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文檔簡介
專題46以幾何為背景的直角三角形的存在性問題【題型演練】一、解答題1.正方形中,點E是的中點,交對角線于點F.(1)如圖1,點G為的中點,連結(jié),求證:;(2)如圖2,是由沿射線平移得到的,點與點A重合,點M為的中點,連結(jié)交于點H.①若,求的長;②連結(jié),求證:是等腰直角三角形.2.已知:和均為等腰直角三角形,,,,按圖1放置,使點在上,取的中點,連接,.我們現(xiàn)給出如下結(jié)論:“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”.(1)觀察發(fā)現(xiàn):圖1中,的數(shù)量關(guān)系是________,位置關(guān)系是________;(2)探究證明:將圖1中的繞點順時針轉(zhuǎn)動,再連接,取的中點(如圖2),問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請證明你的結(jié)論;(3)拓展延伸:將圖1中的繞點轉(zhuǎn)動任意角度(轉(zhuǎn)動角度在到之間),再連接,取的中點(如圖3),問(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請證明你的結(jié)論.3.(1)如圖1,平分,若,求的長;
(2)如圖2,其他條件不變,將圖1中的繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),交的延長線于點D,交射線于點B,寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系,并就圖2的情形說明理由;(3)如圖3,為等邊三角形,,P為邊的中點,,將繞點P轉(zhuǎn)動使射線交直線于點M,射線交直線于點N,當時,求的長.4.如圖,是邊長是的等邊三角形,動點P,Q同時從A,B兩點出發(fā),分別沿,方向勻速移動,其中點P運動的速度是,點Q運動的速度是,當點Q到達點C時,P、Q兩點都停止運動,設(shè)運動時間為t(s),解答下列問題:(1)當點Q到達點C時,與的位置關(guān)系如何?請說明理由.(2)在點P與點Q的運動過程中,是否能成為等邊三角形?若能,請求出t,若不能,請說明理由.(3)則當t為何值時,是直角三角形?5.等腰,,,為的中點,小慧拿著含角的透明三角板,使角的頂點落在,三角板繞點旋轉(zhuǎn).(1)如圖,當三角板的兩邊分別交、于點、時,求證:;(2)操作:將三角板繞點旋轉(zhuǎn)到圖情形時,三角板的兩邊分別交的延長線、邊于點、,
①探究:與還相似嗎?(只需寫出結(jié)論)②探究:連接,與是否相似?請說明理由;③設(shè),的面積為,試用的代數(shù)式表示(直接寫出答案即可)6.如圖,在邊長為的正方形中,過中點作正,過點的直線分別交邊、于點、、已知點、分別是線段、的動點,且是等邊三角形.(1)判斷與的位置關(guān)系,并說明理由.(2)當點在線段上時①求證:②試判斷的結(jié)果是否變化?若變化,請說明理由;若不變,請求出這個值.(3)設(shè),點關(guān)于的對稱點為,若點落在的內(nèi)部,請直接寫出的范圍.7.已知為等邊三角形,點、分別是、上一點.(1)如圖1,,連接、,交于點,在的延長線上取點,使得,連接,若,求的面積;(2)如圖2,、相交于點,點為延長線上一點,連接、、,已知,,,探究、、之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由;(3)如圖3,已知,過點作于點,點是直線上一點,以為邊,在的下方作等邊,連,當取最小值時請直接寫出的長.
8.如圖,在平面直角坐標系中,點A在y軸上,點B、C在x軸上,,,.(1)如圖1,求點A、B、C的坐標;(2)如圖2,若點D在第一象限且滿足,,線段交y軸于點G,求線段的長;(3)如圖3,在(2)的條件下,若在第四象限有一點E,滿足.請?zhí)骄?、、之間的數(shù)量關(guān)系.9.點P為等邊三角形所在平面內(nèi)一點,且.(1)如圖1,點P在外部,若,,則的長為______;(2)P點在內(nèi)部,連接.①如圖2,若,求證;②如圖3,D為邊中點,連接,求證:.10.如圖,為等腰三角形,.點、點分別在射線、射線上,連接,將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至,使得點恰好在射線上,旋轉(zhuǎn)角為.
(1)當點、點重合時,如圖1,若,,,求線段的長度;(2)當點、點重合時,如圖2,與交于點,若,求證:;(3)當,時,如圖3,點是射線上的動點,連接,將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)60°至線段,連接.將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到,直線與射線交于點.在點運動過程中,當最小時,請直接寫出的值.11.已知:在中,,,點P是邊上一點,連接.(1)如圖1,求證:;(2)如圖2,將沿翻折得到,延長交于點Q,求證:;(3)如圖3,在(2)的條件下,連接,在上取一點E,連接,使,若,求的長.12.將兩塊全等的三角板如圖1擺放,其中.(1)將圖1中的繞點C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2,點P是與的交點,點Q是與的交點,求證:;(2)在圖2中,若,則等于多少?(3)將圖1中的繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到如圖3,點P是與的交點,在上取一點F,連接
,設(shè),當時,求面積的最大值.13.如圖,在等邊中,點D是邊上一定點,點E是直線上一動點,以為一邊作等邊,連接.(1)如圖1,若點E在邊上,且,垂足為E,求證:;(2)如圖1,若點E在邊上,且,垂足為E,求證:;(3)如圖2,若點E在射線上,請?zhí)骄烤€段,與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.14.如圖1,點E是四邊形的邊上一點,分別連接,,把四邊形分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,那么我們把點E叫做四邊形的邊上的“相似點”;如果這三個三角形都相似,那么我們把點E叫做四邊形的邊上的“強相似點”.(1)任務(wù)一:如圖1,,試判斷點E是否是四邊形的邊上的“相似點”,并說明理由;(2)任務(wù)二:如圖2,矩形的四個頂點A,B,C,D均在正方形網(wǎng)格的格點上,試在圖中畫出矩形的邊上的“強相似點”;(3)任務(wù)三:如圖3,矩形中,,將矩形沿折疊,點D落在邊上的點F處,若點F是四邊形的邊上“強相似點”,求.15.如圖1,在中,分別是邊上的高線,M,N分別是線段的中點.
(1)求證:.(2)連接,猜想與之間的關(guān)系,并說明理由.(3)若將銳角三角形變?yōu)殁g角三角形,其余條件不變,如圖2,直接寫出與之間的關(guān)系.16.已知,和都是等腰直角三角形,C為它們公共的直角頂點,如圖1,D,E分別在,邊上,F(xiàn)是的中點,連接.(1)求證:.(2)請猜想與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由.(3)如圖2,將固定不動,由圖1位置繞點C逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角,旋轉(zhuǎn)過程中,其他條件不變.試判斷,與的關(guān)系是否發(fā)生改變?若不變,請說明理由;若改變,請求出相關(guān)正確結(jié)論.17.等腰,,,點、分別在軸、軸的正半軸上.
(1)如圖,求證:;(2)如圖,若,,求點的坐標;(3)如圖,點,,兩點均在軸上,且分別以、為腰在第一、第二象限作等腰、等腰,,,連接交軸于點,的長度是否發(fā)生改變?若不變,求出的值;若變化,求的取值范圍.18.在中,,是邊上一點,是邊上一點,連接交于點,連接,且.(1)如圖1,若,,,求到的距離;(2)如圖2,若為中點,連接平分,為上一點,且,求證:;(3)如圖3,若,,將沿著翻折得,點為的中點,連接,求周長的最小值.19.[問題情境]如圖①,在四邊形ABCD中,,求證:四點共圓.
小吉同學(xué)的作法如下:連接,取的中點,連接、,請你幫助小吉補全余下的證明過程;[問題解決]如圖②,在正方形中,,點是邊的中點,點是邊上的一個動點,連接,作于點.(1)如圖②,當點恰好落在正方形對角線上時,線段的長度為
;(2)如圖③,過點Р分別作于點,于點,連接,則的最小值為
.20.如圖直角坐標系中直線與x軸正半軸、y軸正半軸交于A,B兩點,已知,,P,Q分別是線段上的兩個動點,P從O出發(fā)以每秒3個單位長度的速度向終點B運動,Q從B出發(fā)以每秒8個單位長度
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