數(shù)學(xué)-專題46 以幾何為背景的直角三角形的存在性問題（原版）

專題46以幾何為背景的直角三角形的存在性問題【題型演練】一、解答題1．正方形中，點E是的中點，交對角線于點F．(1)如圖1，點G為的中點，連結(jié)，求證：；(2)如圖2，是由沿射線平移得到的，點與點A重合，點M為的中點，連結(jié)交于點H．①若，求的長；②連結(jié)，求證：是等腰直角三角形．2．已知：和均為等腰直角三角形，，，，按圖1放置，使點在上，取的中點，連接，．我們現(xiàn)給出如下結(jié)論：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．(1)觀察發(fā)現(xiàn)：圖1中，的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________；(2)探究證明：將圖1中的繞點順時針轉(zhuǎn)動，再連接，取的中點（如圖2），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；(3)拓展延伸：將圖1中的繞點轉(zhuǎn)動任意角度（轉(zhuǎn)動角度在到之間），再連接，取的中點（如圖3），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請證明你的結(jié)論．3．（1）如圖1，平分，若，求的長；

（2）如圖2，其他條件不變，將圖1中的繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，交的延長線于點D，交射線于點B，寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由；（3）如圖3，為等邊三角形，，P為邊的中點，，將繞點P轉(zhuǎn)動使射線交直線于點M，射線交直線于點N，當(dāng)時，求的長．4．如圖，是邊長是的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿，方向勻速移動，其中點P運動的速度是，點Q運動的速度是，當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點都停止運動，設(shè)運動時間為t（s），解答下列問題：(1)當(dāng)點Q到達(dá)點C時，與的位置關(guān)系如何？請說明理由．(2)在點P與點Q的運動過程中，是否能成為等邊三角形？若能，請求出t，若不能，請說明理由．(3)則當(dāng)t為何值時，是直角三角形？5．等腰，，，為的中點，小慧拿著含角的透明三角板，使角的頂點落在，三角板繞點旋轉(zhuǎn)．(1)如圖，當(dāng)三角板的兩邊分別交、于點、時，求證：；(2)操作：將三角板繞點旋轉(zhuǎn)到圖情形時，三角板的兩邊分別交的延長線、邊于點、，

①探究：與還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）②探究：連接，與是否相似？請說明理由；③設(shè)，的面積為，試用的代數(shù)式表示（直接寫出答案即可）6．如圖，在邊長為的正方形中，過中點作正，過點的直線分別交邊、于點、、已知點、分別是線段、的動點，且是等邊三角形．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)當(dāng)點在線段上時①求證：②試判斷的結(jié)果是否變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這個值．(3)設(shè)，點關(guān)于的對稱點為，若點落在的內(nèi)部，請直接寫出的范圍．7．已知為等邊三角形，點、分別是、上一點．(1)如圖1，，連接、，交于點，在的延長線上取點，使得，連接，若，求的面積；(2)如圖2，、相交于點，點為延長線上一點，連接、、，已知，，，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(3)如圖3，已知，過點作于點，點是直線上一點，以為邊，在的下方作等邊，連，當(dāng)取最小值時請直接寫出的長．

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸上，點B、C在x軸上，，，．(1)如圖1，求點A、B、C的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點D在第一象限且滿足，，線段交y軸于點G，求線段的長；(3)如圖3，在（2）的條件下，若在第四象限有一點E，滿足．請?zhí)骄俊?、之間的數(shù)量關(guān)系．9．點P為等邊三角形所在平面內(nèi)一點，且．(1)如圖1，點P在外部，若，，則的長為______；(2)P點在內(nèi)部，連接．①如圖2，若，求證；②如圖3，D為邊中點，連接，求證：．10．如圖，為等腰三角形，．點、點分別在射線、射線上，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，使得點恰好在射線上，旋轉(zhuǎn)角為．

(1)當(dāng)點、點重合時，如圖1，若，，，求線段的長度；(2)當(dāng)點、點重合時，如圖2，與交于點，若，求證：；(3)當(dāng)，時，如圖3，點是射線上的動點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°至線段，連接．將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，直線與射線交于點．在點運動過程中，當(dāng)最小時，請直接寫出的值．11．已知：在中，，，點P是邊上一點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將沿翻折得到，延長交于點Q，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，在上取一點E，連接，使，若，求的長．12．將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中．(1)將圖1中的繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，點P是與的交點，點Q是與的交點，求證：；(2)在圖2中，若，則等于多少？(3)將圖1中的繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到如圖3，點P是與的交點，在上取一點F，連接

，設(shè)，當(dāng)時，求面積的最大值．13．如圖，在等邊中，點D是邊上一定點，點E是直線上一動點，以為一邊作等邊，連接．(1)如圖1，若點E在邊上，且，垂足為E，求證：；(2)如圖1，若點E在邊上，且，垂足為E，求證：；(3)如圖2，若點E在射線上，請?zhí)骄烤€段，與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．14．如圖1，點E是四邊形的邊上一點，分別連接，，把四邊形分成三個三角形，如果其中有兩個三角形相似，那么我們把點E叫做四邊形的邊上的“相似點”；如果這三個三角形都相似，那么我們把點E叫做四邊形的邊上的“強相似點”．(1)任務(wù)一：如圖1，，試判斷點E是否是四邊形的邊上的“相似點”，并說明理由；(2)任務(wù)二：如圖2，矩形的四個頂點A，B，C，D均在正方形網(wǎng)格的格點上，試在圖中畫出矩形的邊上的“強相似點”；(3)任務(wù)三：如圖3，矩形中，，將矩形沿折疊，點D落在邊上的點F處，若點F是四邊形的邊上“強相似點”，求．15．如圖1，在中，分別是邊上的高線，M，N分別是線段的中點．

(1)求證：．(2)連接，猜想與之間的關(guān)系，并說明理由．(3)若將銳角三角形變?yōu)殁g角三角形，其余條件不變，如圖2，直接寫出與之間的關(guān)系．16．已知，和都是等腰直角三角形，C為它們公共的直角頂點，如圖1，D，E分別在，邊上，F(xiàn)是的中點，連接．(1)求證：．(2)請猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．(3)如圖2，將固定不動，由圖1位置繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)過程中，其他條件不變．試判斷，與的關(guān)系是否發(fā)生改變？若不變，請說明理由；若改變，請求出相關(guān)正確結(jié)論．17．等腰，，，點、分別在軸、軸的正半軸上．

(1)如圖，求證：；(2)如圖，若，，求點的坐標(biāo)；(3)如圖，點，，兩點均在軸上，且分別以、為腰在第一、第二象限作等腰、等腰，，，連接交軸于點，的長度是否發(fā)生改變？若不變，求出的值；若變化，求的取值范圍．18．在中，，是邊上一點，是邊上一點，連接交于點，連接，且．(1)如圖1，若，，，求到的距離；(2)如圖2，若為中點，連接平分，為上一點，且，求證：；(3)如圖3，若，，將沿著翻折得，點為的中點，連接，求周長的最小值．19．[問題情境]如圖①，在四邊形ABCD中，，求證：四點共圓．

小吉同學(xué)的作法如下：連接，取的中點，連接、，請你幫助小吉補全余下的證明過程；[問題解決]如圖②，在正方形中，，點是邊的中點，點是邊上的一個動點，連接，作于點．（1）如圖②，當(dāng)點恰好落在正方形對角線上時，線段的長度為

；（2）如圖③，過點Р分別作于點，于點，連接，則的最小值為

．20．如圖直角坐標(biāo)系中直線與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點，已知，，P，Q分別是線段上的兩個動點，P從O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度向終點B運動，Q從B出發(fā)以每秒8個單位長度