6.2.4向量的數(shù)量積5題型分類（原卷版）

6.2.4向量的數(shù)量積5題型分類一、兩向量的夾角與垂直1．夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示).當(dāng)θ＝0時，a與b同向；當(dāng)θ＝π時，a與b反向．2．垂直：如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，則稱a與b垂直，記作a⊥b.二、向量數(shù)量積的定義非零向量a，b的夾角為θ，數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積等于0.三、投影向量在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關(guān)系為eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.四、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量.(1)a·e＝e·a＝|a|·cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a∥b時，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a與b同向，,－|a||b|，a與b反向.))特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.五、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.a·b＝b·a(交換律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).（一）求兩向量的數(shù)量積求平面向量數(shù)量積的方法：計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的始點(diǎn)必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件.題型1：求兩向量的數(shù)量積11．（2023下·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）已知是邊長為的等邊三角形，則．12．（2023下·上海浦東新·高一上海市川沙中學(xué)校考期中）已知兩個單位向量、的夾角為，若向量，則.13．（2023·高一課時練習(xí)）已知，，且向量與的夾角為120°，則.14．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高級中學(xué)?？计谀┮阎蛄?，滿足，且與的夾角為，則（

）A．6 B．8 C．10 D．1415．（2023下·上海·高一期末）已知向量滿足，，則的取值范圍是．16．（2023下·湖南邵陽·高一湖南省邵東市第三中學(xué)?？计谥校┰谥校?，，，是邊上一點(diǎn)，，設(shè)，．（1）試用，表示；（2）求的值．17．（2023上·江蘇南京·高三南京師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）若非零向量與滿足：，且，，則的最大值為．（二）向量的模和夾角的計(jì)算問題1、(1)向量的模：利用a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)來求解.(2)向量的夾角：利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夾角的余弦值，從而求得夾角.2、(1)求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用a2＝|a|2，即|a|＝eq\r(a2)，勿忘記開方.(2)求向量的夾角，主要是利用公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)求出夾角的余弦值，從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以尋找|a|，|b|，a·b三者之間的關(guān)系，然后代入求解.題型2：向量的模21．（2023上·江蘇徐州·高三期末）已知，，則（

）A． B．C． D．22．（2023·高一課時練習(xí)）已知向量、滿足，，，求.23．（2023下·吉林延邊·高一延邊二中階段練習(xí)）設(shè)向量滿足，且．（1）求與的夾角；（2）求的大小.24．（2023下·湖北襄陽·高一襄陽五中校考階段練習(xí)）已知非零向量滿足，且，則．25．（2023下·上海長寧·高一上海市第三女子中學(xué)?？计谀┰O(shè)向量、滿足，則．題型3：向量的夾角31．（2023·高二課時練習(xí)）已知，滿足，，，求與的夾角的余弦值.33．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知非零向量滿足，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．33．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)和是兩個單位向量，其夾角是，求向量與的夾角.34．（2023下·上海浦東新·高一校考期末）已知向量?的夾角為，且，設(shè)，.(1)求；(2)試用來表示的值；(3)若與的夾角為鈍角，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.（三）與垂直有關(guān)的向量問題解決有關(guān)垂直問題時利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量).題型4：與垂直有關(guān)的向量問題41．（2023·高一課時練習(xí)）已知，，若，，則．42．（2023下·天津和平·高一統(tǒng)考期末）已知，，向量與的夾角為．（1）求；（2）若與垂直，求實(shí)數(shù)的值．43．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，試求，夾角的余弦值．44．（2023下·北京·高一景山學(xué)校?？计谥校┮阎瑒t“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件（四）投影向量(1)向量a在b方向上的投影向量為|a|cosθe(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個向量，且與b共線，其方向由向量a和b夾角θ的余弦決定．(2)向量a在b方向上的投影向量eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).(3)注意：a在b方向上的投影向量與b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示為|b|cosθeq\f(a,|a|).題型5：向量的投影51．（2023下·上海浦東新·高一上海市川沙中學(xué)?？计谥校┮阎矫嫦蛄繚M足，則的最大值是.52．（2023·高一課時練習(xí)）（1）在中，，，，求，，的值.（2）已知，兩個向量，，，，求在方向上的投影與數(shù)量投影．53．（2023下·廣東廣州·高一廣州市天河中學(xué)校考期中）已知，若向量在向量上的投影向量為，則.54．（2023上·甘肅臨夏·高三統(tǒng)考期中）已知，則向量在向量方向上的投影向量的長度為（

）A．－4 B．4C．－2 D．255．（2023下·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）若，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為（

）A． B． C．2 D．456．（2023下·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知，是兩個互相垂直的單位向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一濟(jì)源市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）在銳角中，關(guān)于向量夾角的說法，正確的是（

）A．與的夾角是銳角B．與的夾角是銳角C．與的夾角是鈍角D．與的夾角是銳角2．（2023上·貴州黔南·高二?？奸_學(xué)考試）若,|,的夾角為,則等于(

).A． B．C． D．3．（2023下·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習(xí)）若，，和的夾角為，則在的方向上的投影向量的模長為（

）A．2 B． C． D．44．（2023下·山東·高一階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．向量滿足B．若向量滿足，則C．若向量，則D．對任意兩向量，則與是相反向量5．（2023下·高一課時練習(xí)）若，，，的夾角為135°，則（

）A． B． C． D．126．（2023下·福建福州·高一福建省福州格致中學(xué)校考期末）已知為的外接圓圓心，若，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．（2023下·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．29．（2023下·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期中）已知向量，且，則向量在上的投影向量是（

）A． B． C． D．10．（2023下·北京東城·高一統(tǒng)考期末）已知，均為單位向量，，則與的夾角為（

）A．30° B．45° C．135° D．150°11．（2023下·天津西青·高一天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，，向量在方向上投影向量是，則為（

）A．12 B．8 C．8 D．212．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知向量，對任意的，恒有，則（

）A． B．C． D．13．（2023下·上海黃浦·高一格致中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若與都是非零向量，則“”是“”的（

）A．充分但非必要條件 B．必要但非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件14．（2023上·山東煙臺·高三統(tǒng)考期末）已知，，則（

）A． B． C． D．15．（2023下·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中?？计谀┮阎蛄浚瑵M足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．16．（2023下·高一課時練習(xí)）已知,,是與同向的單位向量,則向量在向量上的投影向量是A． B． C． D．17．（2023下·河北張家口·高二階段練習(xí)）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為A． B． C． D．18．（2023·浙江杭州·高三假期作業(yè)）在中，“”是“是鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件19．（2023下·山東淄博·高一統(tǒng)考期末）已知，．若，則（

）A． B． C．2 D．420．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知，，，則（

）A． B．2 C． D．421．（2023上·陜西·高三陜西省榆林中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知兩個單位向量與的夾角為，若，，且，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．22．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量、，，，若對任意單位向量，均有，則的最大值為（

）A． B． C． D．23．（2023·湖北·高一校聯(lián)考期末）已知兩個非零向量，的夾角為，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．24．（2023下·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）已知，，函數(shù)，當(dāng)時，f（x）有最小值，則在上的投影向量為（

）A． B． C．－ D．－25．（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶市第七中學(xué)校校考期末）平面上不共線的向量，，，其夾角兩兩相等，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．26．（2023·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知是的外心，且滿足，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．27．（2023下·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）已知單位向量的夾角為，向量，則的夾角等于（

）A． B． C． D．28．（2023·高二課時練習(xí)）設(shè)，，是三個向量，以下四個選項(xiàng)正確的是（

）A．B．若，，則C．若，且，則D．若，，，則29．（2023上·天津南開·高三南開中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)向量與滿足，在方向上的投影向量為，若存在實(shí)數(shù)，使得與垂直，則（

）A．2 B． C． D．30．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知向量，滿足，，，則（

）A．3 B． C． D．431．（2023下·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知分別是與軸、軸方向相同的單位向量，，，且的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．32．（2023下·山東聊城·高一山東聊城一中?？计谥校┮阎桥c向量方向相同的單位向量，向量在向量上的投影向量為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．33．（2023下·江西撫州·高一江西省撫州市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，BE＝EC，AF＝2FC，則||＝（

）A． B． C． D．二、多選題34．（2023下·重慶銅梁·高一統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形的邊長為2，半徑為1的圓的圓心為正六邊形的中心，，若點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動，動點(diǎn)在圓上運(yùn)動且關(guān)于圓心對稱，則的值可能為（

）A． B． C．3 D．35．（2023下·山東聊城·高一山東聊城一中校考期中）中，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，，則一定不是（

）A．4 B．3 C．2 D．136．（2023下·湖北武漢·高一統(tǒng)考期末）設(shè)是任意的非零向量，且它們相互不共線，給出下列選項(xiàng)，其中正確的有（

）A． B．不與垂直C． D．37．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）設(shè)，，是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題中的真命題是（

）A．B．C．不與垂直D．38．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知非零向量，，下列說法中正確的是（

）A．若，則與共線且反向B．若，則C．若，則與的夾角為D．若，則的最大值為三、填空題39．（2023上·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則與的夾角是.40．（2023下·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，與的夾角為，是與同向的單位向量，則在方向上的投影向量為．41．（2023下·高一課時練習(xí)）若向量在向量方向上的數(shù)量投影為，且，則.42．（2023上·新疆喀什·高一莎車縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若，且和的夾角為，則43．（2023下·甘肅蘭州·高一?？计谥校┮阎蛄亢拖蛄康膴A角為30°，，，則．44．（2023下·高一課時練習(xí)）在中，，，，D是AC的中點(diǎn)，則與的夾角為．45．（2023下·安徽黃山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，滿足，，，，，則.46．（2023下·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知平面向量，，滿足，，則的最大值是.47．（2023下·黑龍江綏化·高一?？计谀┮阎獫M足，則的形狀一定是．48．（2023下·甘肅蘭州·高一蘭州五十一中?？计谀┮阎?/p>