四川省瀘州市天府中學高三上學期一診模擬（二）數學(理)試題

瀘州老窖天府中學高2021級高三上期一診模擬(二)數學（理科）第Ⅰ卷(選擇題，共60分）一、選擇題本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.解：因為，，所以.故選A2.已知，，則（）A B. C.4 D.5解：因為，所以，所以.故選：A3．設l是直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解：對于A選項，設α∩β＝a，若l∥a，且l?α，l?β，則l∥α，l∥β，此時α與β相交，故A選項錯誤；對于B選項，l∥α，l⊥β，則存在直線a?α，使得l∥a，此時a⊥β，由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β，故B選項正確；對于C選項，若α⊥β，l⊥α，則l∥β或l?β，故C選項錯誤；對于D選項，若α⊥β，l∥α，則l與β的位置關系不確定，故D選項錯誤．選B.答案：B4.當某種藥物的濃度大于100mg/L（有效水平）時才能治療疾病，且最高濃度不能超過1000mg/L（安全水平）．從實驗知道該藥物濃度以每小時按現有量14%的速度衰減．若治療時首次服用后的藥物濃度約為600mg/L，當藥物濃度低于有效水平時再次服用，且每次服用劑量相同，在以下給出的服用間隔時間中，最合適的一項為（）（參考數據：，，）A.4小時 B.6小時 C.8小時 D.12小時【分析】設小時后藥物濃度為，由題意可得，兩邊取常用對數求解即可.解：設小時后藥物濃度為若小時后藥物濃度小于100mg/L，則需再服藥.由題意可得，即所以，則所以所以在首次服藥后13個小時再次服藥最合適，則服用藥物的間隔時間12小時最合適故選：D5.已知命題p：函數在上單調遞減；命題，都有．若為真命題，為假，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.解：若命題p為真，則，若為真，則，由于為真命題，為假，則中一真一假若真假，則滿足：；若真假，則滿足：，此時無解，綜上故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.【分析】以為整體，結合倍角公式可得，再利用誘導公式運算求解.解：因為，所以．故選：A.7．若，，則（C） A． B． C． D．解：用特殊值法，令a=3，b=2，，可知選項A錯誤；，選項B錯誤；，選項C正確；，選項D錯誤.故選C.考點：指數函數與對數函數的性質8.在梯形中，，將△ACD沿AC折起，連接BD，得到三棱錐，則三棱錐體積最大時,其外接球的表面積為（） A． B． C． D．【分析】注意到三棱錐體積最大時，平面平面ABC，可知以B為頂點時，BC為三棱錐的高，然后利用正余弦定理可得各棱長可得體積；利用球心到平面的距離、外接圓半徑和球的半徑滿足勾股定理可得球半徑，然后可得表面積.解：過點C作，垂足為E，為等腰梯形，，，由余弦定理得，即，易知，當平面平面ABC時，三棱錐體積最大，此時，平面，易知，，記O為外接球球心，半徑為R平面，，O到平面的距離又的外接圓半徑，故答案為：9.將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，且的圖象的一條對稱軸是直線，則的最小值為（） A． B． C．2 D．3【分析】利用平移變換得出，再由對稱軸的性質得出，，結合得出的最小值.解：將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象對應的函數為因為函數的圖象的一條對稱軸是直線所以，解得，，又所以當時，取最小值，為故選：A【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵在于利用對稱軸的性質結合得出的最小值.10．如圖，某景區(qū)欲在兩山頂A，C之間建纜車，需要測量兩山頂間的距離．已知山高AB＝（km），CD＝（km），在水平面上E處測得山頂A的仰角為30°，山頂C的仰角為45°，∠BED＝150°，則兩山頂A、C之間的距離為（） A．(km) B．(km) C．(km) D．(km)【分析】先計算BE，DE，利用余弦定理計算BD，再利用勾股定理計算AC．解：在Rt△ABE中，∵AB＝，CD＝3，∠AEB＝30°，∠CED＝45°，∴BE＝3，DE＝3，又∠BED＝150°，∴BD＝＝3，過A作AF⊥CD于F，則AF＝BD＝3，CF＝CD﹣AB＝2，∴AC＝＝＝5（km）．故選：B．11.已知點P是曲線上任意一點，點Q是直線上任一點，則的最小值為（） A． B． C．1 D．e【分析】利用導數的幾何意義求出曲線的切線，利用數形結合進行求解即可.解：函數的定義域為全體正實數，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，函數圖象如下圖：過點的曲線的切線與直線平行時，最小，即有，所以，故選：A12.已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2–x)=5，g(x)–f(x–4)=7.若y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱，g(2)=4，則（） A．–21 B．–22 C．–23 D．–24第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.曲線與軸所圍成的圖形面積為______．【答案】2【分析】直接利用定積分求解.解：由題得.所以所求的圖形的面積為2.故答案為：2【點睛】方法點睛：求定積分的方法：(1)代數法：利用微積分基本原理求；（2）幾何法：數形結合利用面積求.14．如圖，網格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為________．解：由正視圖和俯視圖可知幾何體是正方體切割后的一部分(四棱錐C1-ABCD)，還原在正方體中，如圖所示．多面體最長的一條棱即為正方體的體對角線，如圖即AC1.由正方體棱長AB＝2知最長棱AC1的長為2eq\r(3).答案：2eq\r(3)15.設當時，函數取得最大值，則___________．解：∵==令=，，則==，當=，即=時，取最大值，此時=，∴===.16．如圖，已知在棱長為2的正方體中，點E，F，H分別是，，的中點，點G是上的動點，下列結論中正確的有.①平面ABH ②平面③直線EF與所成的角為30° ④三棱錐的體積最大值為【答案】②③④【分析】①根據得到，，，四點共面，在平面ABH上；②通過證明BD⊥面得到，通過證明⊥面得到，最后即可證明面；③取AD中點I，根據得到EF與所成角為∠IFE，然后用余弦定理求角即可；④根據題意得到當G位于點時，三棱椎的體積最大，然后求體積即可.解：因為為正方體，所以，則，，，四點共面，即在平面ABH上，故①錯；連接BD，AC，，，，在正方體中，，面ABCD，平面，∴，∵，AC，?面，∴BD⊥面，又?面，∴，又∵，面，平面，∴．∵，，?面，∴⊥面，∵平面，∴，又，，，BD?面，∴面，故②正確；取AD中點I，連接FI，EF，EI，，在中，∵F，I分別為，DA的中點，∴，又，∴，∴EF與所成角為∠IFE，在中，，，，∴，∴EF與所成的角為30°，故③正確；當G位于點時，三棱錐的體積最大，故，故④正確.故填：②③④.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分12分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，，，若.(1)求角A的大??；(2)若為上一點，，，求的最小值.解：（1）依題意，，由正弦定理得，，所以，所以是鈍角，所以.（2），，所以，即，所以，當且僅當時等號成立.18．（本小題滿分12分）已知函數(1)若其圖象在點處的切線方程為，求，的值；(2)若1是函數的一個極值點，且函數在上單調遞增，求實數的取值范圍.解：（1）點在切線上，，①，，②聯(lián)立①②解得，.（2）依題意有，，，且，；又，，則時，，即，令，，求導得，所以單調遞增，；又，所以的取值范圍為.19.（本小題滿分12分）已知函數，再從條件①：的最大值為1；條件②：的一條對稱軸是直線﹔條件③：的相鄰兩條對稱軸之間的距離為﹐這三個條件中選擇能確定函數解析式的兩個合理條件作為已知，求：(1)函數的解析式；(2)已知，若在區(qū)間上的最小值為，求m的最大值．解：（1）由題意，函數，若選①：的最大值為1，則，則，若選②：的一條對稱軸是直線,則由，不符合正弦函數對稱軸的要求，不合題意；若選③：的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，則函數的最小正周期,可得；所以只能選擇條件①③作為已知，此時；（2）由題意，，當，則，若在區(qū)間上的最小值為，則，所以，所以m的最大值為.20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是矩形，分別是的中點，平面經過點與棱交于點．(1)試用所學知識確定在棱上的位置；(2)若，求與平面所成角的正弦值．解：（1）過作直線與平行，延長與交于點，連接與的交點即為點．因為底面是矩形，是的中點，所以，且．又，所以，因為是的中點，可得，則，所以．故在棱的靠近的三等分點處．（2）因為是的中點，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．取中點，連接，易知兩兩相互垂直，如圖，分別以為軸建立空間直角坐標系，則，．設平面的法向量為，則即令，則，所以．．設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．21．（本小題滿分12分）已知函數（，e為自然對數的底數）(1)求函數的單調區(qū)間；(2)若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數k的取值范圍．【分析】（1）對函數求導，利用導函數的單調性及零點確定導函數大于0、小于0的解集，即可得解；（2）轉化不等式為在區(qū)間上恒成立，構造函數，利用端點處的函數值及導數，分類討論即可得解.解：（1）由題意，，則，由在上均單調遞減，所以在上單調遞減，又，所以當時，，當時，，所以函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；（2）不等式即在區(qū)間上恒成立，令，則，，所以，若，即時，此時存在使得當時，，函數在上單調遞增，，不合題意；若時，，令，則，所以單調遞減，，所以，當且僅當時等號成立，所以在上單調遞減，所以，符合題意；綜上，實數k的取值范圍為.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.作答時請寫清題號.22.（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數方程如圖，在極坐標系中，圓的半徑為，半徑均為的兩個半圓弧所在圓的圓心分別為，，是半圓弧上的一個動點，是半圓弧上的一個動點.(1)若，求點的極坐標；(2)若點是射線與圓的交點，求△MOK面積的取值范圍.【分析】（1）根據圖形關系可確定，極角，由此可得點的極坐標；（2）利用表示出和，代入三角形面積公式，結合三角恒等變換知識可化簡得到，結合正弦型函數值域可求得結果.解：（1）由知：△OO2N為正三角形，∴，，∴點的極角為，點的極坐標為.（2）由題意知：，，，，，，，.23.（本小題滿分10分）選修45：不等式選講已知函數，，.（1）解不等式；（2）任意R，恒成立，求