關(guān)于x的方程與方程0（a，b均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對(duì)方程”，例如：方程與方程互為“反對(duì)方程”．(1)若關(guān)于x的方程與方程互為“反對(duì)方程”，則___________．(2)若關(guān)于x的方程與方程互為“反對(duì)方程”，求的值．(3)若關(guān)于x的方程與其“反對(duì)方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)c的值．34．（2023上·江西贛州·七年級(jí)于都縣第二中學(xué)?？计谀┪覀円?guī)定關(guān)于x的一元一次方程的解為，則稱該方程是“差解方程”，例如：的解為，則該方程就是“差解方程”，請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：【定義理解】（1）判斷：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知識(shí)應(yīng)用】（3）已知關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，則__________．（4）已知關(guān)于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代數(shù)式的值．35．（2022上·浙江金華·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：對(duì)于任意兩個(gè)不相等的有理數(shù)a，b，計(jì)算：，，所得結(jié)果的最小值稱為a，b的“關(guān)聯(lián)差”．例如：，2．因?yàn)?，，所以?的“關(guān)聯(lián)差”為．(1)3，的“關(guān)聯(lián)差”為_(kāi)_____；(2)，8的“關(guān)聯(lián)差”與8，的“關(guān)聯(lián)差”有何關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)2，的“關(guān)聯(lián)差”為時(shí)，求x的值．36．（2023下·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為0，我們就稱這兩個(gè)方程為“友好方程”．例如：的解為；的解為，所以這兩個(gè)方程為“友好方程”．(1)若關(guān)于x的一元一次方程與是“友好方程”，則m．(2)已知兩個(gè)一元一次方程為“友好方程”，且這兩個(gè)“友好方程”的解的差為3．若其中一個(gè)方程的解為，求k的值．(3)若關(guān)于x的一元一次方程和是“友好方程”，則關(guān)于y的一元一次方程的解為．37．（2022上·湖南永州·七年級(jí)?？计谥校┒x：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個(gè)方程為“美好方程”．例如：方程和為“美好方程”．(1)若關(guān)于x的方程與方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的兩個(gè)解的差為7，其中一個(gè)解為n，求n的值；(3)若關(guān)于x的一元一次方程和是“美好方程”，求關(guān)于y的一元一次方程的解．38．（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)校聯(lián)考期末）新定義：若任意兩數(shù)，按規(guī)定得到一個(gè)新數(shù)“”，則稱所得新數(shù)是數(shù)的“快樂(lè)返校學(xué)習(xí)數(shù)”．(1)若，求的“快樂(lè)返校學(xué)習(xí)數(shù)”；(2)若，且，求的“快樂(lè)返校學(xué)習(xí)數(shù)”；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出關(guān)于的方程的解．39．（2023下·福建泉州·七年級(jí)泉州五中?？计谥校┒x：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個(gè)方程為“美好方程”．例如：方程和為“美好方程”．(1)請(qǐng)判斷方程與方程是否互為“美好方程”；(2)若關(guān)于方程與是“美好方程”，求關(guān)于的方程的解．40．（2022上·山西臨汾·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與思考：定義：若，則稱與是關(guān)于1的平衡數(shù)．任務(wù)一：（1）3與______是關(guān)于1的平衡數(shù)，與______（用含的整式表示）是關(guān)于1的平衡數(shù)；任務(wù)二：（2）若，，判斷與是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題五解含絕對(duì)值的一元一次方程】41．（2022七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解下列絕對(duì)值方程：(1)(2)42．（2022七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）閱讀下題和解題過(guò)程：化簡(jiǎn)，使結(jié)果不含絕對(duì)值．解：①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原式；②當(dāng)，即時(shí)，原式這種解題的方法叫“分類討論法”．請(qǐng)你用“分類討論法”解下列方程：(1)；(2)．43．（22·23七年級(jí)上·湖南湘西·階段練習(xí)）閱讀理解：在解形如這類含有絕對(duì)值的方程時(shí)，解法一：我們可以運(yùn)用整體思想來(lái)解．移項(xiàng)得，，，，或．解法二：運(yùn)用分類討論的思想，根據(jù)絕對(duì)值的意義分和兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得，符合；②當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得，符合．原方程的解為或．解題回顧：本解法中2為的零點(diǎn)，它把數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分成了和兩部分，所以分和兩種情況討論．問(wèn)題：結(jié)合上面閱讀材料，解下列方程：(1)解方程：(2)解方程：44．（22·23八年級(jí)上·浙江寧波·期中）絕對(duì)值拓展材料：表示數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．一般地，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B之間的距離可表示為．(1)A、B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為4．①A、B兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)__________；②若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)P到A的距離是點(diǎn)P到B距離的2倍，則點(diǎn)P所表示的數(shù)是___________；(2)的最小值為_(kāi)__________，若滿足時(shí)，則x的值是___________．45．（22·23七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是______；數(shù)軸上表示和2兩點(diǎn)之間的距離是______；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．那么，數(shù)軸上表示數(shù)x與5兩點(diǎn)之間的距離可以表示為_(kāi)_____，表示數(shù)y與兩點(diǎn)之間的距離可以表示為_(kāi)_____．(2)如果表示數(shù)a和的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么______；若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于與2之間，則的值為_(kāi)_____．(3)找出所有符合條件的整數(shù)a，使成立，直接寫出結(jié)果．(4)由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)a，是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．46．（23·24七年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）先看例題，再解答后面的問(wèn)題．【例】解方程：．解法一：當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得；當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得，所以原方程的解為或．解法二：移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得．由絕對(duì)值的意義知，所以原方程的解為或．問(wèn)題：用兩種方法解方程．47．（22·23七年級(jí)上·江西吉安·期末）學(xué)習(xí)了數(shù)軸與絕對(duì)值知識(shí)后，我們知道：數(shù)軸上表示數(shù)m與數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離為．例如：數(shù)軸上表示5和1的兩點(diǎn)之間的距離是|5﹣1|＝4．利用以上信息，解答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示和3的兩點(diǎn)之間的距離是；表示數(shù)a和的兩點(diǎn)之間的距離是；(2)若，則；(3)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于與之間，則．48．（22·23七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）閱讀理解：在形如這一類含有絕對(duì)值的方程時(shí)，為了去絕對(duì)值符號(hào)，我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里面是相同的“”，可以根據(jù)絕對(duì)值的意義先對(duì)“x”的取值分成和兩種情況，再去絕對(duì)值符號(hào)：①當(dāng)時(shí)，原方程可化為，得，不符合，舍去；②當(dāng)時(shí)，原方程可化為，得，符合．綜合可得原方程的為．(1)方法應(yīng)用：解方程：(2)拓展應(yīng)用：方程：；（提示；可以考慮先對(duì)“x”的取值進(jìn)行分類，去了一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)后；再對(duì)“x”的取值進(jìn)行分類，去掉另一個(gè)絕對(duì)值符號(hào)）(3)遷移應(yīng)用：求的最小值．49．（22·23七年級(jí)上·安徽池州·期末）我們知道由，可得或，例如解方程：，我們只要把看成一個(gè)整體就可以根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問(wèn)題．解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，得或，所以或．根據(jù)以上材料解決下列問(wèn)題：(1)解方程：；(2)解方程：．50．（20·21七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）根據(jù)絕對(duì)值定義，若有|x|＝4，則x＝4或﹣4，若|y|＝a，則y＝±a，我們可以根據(jù)這樣的結(jié)論，解一些簡(jiǎn)單的絕對(duì)值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化為：2x+4＝5或2x+4＝﹣5當(dāng)2x+4＝5時(shí)，則有：2x＝1，所以x＝當(dāng)2x+4＝﹣5時(shí)，則有：2x＝﹣9；所以x＝﹣故，方程|2x+4|＝5的解為x＝或x＝﹣(1)解方程：|3x﹣2|＝4；(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；(3)在（2）的條件下，若a，b都是整數(shù)，則a?b的最大值是（直接寫出結(jié)果）．

專題17解一元一次方程50道題專訓(xùn)（5大題型）【題型目錄】題型一解簡(jiǎn)單的一元一次方程題型二解復(fù)雜的一元一次方程題型三一元一次方程的整數(shù)解問(wèn)題題型四一元一次方程的新定義問(wèn)題題型五解含絕對(duì)值的一元一次方程【經(jīng)典例題一解簡(jiǎn)單的一元一次方程】1．（2023上·福建廈門·七年級(jí)廈門市湖濱中學(xué)?？计谥校┙夥匠?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元一次方程的求解，熟練掌握求解方法是解題關(guān)鍵（1）通過(guò)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟進(jìn)行求解即可；（2）通過(guò)去分母，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，解得：；（2），去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，解得：．2．（2023上·黑龍江大慶·七年級(jí)校聯(lián)考期中）解方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了解一元一次方程，（1）通過(guò)移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可解答；（2）通過(guò)去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可解答；（3）通過(guò)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可解答；（4）通過(guò)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可解答，【詳解】（1）解：，，,；（2）解：，，，，；（3）解：，，，，，；（4）解：，，，，，．3．（2023上·北京東城·七年級(jí)匯文中學(xué)校聯(lián)考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了一元一次方程的求解，掌握解方程的步驟是解題關(guān)鍵．（1）將方程移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可求出結(jié)果；（2）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)，得：，合并同類項(xiàng)得：，解得：；（2），去分母，得：，去括號(hào)，得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，解得：．4．（2023上·湖北武漢·七年級(jí)武漢市糧道街中學(xué)校聯(lián)考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵；（1）按照去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟求解即可；（2）按照去分母，去括號(hào)，一小時(shí)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程即可．【詳解】（1）解：去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：；（2）解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：．5．（2023上·重慶渝中·七年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程移項(xiàng)合并，將系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，將系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】（1）解：移項(xiàng)合并得：，解得：；（2）方程去分母得：，移項(xiàng)合并得：，解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，將未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．6．（2023上·廣東廣州·七年級(jí)校考期中）解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解【詳解】（1）去括號(hào)得：，移項(xiàng)得，，合并得：，系數(shù)化為1得：；（2）去分母得：去括號(hào)得：移項(xiàng)得，合并得：解得：．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．7．（2023上·四川德陽(yáng)·七年級(jí)?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1．（1）移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，據(jù)此求出方程的解是多少即可．（2）去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，據(jù)此求出方程的解是多少即可．【詳解】（1），移項(xiàng)得，合并得，系數(shù)化1得；（2），去括號(hào)得，移項(xiàng)得，合并得，系數(shù)化1得．8．（2023上·廣東廣州·七年級(jí)華美英語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┙夥匠蹋?1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元一次方程的方法，（1）移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，據(jù)此求出方程的解即可．（2）去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，據(jù)此求出方程的解即可．【詳解】（1）解：移項(xiàng)，可得：，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，可得：．（2）去分母，可得：，去括號(hào)，可得：，移項(xiàng)，可得：，合并同類項(xiàng)，可得：，系數(shù)化為1，可得：．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┙夥匠蹋?1)(2)【答案】(1)；(2)；【分析】本題考查一元一次方程的解法，熟練掌握一元一次方程的解法是解題關(guān)鍵（1）根據(jù)解一元一次方程的方法：有分母先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可得到答案；（2）根據(jù)解一元一次方程的方法：有分母先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1即可得到答案；【詳解】（1）解：去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，；（2）解：去分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為1得，；10．（2022上·北京大興·七年級(jí)?？计谀┙夥匠?1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，(3)(4)或(5)(6)【分析】（1）根據(jù)去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可；（2）分和兩種情況解答即可；（3）根據(jù)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可；（4）分、、三種情況，分別按照去括號(hào)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可；（5）分、兩種情況，分別按照移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可；（6）按照移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可．【詳解】（1）解：．（2）解：當(dāng)時(shí)，原方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，（3）解：．（4）解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得：；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得：，不符題意舍棄；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得：；綜上，或．（5）解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得：，不符題意應(yīng)舍棄；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得：；綜上，．（6）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程，解含絕對(duì)值的一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握解一元一次方程的步驟和零點(diǎn)分段法是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二解復(fù)雜的一元一次方程】11．（2023上·福建福州·七年級(jí)福建省福州楊橋中學(xué)?？计谥校┮阎瑢㈥P(guān)于x的方程記作方程G．(1)當(dāng)，時(shí)，直接寫出方程G的解為_(kāi)_____；(2)若方程G的解為，求多項(xiàng)式的值；(3)若方程G的解為，求關(guān)于y的方程的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了方程的解和含參數(shù)的一元一次方程的解法，含參數(shù)的一次方程的解題步驟與數(shù)字系數(shù)的一元一次方程的解法相同，解題時(shí)注意未知數(shù)系數(shù)的取值范圍．（1）把，代入方程，即可求出x的值；（2）把代入方程，可得，據(jù)此可求得的值；（3）把代入，可得，代入求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，時(shí)，方程為：，解得：．故答案為：；（2）解：若方程的解為，代入方程得：，∴，∴．（3）解：依題意：，∵，∴，關(guān)于y的方程可變?yōu)?，∴，解得：?2．（2023上·重慶北碚·七年級(jí)西南大學(xué)附中?？计谥校┤鬭、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m是最小的正整數(shù)，求關(guān)于x的方程的解．【答案】【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)得，由倒數(shù)的性質(zhì)得，最小的正整數(shù)得，代入方程其解即可．【詳解】解：∵a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m是最小的正整數(shù)，∴，，，∴原方程化簡(jiǎn)為，去分母，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得．【點(diǎn)睛】本題考查相反數(shù)與倒數(shù)，解一元一次方程，熟記相反數(shù)與倒數(shù)的性質(zhì)，以及最小的正整數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．13．（2023上·廣東中山·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，．(1)計(jì)算：；(2)若的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式，去括號(hào)，合并同類項(xiàng)即可；（2）與無(wú)關(guān)的條件是的系數(shù)為0，即含有的項(xiàng)為0，即可獲得答案．【詳解】（1）解：；（2）由（1）知，，若的值與的取值無(wú)關(guān)，則有，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式運(yùn)算、整式的加減中的無(wú)關(guān)型計(jì)算、解一元一次方程等知識(shí)，熟練掌握去括號(hào)的法則，明確整式的加減中的無(wú)關(guān)型計(jì)算的核心條件是解題的關(guān)鍵．14．（2022下·河南南陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在小組活動(dòng)中，同學(xué)們采用接力的方式求一元一次方程的解，規(guī)則：每人只能看到前一名同學(xué)給的式子，并進(jìn)行一步求解，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后求出方程的解．過(guò)程如下：一元一次方程：．A同學(xué)：．B同學(xué)：．C同學(xué)：．D同學(xué)：．E同學(xué)：．(1)求解過(guò)程中有哪些同學(xué)出現(xiàn)了錯(cuò)誤？錯(cuò)誤原因分別是什么？(2)請(qǐng)寫出本題的正確解題過(guò)程．【答案】(1)A同學(xué)，C同學(xué)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，A同學(xué)的錯(cuò)誤原因是去分母時(shí)，常數(shù)項(xiàng)漏乘4；C同學(xué)的錯(cuò)誤原因是移項(xiàng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)解一元一次方程的一般步驟進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)解一元一次方程的一般步驟求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得，A同學(xué)：去分母得，，C同學(xué)：移項(xiàng)得，，∴A同學(xué)，C同學(xué)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，A同學(xué)的錯(cuò)誤原因是去分母時(shí)，常數(shù)項(xiàng)漏乘4；C同學(xué)的錯(cuò)誤原因是移項(xiàng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)沒(méi)有變號(hào)；（2）解：去分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為1得，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·福建廈門·七年級(jí)福建省廈門集美中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于x的多項(xiàng)式A，B，其中，（m，n為有理數(shù)）．(1)化簡(jiǎn)；(2)若的結(jié)果不含x項(xiàng)和項(xiàng)，求m、n的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)整式的減法運(yùn)算法則求解即可；（2）令x項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)為零列方程求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：由（1）得，∵的結(jié)果不含x項(xiàng)和項(xiàng)，∴，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減運(yùn)算以及不含某項(xiàng)的問(wèn)題，熟練掌握運(yùn)算法則并正確求解即可．16．（2022上·浙江臺(tái)州·七年級(jí)校考期中）若方程的解與關(guān)于x的方程的解相同，求k的值．【答案】的值為【分析】先根據(jù)題意求出方程的解，之后把解代入方程即可求出．【詳解】解：，去括號(hào)，得，移項(xiàng)，得，合并，得，系數(shù)化為1，得，方程的解也是方程的解，，解得，的值為．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程和一元一次方程的解，掌握定義是關(guān)鍵．17．（2021上·陜西渭南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于x的方程和的解的和為5，求m的值．【答案】【分析】先求出方程的解，再求出的解是，再把代入，即可求出m．【詳解】解：解方程，得．因?yàn)榉匠毯偷慕獾暮蜑?，所以方程的解為．將代入，得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，能求出關(guān)于m的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．18．（2021上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知方程的解和方程的解互為相反數(shù)，求a的值．【答案】【分析】通過(guò)解方程求得的值．然后根據(jù)相反數(shù)的定義把的值代入方程，列出關(guān)于的新方程，通過(guò)解新方程可以求得的值．【詳解】解：解方程，解得：，則依題意，得，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義．使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，掌握一元一次方程解的定義是解題的關(guān)鍵．19．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程是一元一次方程．(1)求的值；(2)若已知方程與方程的解互為相反數(shù)，求b的值；(3)若已知方程與關(guān)于x的方程的解相同，求b的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先求出方程的解為，然后把代入原方程中進(jìn)行計(jì)算即可；（3）求出兩個(gè)方程的解，根據(jù)同解方程的定義列出關(guān)于的方程即可．【詳解】（1）解：由題意得：且，且，，的值為；（2））解：，，，已知方程與方程的解互為相反數(shù)，把，代入中可得：，，的值為：；（3）解：把代入中可得：，，，，已知方程與關(guān)于的方程的解相同，，解得：的值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程，一元一次方程的定義，絕對(duì)值，熟練掌握一元一次方程的定義，是解題的關(guān)鍵．20．（2023上·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在解方程時(shí)，可先將，分別看成整體進(jìn)行移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得方程，然后再繼續(xù)求解，這種方法叫做整體求解法，請(qǐng)用這種方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將看成一個(gè)整體，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化成1即可．（2）將、分別看成一個(gè)整體，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化成1即可．【詳解】（1）移項(xiàng)，得，整體合并，得，即，解得.（2）.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，解得.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是要注意用了整體代入思想．【經(jīng)典例題三一元一次方程的整數(shù)解問(wèn)題】21．（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）當(dāng)整數(shù)k為何值時(shí)，方程有正整數(shù)解？并求出正整數(shù)解．【答案】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】先求出方程的解，再根據(jù)正整數(shù)的特性進(jìn)行分析即可得．【詳解】解：，，因?yàn)榉匠逃姓麛?shù)解，所以，即，所以，要使方程有正整數(shù)解，則為正整數(shù)即可，因此，或，∴或，當(dāng)時(shí)，方程的正整數(shù)解為；當(dāng)時(shí)，方程的正整數(shù)解為；答：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了求一元一次方程的特殊解，正確求出方程的解為是解題關(guān)鍵．22．（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）是否存在整數(shù)k，使關(guān)于x的方程有整數(shù)解？并求出解．【答案】當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，【分析】把方程的解x用k的代數(shù)式表示，利用整除的知識(shí)求出k．【詳解】解：移項(xiàng)合并得：，∴，∵在整數(shù)范圍內(nèi)有解，∴或，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程的知識(shí)，關(guān)鍵是要知道在整數(shù)范圍內(nèi)有解所表示的含義．23．（22·23七年級(jí)上·江蘇·期末）閱讀與理解：已知關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，求整數(shù)k的值．解：，，因?yàn)殛P(guān)于x的方程，有正整數(shù)解，所以為正整數(shù)，因?yàn)閗為整數(shù)，所以或，所以或；探究與應(yīng)用：應(yīng)用上邊的解題方法，已知關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，求整數(shù)k的值．【答案】7或4或3或2【分析】移項(xiàng)合并可得，由此可判斷出k所能取得的整數(shù)值．【詳解】解：，，，，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有正整數(shù)解，所以為正整數(shù)，因?yàn)閗為整數(shù)，所以或或或，解得或或或．故整數(shù)k的值為7或4或3或2．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程的知識(shí)，注意理解方程的解為整數(shù)所表示的含義．24．（2022七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若關(guān)于的一元一次方程有一個(gè)正整數(shù)解，則可取的最小正數(shù)是多少？并求出相應(yīng)的解．【答案】可取的最小正數(shù)是，【分析】方程的解為，有一個(gè)正整數(shù)解，由此即可判斷參數(shù)的值，并取最小的正數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：由，得，，∴，即，要使為正整數(shù)，即最小的正整數(shù)是，取最小的正數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴，．故可取的最小正數(shù)是，．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程解的取值，掌握一元一次方程解的不同取值判斷參數(shù)的取值是解題的關(guān)鍵．25．（20·21七年級(jí)上·四川成都·期中）回答下列問(wèn)題．（1）已知方程是關(guān)于x的一元一次方程，求k的值．（2）已知關(guān)于x的方程有正整數(shù)解，則整數(shù)k的值為？【答案】（1）；（2）0，2，4，14．【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的概念和絕對(duì)值的性質(zhì)即可求解k的值；（2）先求出方程的解（含k的式子），再根據(jù)方程的解為正整數(shù)即可求k的值．【詳解】（1）由題意得：，則，，則或1，綜上所述，．（2）由題意得，則，∵有正整數(shù)解，∴，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的概念和一元一次方程的解及絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的有關(guān)知識(shí)．26．（20·21六年級(jí)下·上海浦東新·期中）已知方程有正整數(shù)解，求奇數(shù)的值．【答案】或【分析】將原方程整理移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，根據(jù)該方程有解，得到關(guān)于a得方程的解，結(jié)合方程的解為正整數(shù)，a為奇數(shù)，即可解答．【詳解】移項(xiàng)，得合并同類項(xiàng)，得∵原方程有解，∴，即，∵原方程有正整數(shù)解，∴或或或，∴或或或，∴奇數(shù)或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，正確掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．27．（22·23七年級(jí)上·湖北省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）關(guān)于的一元一次方程，其中是正整數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)若方程有正整數(shù)解，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把代入方程，然后解方程即可；（2）解關(guān)于的方程得到：，然后根據(jù)是正整數(shù)來(lái)求的值．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程即為，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，；（2）解：去分母，得，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為，得，是正整數(shù)，方程有正整數(shù)解，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．28．（21·22七年級(jí)下·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元一次方程，其中m是正整數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若方程有正整數(shù)解，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解一元一次方程即可；（2）把看成常數(shù)，解方程，再根據(jù)方程有正整數(shù)解，求出即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程為．去分母，得．移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得．系數(shù)化為1，得．當(dāng)時(shí)，方程的解是．（2）解：去分母，得．移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得．系數(shù)化為1，得．是正整數(shù)，方程有正整數(shù)解，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程．熟練掌握解一元一次方程的步驟，是解題的關(guān)鍵．29．（18·19七年級(jí)上·北京石景山·期末）已知關(guān)于的一元一次方程，其中為整數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解(2)若該方程有整數(shù)解，求的值【答案】(1)(2)或或或【分析】（1）將代入關(guān)于的一元一次方程，得到，解得；（2）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的一元一次方程得到，根據(jù)該方程有整數(shù)解，，當(dāng)取及時(shí)才能滿足題意，求解即可得到答案．【詳解】（1）解：關(guān)于的一元一次方程，當(dāng)時(shí)，，即，解得；（2）解：關(guān)于的一元一次方程有整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)取、時(shí)才能使該方程有整數(shù)解為整數(shù)，或或或．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程綜合，涉及一元一次方程的解、一元一次方程的定義及解一元一次方程，正確掌握解一元一次方程的方法步驟、掌握由一元一次方程的整數(shù)解求參數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．30．（22·23七年級(jí)上·湖南郴州·階段練習(xí)）在一元一次方程中，如果兩個(gè)方程的解相同，則稱這兩個(gè)方程為同解方程．(1)若關(guān)于的兩個(gè)方程與是同解方程，求的值；(2)已知關(guān)于的方程有整數(shù)解，那么滿足條件的所有整數(shù)_______．(3)若關(guān)于的兩個(gè)方程與是同解方程，求此時(shí)符合要求的正整數(shù)的值．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】(1)根據(jù)題意解方程再把方程的解代入到求出即可；（2）把當(dāng)作已知數(shù)解方程，用含的表達(dá)式表示，再根據(jù)方程有整數(shù)解求即可；（3）把當(dāng)成已知數(shù)，用含的表達(dá)式表示，再根據(jù)兩方程同解列方程求即可；【詳解】（1）解：，把代入，得，解得（2）解：解得：∵關(guān)于的方程有整數(shù)解，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴；（3）解關(guān)于x的兩個(gè)方程與得，，∵關(guān)于x的兩個(gè)方程與是同解方程，∴，∴，，∵是正整數(shù)，∴或．【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的參數(shù)，掌握方程的解的定義以及解一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四一元一次方程的新定義問(wèn)題】31．（2023上·安徽安慶·七年級(jí)安慶市第四中學(xué)?？计谥校┒x：若，則稱與是關(guān)于2的平衡數(shù)．(1)3與__________是關(guān)于2的平衡數(shù)．(2)若，，判斷與是否是關(guān)于2的平衡數(shù)，并說(shuō)明理由．(3)若，，且與是關(guān)于2的平衡數(shù)．若為正整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)的值．【答案】(1)(2)與是關(guān)于2的平衡數(shù)，理由見(jiàn)解析(3)0或1或3【分析】本題考查整式的加減，涉及新定義和一元一次方程，解題的關(guān)鍵讀懂“關(guān)于2的平衡數(shù)”的定義．（1）根據(jù)“關(guān)于2的平衡數(shù)”定義列式計(jì)算即可；（2）求出，再根據(jù)“關(guān)于2的平衡數(shù)”的定義判斷；（3）根據(jù)已知列出方程，由x為正整數(shù)即可得到答案．【詳解】（1）解：，3與是關(guān)于2的平衡數(shù)，故答案為：；（2）∵，，∴，∴a與b是關(guān)于2的平衡數(shù)；（3），，c與d是關(guān)于2的平衡數(shù)，，x為正整數(shù)，k是非負(fù)整數(shù)，或或，k的值為0或1或3．32．（2023上·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：若，則稱與是關(guān)于3的平安數(shù)．(1)4與是關(guān)于3的平安數(shù)，與是關(guān)于3的平安數(shù)．（填一個(gè)含的代數(shù)式）(2)若，，判斷與是否是關(guān)于3的平安數(shù)，并說(shuō)明理由．(3)若，，且與是關(guān)于3的平安數(shù)，若為正整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)的值．【答案】(1)，(2)與是關(guān)于3的平安數(shù)，理由見(jiàn)解析(3)非負(fù)整數(shù)的值為0或1或3【分析】本題考查了新定義，整式的加減計(jì)算，解一元一次方程：（1）根據(jù)平安數(shù)的定義列式求解即可；（2）將和相加，化簡(jiǎn)，看最后的結(jié)果是否為3即可；（3）根據(jù)，，且與是關(guān)于3的平安數(shù)，可以得到和的關(guān)系，然后利用分類討論的方法，可以得到當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，非負(fù)整數(shù)的值．【詳解】（1）解：，4與是關(guān)于3的平安數(shù)，，與是關(guān)于3的平安數(shù)，故答案為：，；（2）解：與是關(guān)于3的平安數(shù)，理由：，，，與是關(guān)于3的平安數(shù)；（3）解：，，且與是關(guān)于3的平安數(shù)，，，，為非負(fù)整數(shù)，為正整數(shù)，又為正整數(shù)，可能是1，2，4，當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，得，非負(fù)整數(shù)的值為0或1或3．33．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考階段練習(xí)）定義：關(guān)于x的方程與方程0（a，b均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對(duì)方程”，例如：方程與方程互為“反對(duì)方程”．(1)若關(guān)于x的方程與方程互為“反對(duì)方程”，則___________．(2)若關(guān)于x的方程與方程互為“反對(duì)方程”，求的值．(3)若關(guān)于x的方程與其“反對(duì)方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)c的值．【答案】(1)2(2)(3)c的值為【分析】（1）根據(jù)“反對(duì)方程”的定義直接可得答案；（2）將“反對(duì)方程”組成方程組求解可得答案；（3）根據(jù)“反對(duì)方程”與的解均為整數(shù)，可得與都為整數(shù)，由此可得答案．【詳解】（1）解：由題可知，與方程0（a，b均為不等于0的常數(shù)）稱互為“反對(duì)方程”，∵與方程互為“反對(duì)方程”，∴，故答案為：2．（2）解：將寫成的形式，將寫成的形式，∵與方程互為“反對(duì)方程”，∴，∴，；（3）解：的“反對(duì)方程”為，由得，，當(dāng)，得，∵與的解均為整數(shù)，∴與都為整數(shù)，∵c也為整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，，都為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，都為整數(shù)，∴c的值為．【點(diǎn)睛】此題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，能夠正確理解“反對(duì)方程”的概念是解決此題關(guān)鍵．34．（2023上·江西贛州·七年級(jí)于都縣第二中學(xué)?？计谀┪覀円?guī)定關(guān)于x的一元一次方程的解為，則稱該方程是“差解方程”，例如：的解為，則該方程就是“差解方程”，請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：【定義理解】（1）判斷：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知識(shí)應(yīng)用】（3）已知關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，則__________．（4）已知關(guān)于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代數(shù)式的值．【答案】（1）是；（2）；（3）16；（4）0【分析】（1）根據(jù)差解方程的定義判斷即可；（2）根據(jù)差解方程的定義即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)差解方程的定義即可得出關(guān)于a、b的二元二次方程，整理即可得出；（4）根據(jù)差解方程的概念列式得到關(guān)于m、n的兩個(gè)方程，聯(lián)立求解得到m、n的關(guān)系，得出，，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1）∵方程的解為，∴方程是差解方程．故答案為：是；（2）由題意可知，由一元一次方程可知，∴，解得；（3）∵方程是“差解方程”，∴，解方程，得，∴，∴，即．故答案為：16；（4）∵一元一次方程是“差解方程”，∴，解方程一元一次方程得∴，整理得，∵一元一次方程是“差解方程”，∴，解方程一元一次方程得∴，整理得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解差解方程的概念并根據(jù)概念列出方程．35．（2022上·浙江金華·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：對(duì)于任意兩個(gè)不相等的有理數(shù)a，b，計(jì)算：，，所得結(jié)果的最小值稱為a，b的“關(guān)聯(lián)差”．例如：，2．因?yàn)?，，所以?的“關(guān)聯(lián)差”為．(1)3，的“關(guān)聯(lián)差”為_(kāi)_____；(2)，8的“關(guān)聯(lián)差”與8，的“關(guān)聯(lián)差”有何關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)2，的“關(guān)聯(lián)差”為時(shí)，求x的值．【答案】(1)(2)相等，理由見(jiàn)解析(3)x的值為或9【分析】（1）由題意知，，，且，進(jìn)而可確定3，的“關(guān)聯(lián)差”；（2）由，，且，可知，8的“關(guān)聯(lián)差”為；由，，且，可知8，的“關(guān)聯(lián)差”為；然后作答即可；（3）由題意得：，；當(dāng)為“關(guān)聯(lián)差”時(shí)，，解得；當(dāng)為“關(guān)聯(lián)差”時(shí)，，解得，然后作答即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，∵，∴3，的“關(guān)聯(lián)差”為，故答案為：；（2）解：相等，理由如下：∵，，且，∴，8的“關(guān)聯(lián)差”為；∵，，且，∴8，的“關(guān)聯(lián)差”為；∴，8的“關(guān)聯(lián)差”與8，的“關(guān)聯(lián)差”相等．（3）解：由題意得：，；當(dāng)為“關(guān)聯(lián)差”時(shí)，，解得；當(dāng)為“關(guān)聯(lián)差”時(shí)，，解得，∴x的值為或9．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于理解題意．36．（2023下·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為0，我們就稱這兩個(gè)方程為“友好方程”．例如：的解為；的解為，所以這兩個(gè)方程為“友好方程”．(1)若關(guān)于x的一元一次方程與是“友好方程”，則m．(2)已知兩個(gè)一元一次方程為“友好方程”，且這兩個(gè)“友好方程”的解的差為3．若其中一個(gè)方程的解為，求k的值．(3)若關(guān)于x的一元一次方程和是“友好方程”，則關(guān)于y的一元一次方程的解為．【答案】(1)；(2)或；(3)【分析】（1）分別求得兩個(gè)方程的解，利用“友好方程”的定義列出關(guān)于m的方程解答即可；（2）利用“友好方程”的定義得出兩個(gè)“友好方程”的解為，，由兩個(gè)“友好方程”的解的差為3列出關(guān)于k的方程解答即可；（3）求得方程的解，利用“友好方程”的定義得到方程的解，將關(guān)于y的一元一次方程變形，利用同解方程的定義即可得到的值，從而求得方程的解；【詳解】（1）解：∵方程的解為，方程的解為，而方程與是“友好方程”，∴，∴；故答案為：；（2）解：∵“友好方程”的一個(gè)解為，則另一個(gè)解為，依題意得或，解得或，故k的值為或；（3）解：方程的解為，∵關(guān)于x的一元一次方程和是“友好方程”，∴關(guān)于x的方程的解為，∵關(guān)于y的一元一次方程變形得，∴，∴，∴關(guān)于y的一元一次方程的解為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意義解答是解題的關(guān)鍵，本題是新定義型，理解并熟練應(yīng)用新定義解答也是解題的關(guān)鍵．37．（2022上·湖南永州·七年級(jí)?？计谥校┒x：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個(gè)方程為“美好方程”．例如：方程和為“美好方程”．(1)若關(guān)于x的方程與方程是“美好方程”，求m的值；(2)若“美好方程”的兩個(gè)解的差為7，其中一個(gè)解為n，求n的值；(3)若關(guān)于x的一元一次方程和是“美好方程”，求關(guān)于y的一元一次方程的解．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）先表示兩個(gè)方程的解，再求解；（2）根據(jù)條件建立關(guān)于n的方程，再求解；（3）根據(jù)“美好方程”求出的解為，再把變形為，即可得到．【詳解】（1）解方程得：，解方程得：，∵關(guān)于x的方程與方程是“美好方程”，∴，∴；（2）∵“美好方程”其中一個(gè)解為n，∴另一個(gè)解為，∵“美好方程”的兩個(gè)解的差為7，∴或，解得或，（3）解方程得：，∵關(guān)于x的方程與方程是“美好方程”，∴的解是，∵，∴，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定義找到方程解的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．38．（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)校聯(lián)考期末）新定義：若任意兩數(shù)，按規(guī)定得到一個(gè)新數(shù)“”，則稱所得新數(shù)是數(shù)的“快樂(lè)返校學(xué)習(xí)數(shù)”．(1)若，求的“快樂(lè)返校學(xué)習(xí)數(shù)”；(2)若，且，求的“快樂(lè)返校學(xué)習(xí)數(shù)”；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出關(guān)于的方程的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將，代入即可求解．（2）根據(jù)已知得出，將，代入，根據(jù)整式的加減化簡(jiǎn)，最后整體代入即可求解．（3）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴∴的“快樂(lè)返校學(xué)習(xí)數(shù)”（2）解：∵，∴，∵，∴，，；（3）解：∵，∴，解得：，∴，∴方程，即，去分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，有理數(shù)的混合運(yùn)算，整式的加減與化簡(jiǎn)求值，解一元一次方程，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．39．（2023下·福建泉州·七年級(jí)泉州五中?？计谥校┒x：如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1，我們就稱這兩個(gè)方程為“美好方程”．例如：方程和為“美好方程”．(1)請(qǐng)判斷方程與方程是否互為“美好方程”；(2)若關(guān)于方程與是“美好方程”，求關(guān)于的方程的解．【答案】(1)方程與方程互為“美好方程”．(2)．【分析】（1）分別求得兩個(gè)方程的解，在利用“美好方程”的定義進(jìn)行判斷即可．（2）求得方程的解，利用“美好方程”的定義得到方程的解，將關(guān)于的方程變形，利用同解方程的定義即可求得的值，從而求得方程的解．【詳解】（1）解：方程與方程互為“美好方程”，理由如下：解方程得，解方程得，∵，∴方程與方程互為“美好方程”．（2）解：解方程得，∵關(guān)于方程與是“美好方程”，∴方程的解為，將變形為，∴，∴，∴方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意義是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于新定義型題，理解并熟練運(yùn)用新定義解答也是本題的關(guān)鍵．40．（2022上·山西臨汾·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與思考：定義：若，則稱與是關(guān)于1的平衡數(shù)．任務(wù)一：（1）3與______是關(guān)于1的平衡數(shù)，與______（用含的整式表示）是關(guān)于1的平衡數(shù)；任務(wù)二：（2）若，，判斷與是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）與是關(guān)于1的平衡數(shù)，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以解答本題；（2）將相加，化簡(jiǎn)判斷即可．【詳解】（1）設(shè)與是關(guān)于1的平衡數(shù)，則，解得：，設(shè)與是關(guān)于的平衡數(shù)，則，解得：，故答案為：，；（2）與是關(guān)于1的平衡數(shù)．理由如下：∵，，，∴∴A與是關(guān)于1的平衡數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，新定義，整式的加減，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程，利用新定義解答．【經(jīng)典例題五解含絕對(duì)值的一元一次方程】41．（2022七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）解下列絕對(duì)值方程：(1)(2)【答案】(1)或(2)或【分析】（1）先去絕對(duì)值，再解一元一次方程；（2）先去絕對(duì)值，再解一元一次方程．【詳解】（1）解：∵，∴，即：或，解得：或；（2）解：∵，∴，當(dāng)時(shí)：，解得：；當(dāng)時(shí)：，解得：；綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查解絕對(duì)值方程．熟練掌握絕對(duì)值的意義，以及解一元一次方程的步驟，是解題的關(guān)鍵．42．（2022七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）閱讀下題和解題過(guò)程：化簡(jiǎn)，使結(jié)果不含絕對(duì)值．解：①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，原式；②當(dāng)，即時(shí)，原式這種解題的方法叫“分類討論法”．請(qǐng)你用“分類討論法”解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)或時(shí)，先去掉絕對(duì)值，再化簡(jiǎn)即可．（2）分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)或時(shí)，去掉絕對(duì)值，再化簡(jiǎn)即可．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，即，，解得：；②當(dāng)，即，，解得：；方程的解為或；（2）①當(dāng)時(shí)，即，，解得：；②當(dāng)，即，，解得：；方程的解為或．【點(diǎn)睛】本題考查了含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確去掉絕對(duì)值符號(hào)．43．（22·23七年級(jí)上·湖南湘西·階段練習(xí)）閱讀理解：在解形如這類含有絕對(duì)值的方程時(shí)，解法一：我們可以運(yùn)用整體思想來(lái)解．移項(xiàng)得，，，，或．解法二：運(yùn)用分類討論的思想，根據(jù)絕對(duì)值的意義分和兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得，符合；②當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得，符合．原方程的解為或．解題回顧：本解法中2為的零點(diǎn)，它把數(shù)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分成了和兩部分，所以分和兩種情況討論．問(wèn)題：結(jié)合上面閱讀材料，解下列方程：(1)解方程：(2)解方程：【答案】(1)或(2)或【分析】（1）類比解法一即可求解；（2）類比解法二，分，，三種情況進(jìn)行討論，脫去絕對(duì)值，解方程，舍去不合題意的方程的解，問(wèn)題得解．【詳解】（1）解：移項(xiàng)得，合并得，兩邊同時(shí)除以得，所以，所以或；（2）解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得，符合；當(dāng)時(shí),原方程可化為，解得，符合；當(dāng)時(shí)，原方程可化為，解得，不符合．所以原方程的解為或．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值方程、一元一次方程的解法，理解題意，能根據(jù)題意脫去絕對(duì)值是解題關(guān)鍵，注意第（2）問(wèn)要根據(jù)題意分三類進(jìn)行討論．44．（22·23八年級(jí)上·浙江寧波·期中）絕對(duì)值拓展材料：表示數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．一般地，點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B之間的距離可表示為．(1)A、B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為4．①A、B兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)__________；②若在數(shù)軸上存在一點(diǎn)P到A的距離是點(diǎn)P到B距離的2倍，則點(diǎn)P所表示的數(shù)是___________；(2)的最小值為_(kāi)__________，若滿足時(shí)，則x的值是___________．【答案】(1)①6；②2或10(2)6；【分析】（1）①根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離表示解答本題；②表示出點(diǎn)P到A的距離和點(diǎn)P到B距離再列方程，可以解答本題．（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以用相應(yīng)的絕對(duì)值表示兩點(diǎn)的距離；利用分類討論的方法可以解答本題．【詳解】（1）解：①由題意得：A、B兩點(diǎn)之間的距離為，故答案為：6；②設(shè)P表示的數(shù)為，由題意得P到A的距離是，點(diǎn)P到B距離是∴或解得：或綜上，則點(diǎn)P所表示的數(shù)是2或10；故答案為：2或10；（2）解：∵表示x與3距離，表示x與距離，∴當(dāng)表示x的點(diǎn)在3與之間時(shí)，的值最小，且最小值是6，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；∴當(dāng)時(shí)故答案為：6；．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值、解一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用絕對(duì)值的知識(shí)和分類討論的方法解答．45．（22·23七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）結(jié)合數(shù)軸與絕對(duì)值的知識(shí)回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是______；數(shù)軸上表示和2兩點(diǎn)之間的距離是______；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．那么，數(shù)軸上表示數(shù)x與5兩點(diǎn)之間的距離可以表示為_(kāi)_____，表示數(shù)y與兩點(diǎn)之間的距離可以表示為_(kāi)_____．(2)如果表示數(shù)a和的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么______；若數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)位于與2之間，則的值為_(kāi)_____．(3)找出所有符合條件的整數(shù)a，使成立，直接寫出結(jié)果．(4)由以上探索猜想，對(duì)于任何有理數(shù)a，是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由．【答案】(1)3，5，，(2)1或(3)(4)3【分析】（1）觀察數(shù)軸可得答案；（2）如果表示數(shù)a和的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么，化簡(jiǎn)絕對(duì)值即可得答案；（3）分三種情況討論求解即可；（4）分三種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示4和1的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示和2兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示數(shù)x與5兩點(diǎn)之間的距離可以表示為，表示數(shù)y與兩點(diǎn)之間的距離可以表示為．故答案為：3，5，|，；（2）解：如果表示數(shù)a和?2的兩點(diǎn)之間的距離是3，那么，∴∴或解得或；故答案為：1或；（3）解：當(dāng)時(shí)，∵，∴，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，∵，∴，恒成立，∴滿足題意的a的值為；當(dāng)時(shí)，∵，∴，解得（舍去）；綜上所述，滿足題意的a的值為；（4）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；∴綜上所述，的最小值為3；【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離，解絕對(duì)值方程，解一元一次方程，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟知絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．46．（23·24七年級(jí)上·全國(guó)·課堂例題）先看例題，再解答后面的問(wèn)題．【例】解方程：．解法一：當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得；當(dāng)時(shí)，原方程化為，解得，所以原方程的解為或．解法二：移項(xiàng)，得．合并同類項(xiàng)，得．由絕對(duì)值的意義知，所以原方程的解為或．問(wèn)題：用兩種方法解