數(shù)學(xué)-第2部分 專(zhuān)項(xiàng)5

?？碱}型·精講

類(lèi)型一新定義型探究問(wèn)題【類(lèi)型特征】新定義型探究問(wèn)題具有“獲取新知識(shí)”的意義與特征，即它不是單純的課本知識(shí)的應(yīng)用，而是包含理解和掌握一個(gè)“新定義”“新規(guī)定”、發(fā)現(xiàn)和總結(jié)一個(gè)“新規(guī)律”“新結(jié)論”的成分及過(guò)程，旨在考查學(xué)生的“學(xué)習(xí)能力”和“發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新”能力．【解題策略】解答新定義的探究問(wèn)題，首先要認(rèn)真閱讀并理解“新定義”，把握準(zhǔn)“新定義”的實(shí)質(zhì)，從性質(zhì)與判定兩個(gè)角度做出分析，弄清它們所對(duì)應(yīng)的題設(shè)與結(jié)論，然后分別運(yùn)用“新定義”的性質(zhì)屬性與判定屬性來(lái)解決相應(yīng)的問(wèn)題．例1如圖1，四邊形ABCD中，AB＝BC，∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)，則四邊形ABCD

叫做“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”．概念理解：(1)在以下四種圖形中：①平行四邊形，②菱形，③矩形，④正方形，一定是“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”的是______;(填寫(xiě)序號(hào))?解題思路根據(jù)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義即可判斷．【解答】根據(jù)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，正方形一定是“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”．④

(2)如圖2，點(diǎn)A，B，C是網(wǎng)格中格點(diǎn)，請(qǐng)找出兩個(gè)格點(diǎn)P1，P2，連接P1A，P1C，P2A，P2C，畫(huà)出四邊形P1ABC，P2ABC，使四邊形P1ABC，P2ABC

均為“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”；?解題思路如圖1，作△ABC的外接圓，圖中點(diǎn)P1，P2即為所求(答案不唯一，在直線(xiàn)AC的右側(cè)圓上的格點(diǎn)，即可滿(mǎn)足條件)．【解答】如圖1，作△ABC的外接圓，圖中點(diǎn)P1，P2即為所求．(答案不唯一)圖1

性質(zhì)證明：(3)如圖1，四邊形ABCD，AB＝BC，∠A＋∠C＝180°，連接BD,求證：BD平分∠ADC；?解題思路如圖2，連接AC，證明A，B，C，D四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理即可解決問(wèn)題．【解答】如圖2，連接AC．∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴BA＝BC，∴∠ADB＝∠BDC，∴BD平分∠ADC．圖2

知識(shí)運(yùn)用：(4)如圖3，在“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”

ABCD

中，滿(mǎn)足AB＝AD，AB＋BC＝6，∠ADC＝60°時(shí)，若2≤BC＜3，求四邊形ABCD

的面積的最大值．?解題思路如圖3，延長(zhǎng)CB到H，使得BH＝BA，連接AH，AC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AH于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BH于點(diǎn)K.設(shè)BC＝x.構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】如圖3，延長(zhǎng)CB到H，使得BH＝BA，連接AH，AC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AH于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥BH于點(diǎn)K.設(shè)BC＝x.∵∠ADC＋∠ABC＝180°，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝120°，∴∠ABH＝60°.∵BA＝BH，∴△ABH是等邊三角形，∴∠H＝60°，∴∠H＝∠D．由(2)可知AC平分∠BCD，∴∠ACH＝∠ACD．圖3

類(lèi)型二幾何變換型探究問(wèn)題【類(lèi)型特征】圖形(或部分圖形)經(jīng)平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)等變換后，就會(huì)引起圖形形狀，位置關(guān)系的變化，就會(huì)出現(xiàn)新的圖形和新的關(guān)系，從而產(chǎn)生圖形的證明與幾何量的計(jì)算問(wèn)題．由于平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)均屬于全等變換，所以，這類(lèi)問(wèn)題往往會(huì)在同一個(gè)問(wèn)題中涉及兩個(gè)全等三角形．【解題策略】對(duì)于圖形變換所引發(fā)的圖形的證明與幾何量的計(jì)算問(wèn)題，解答時(shí)，就要運(yùn)用圖形變換的視角來(lái)啟發(fā)、引導(dǎo)我們觀(guān)察圖形、分析圖形，識(shí)別出基本圖形和圖形之間所存在的變換關(guān)系，進(jìn)而運(yùn)用圖形變換的知識(shí)來(lái)加以解答，也可根據(jù)圖形的特征，巧妙地運(yùn)用圖形變換的手段來(lái)轉(zhuǎn)化圖形．例2圖1

AD⊥BD

4

?解題思路第一步：利用SAS判定兩個(gè)三角形(△ACD與△BCE)全等，利用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等；第二步：利用有兩個(gè)角互余得到∠ADE＝90°，所以AD與BD之間的位置關(guān)系為垂直；第三步：在Rt△CDF中，由勾股定理由得CF，在Rt△AFC中利用勾股定理求得AF的長(zhǎng)，利用AD＝AF＋DF即可求解．

【解答】①∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC＝45°，∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝90°，∴AD⊥BD．圖1

圖2

?解題思路第一步：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以判定△ACD與△BCE相似；第二步：在Rt△DCE和Rt△ABC中，求出DE和AB的長(zhǎng)；第三步：在Rt△ABD中利用勾股定理列一個(gè)方程，從而求得AD的長(zhǎng)，注意需要對(duì)不同的位置進(jìn)行分類(lèi)討論．圖2

圖3

類(lèi)型三操作型探究問(wèn)題【類(lèi)型特征】操作探究問(wèn)題是通過(guò)動(dòng)手測(cè)量、作圖(象)、取值、計(jì)算等實(shí)驗(yàn)，猜想獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的研究性活動(dòng)，這類(lèi)活動(dòng)完全模擬以動(dòng)手為基礎(chǔ)的手腦結(jié)合的科學(xué)研究模式，需要?jiǎng)邮植僮?、合理猜想和?yàn)證．側(cè)重培養(yǎng)觀(guān)察分析、類(lèi)比聯(lián)想、歸納總結(jié)、應(yīng)用創(chuàng)新的思維品質(zhì)，包括觀(guān)測(cè)、操作、猜想、收集整理、思考、推理、交流和應(yīng)用等，體現(xiàn)的重要數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)建模思想、從特殊到一般思想．常見(jiàn)類(lèi)型：(1)操作設(shè)計(jì)問(wèn)題；(2)圖形剪拼；(3)操作探究；(4)數(shù)學(xué)建模.【解題策略】對(duì)于操作性試題，首先要認(rèn)真閱讀、理解操作的方法與步驟，在此基礎(chǔ)上根據(jù)操作步驟所涉及的知識(shí)來(lái)思考，如操作中涉及了平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換，就要充分利用平移、旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)來(lái)解答．例3(1)圖2中的△EFD是經(jīng)過(guò)兩次操作后得到的，其形狀為_(kāi)_____________，求此時(shí)線(xiàn)段EF的長(zhǎng)；?解題思路由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，易得△EFD是等邊三角形；利用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出EF的長(zhǎng)；等邊三角形(2)若經(jīng)過(guò)三次操作可得到四邊形EFGH.①請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀為_(kāi)_________，此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是______________；②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長(zhǎng)為x，四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍．正方形AE＝BF

?解題思路①四邊形EFGH是正方形；利用三角形全等證明AE＝BF；②求面積y的表達(dá)式，這是一個(gè)二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出最值及y的取值范圍．

類(lèi)型四動(dòng)點(diǎn)型探究問(wèn)題【類(lèi)型特征】圖形中引入動(dòng)點(diǎn)以后，隨著點(diǎn)的移動(dòng)，便會(huì)引起圖形形狀、大小、位置的變化，這樣就會(huì)產(chǎn)生特定形狀、特定位置或特定關(guān)系的圖形，進(jìn)而引發(fā)特殊圖形的證明與幾何量的計(jì)算問(wèn)題．【解題策略】無(wú)論是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題引發(fā)的幾何圖形的大小及形狀問(wèn)題，還是幾何圖形間的位置關(guān)系問(wèn)題，往往需要通過(guò)相關(guān)的數(shù)量條件來(lái)確定，因此抓住幾何計(jì)算是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵所在．此外，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題往往會(huì)產(chǎn)生變量，因此，在解答時(shí)常需要考慮構(gòu)造方程、函數(shù)來(lái)解決，而直角三角形中的三邊的數(shù)量關(guān)系、邊角關(guān)系，相似三角形的等比關(guān)系、平行四邊形對(duì)邊相等關(guān)系、圖形的面積(周長(zhǎng))計(jì)算公式等就是構(gòu)造方程的依據(jù)．例4(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，∠CEF＝______°；?解題思路根據(jù)菱形的性質(zhì)計(jì)算；【解答】當(dāng)E與點(diǎn)B重合時(shí)，∠EAG＝120°.∵四邊形AEFG為菱形，∴∠ABF＝60°，∠CEF＝120°－60°＝60°.60

(2)如圖2，連接AF.①填空：∠FAD______∠EAB(填“＞”“＜”或“＝”)；②求證：點(diǎn)F在∠ABC的平分線(xiàn)上；?解題思路①證明∠DAB＝∠FAE＝60°，根據(jù)角的運(yùn)算解答；②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，F(xiàn)M⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，證明△FMA≌△FNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FM＝FN，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理證明結(jié)論；＝

圖1

如圖2，當(dāng)BE＝AB時(shí)，∵∠ABC＝120°，∴∠EAB＝∠AEB＝30°.∵四邊形AEFG是菱形，∠EAG

＝120°，∴∠FAE＝∠FEA＝60°，AE＝