數(shù)學-第2部分 專項5

?？碱}型·精講

類型一新定義型探究問題【類型特征】新定義型探究問題具有“獲取新知識”的意義與特征，即它不是單純的課本知識的應用，而是包含理解和掌握一個“新定義”“新規(guī)定”、發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一個“新規(guī)律”“新結(jié)論”的成分及過程，旨在考查學生的“學習能力”和“發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新”能力．【解題策略】解答新定義的探究問題，首先要認真閱讀并理解“新定義”，把握準“新定義”的實質(zhì)，從性質(zhì)與判定兩個角度做出分析，弄清它們所對應的題設與結(jié)論，然后分別運用“新定義”的性質(zhì)屬性與判定屬性來解決相應的問題．例1如圖1，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)，則四邊形ABCD

叫做“鄰等對補四邊形”．概念理解：(1)在以下四種圖形中：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形，一定是“鄰等對補四邊形”的是______;(填寫序號)?解題思路根據(jù)“鄰等對補四邊形”的定義即可判斷．【解答】根據(jù)“鄰等對補四邊形”的定義，正方形一定是“鄰等對補四邊形”．④

(2)如圖2，點A，B，C是網(wǎng)格中格點，請找出兩個格點P1，P2，連接P1A，P1C，P2A，P2C，畫出四邊形P1ABC，P2ABC，使四邊形P1ABC，P2ABC

均為“鄰等對補四邊形”；?解題思路如圖1，作△ABC的外接圓，圖中點P1，P2即為所求(答案不唯一，在直線AC的右側(cè)圓上的格點，即可滿足條件)．【解答】如圖1，作△ABC的外接圓，圖中點P1，P2即為所求．(答案不唯一)圖1

性質(zhì)證明：(3)如圖1，四邊形ABCD，AB＝BC，∠A＋∠C＝180°，連接BD,求證：BD平分∠ADC；?解題思路如圖2，連接AC，證明A，B，C，D四點共圓，利用圓周角定理即可解決問題．【解答】如圖2，連接AC．∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴A，B，C，D四點共圓，∴BA＝BC，∴∠ADB＝∠BDC，∴BD平分∠ADC．圖2

知識運用：(4)如圖3，在“鄰等對補四邊形”

ABCD

中，滿足AB＝AD，AB＋BC＝6，∠ADC＝60°時，若2≤BC＜3，求四邊形ABCD

的面積的最大值．?解題思路如圖3，延長CB到H，使得BH＝BA，連接AH，AC，過點C作CE⊥AD于點E，CF⊥AH于點F，過點A作AK⊥BH于點K.設BC＝x.構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【解答】如圖3，延長CB到H，使得BH＝BA，連接AH，AC，過點C作CE⊥AD于點E，CF⊥AH于點F，過點A作AK⊥BH于點K.設BC＝x.∵∠ADC＋∠ABC＝180°，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABH＝60°.∵BA＝BH，∴△ABH是等邊三角形，∴∠H＝60°，∴∠H＝∠D．由(2)可知AC平分∠BCD，∴∠ACH＝∠ACD．圖3

類型二幾何變換型探究問題【類型特征】圖形(或部分圖形)經(jīng)平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等變換后，就會引起圖形形狀，位置關(guān)系的變化，就會出現(xiàn)新的圖形和新的關(guān)系，從而產(chǎn)生圖形的證明與幾何量的計算問題．由于平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)均屬于全等變換，所以，這類問題往往會在同一個問題中涉及兩個全等三角形．【解題策略】對于圖形變換所引發(fā)的圖形的證明與幾何量的計算問題，解答時，就要運用圖形變換的視角來啟發(fā)、引導我們觀察圖形、分析圖形，識別出基本圖形和圖形之間所存在的變換關(guān)系，進而運用圖形變換的知識來加以解答，也可根據(jù)圖形的特征，巧妙地運用圖形變換的手段來轉(zhuǎn)化圖形．例2圖1

AD⊥BD

4

?解題思路第一步：利用SAS判定兩個三角形(△ACD與△BCE)全等，利用全等三角形的性質(zhì)得到對應角相等；第二步：利用有兩個角互余得到∠ADE＝90°，所以AD與BD之間的位置關(guān)系為垂直；第三步：在Rt△CDF中，由勾股定理由得CF，在Rt△AFC中利用勾股定理求得AF的長，利用AD＝AF＋DF即可求解．

【解答】①∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC＝45°，∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝90°，∴AD⊥BD．圖1

圖2

?解題思路第一步：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以判定△ACD與△BCE相似；第二步：在Rt△DCE和Rt△ABC中，求出DE和AB的長；第三步：在Rt△ABD中利用勾股定理列一個方程，從而求得AD的長，注意需要對不同的位置進行分類討論．圖2

圖3

類型三操作型探究問題【類型特征】操作探究問題是通過動手測量、作圖(象)、取值、計算等實驗，猜想獲得數(shù)學結(jié)論的研究性活動，這類活動完全模擬以動手為基礎的手腦結(jié)合的科學研究模式，需要動手操作、合理猜想和驗證．側(cè)重培養(yǎng)觀察分析、類比聯(lián)想、歸納總結(jié)、應用創(chuàng)新的思維品質(zhì)，包括觀測、操作、猜想、收集整理、思考、推理、交流和應用等，體現(xiàn)的重要數(shù)學思想有數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學建模思想、從特殊到一般思想．常見類型：(1)操作設計問題；(2)圖形剪拼；(3)操作探究；(4)數(shù)學建模.【解題策略】對于操作性試題，首先要認真閱讀、理解操作的方法與步驟，在此基礎上根據(jù)操作步驟所涉及的知識來思考，如操作中涉及了平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換，就要充分利用平移、旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識來解答．例3(1)圖2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為______________，求此時線段EF的長；?解題思路由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，易得△EFD是等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出EF的長；等邊三角形(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH.①請判斷四邊形EFGH的形狀為__________，此時AE與BF的數(shù)量關(guān)系是______________；②以①中的結(jié)論為前提，設AE的長為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍．正方形AE＝BF

?解題思路①四邊形EFGH是正方形；利用三角形全等證明AE＝BF；②求面積y的表達式，這是一個二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值及y的取值范圍．

類型四動點型探究問題【類型特征】圖形中引入動點以后，隨著點的移動，便會引起圖形形狀、大小、位置的變化，這樣就會產(chǎn)生特定形狀、特定位置或特定關(guān)系的圖形，進而引發(fā)特殊圖形的證明與幾何量的計算問題．【解題策略】無論是動點問題引發(fā)的幾何圖形的大小及形狀問題，還是幾何圖形間的位置關(guān)系問題，往往需要通過相關(guān)的數(shù)量條件來確定，因此抓住幾何計算是解決此類問題的關(guān)鍵所在．此外，動點問題往往會產(chǎn)生變量，因此，在解答時常需要考慮構(gòu)造方程、函數(shù)來解決，而直角三角形中的三邊的數(shù)量關(guān)系、邊角關(guān)系，相似三角形的等比關(guān)系、平行四邊形對邊相等關(guān)系、圖形的面積(周長)計算公式等就是構(gòu)造方程的依據(jù)．例4(1)如圖1，當點E與點B重合時，∠CEF＝______°；?解題思路根據(jù)菱形的性質(zhì)計算；【解答】當E與點B重合時，∠EAG＝120°.∵四邊形AEFG為菱形，∴∠ABF＝60°，∠CEF＝120°－60°＝60°.60

(2)如圖2，連接AF.①填空：∠FAD______∠EAB(填“＞”“＜”或“＝”)；②求證：點F在∠ABC的平分線上；?解題思路①證明∠DAB＝∠FAE＝60°，根據(jù)角的運算解答；②過點F作FN⊥BC于點N，F(xiàn)M⊥BA交BA的延長線于點M，證明△FMA≌△FNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FM＝FN，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論；＝

圖1

如圖2，當BE＝AB時，∵∠ABC＝120°，∴∠EAB＝∠AEB＝30°.∵四邊形AEFG是菱形，∠EAG

＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝60°，AE＝