高等數(shù)學(xué)6-定積分的應(yīng)用

第六章定積分的應(yīng)用

一、平面圖形的面積(介紹元素法〕二、立體的體積三、定積分在經(jīng)濟(jì)中的簡單應(yīng)用1解兩曲線的交點選為積分變量先求曲線交點2解兩曲線的交點選為積分變量于是所求面積3解兩曲線的交點4由對稱性知總面積等于4倍第一象限局部面積．所求面積為解求橢圓的面積.例4令x=asint,那么x=0時,t=0;x=a時t=л/2,因此5.得兩切線的斜率為故兩切線為其交點的橫坐標(biāo)為S=

xyo3l1l2–36例6假設(shè)曲線y=1-x2,x軸與y軸在第一象限所圍成的圖形被曲線y=ax2分為面積相等的兩局部，其中a為大于零的常數(shù)，試確定常數(shù)a的值。解求二曲線的交點：由7例7計算由兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積。例8計算由平面圖形的面積所圍成的8元素法一、什么問題可以用定積分解決?(what?)二、如何應(yīng)用定積分解決問題?(how?)9回憶曲邊梯形求面積的問題abxyo一、什么問題可以用定積分解決?101化整為零2以直代曲(以常代變)3積零為整yxoy=f(x)ab..分法越細(xì)，越接近精確值

曲邊梯形的面積f(

i).114取極限yxoy=f(x)令分法無限變細(xì).ab...分法越細(xì)，越接近精確值1化整為零2以直代曲(以常代變)3積零為整

曲邊梯形的面積.f(

i)124取極限yxoy=f(x)令分法無限變細(xì)....分法越細(xì)，越接近精確值1化整為零2以直代曲(以常代變)3積零為整

曲邊梯形的面積.f(

i)S

=.S.ab13若用表示任一小曲邊梯形面積

用來表示任意小區(qū)間

則，

則上的小曲邊梯形的面積：

用左端點x來代替如果表示面積函數(shù)則

或

14abxyo面積元素

15這種分析方法稱為元素法(或微元分析法)16元素法的一般步驟：二、如何應(yīng)用元素法解決問題?17這個方法通常叫做元素法．應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；經(jīng)濟(jì)總量；生產(chǎn)者剩余；消費者剩余。18解兩曲線的交點面積元素選為積分變量191、平行截面面積求立體的體積設(shè)所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),

那么對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),二、立體的體積20xA(x)dV=A(x)dxx.aV以下是幾個例子b21例9.半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。R

oxy22oyRx–RR.例9.半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。23oyRxxy–RR....ytan

問題：還有別的方法嗎？(x,y),截面積A(x)..底圓方程為24oyRx–RR

方法2.半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。25oyRx–RR

方法2ABCD

BCDC....截面積S(y)

(x,y)=2x=ytan

.S(y).半徑為R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成

角的平面所截，得一圓柱楔。求其體積。26

hRxoy–R例10求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。27hRxoxA(x)A(x)V=....–Ry.y底圓方程為28

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺2.旋轉(zhuǎn)體的體積29xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為30解直線方程為113132-3334x=g(y)yx0cd曲邊梯形x=g(y)，x=0,y=c,y=d

繞y軸旋轉(zhuǎn)體體積x=g(y)yx0cd.曲邊梯形x=g(y)，x=0,y=c,y=d

繞y軸旋轉(zhuǎn)體體積x=g(y)yx0cdy....曲邊梯形x=g(y)，x=0,y=c,y=d

繞y軸旋轉(zhuǎn)體體積38abf(x)yx0求旋轉(zhuǎn)體體積—柱殼法曲邊梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞y

軸xdx39xabyx0內(nèi)外表積.dx.dV=2

xf(x)dxf(x)求旋轉(zhuǎn)體體積—柱殼法曲邊梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞y

軸40byx0a.f(x)求旋轉(zhuǎn)體體積—柱殼法曲邊梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞y

軸dV=2

xf(x)dx41byx0a.dV=2

xf(x)dxf(x)求旋轉(zhuǎn)體體積—柱殼法曲邊梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞y

軸420y0xbxadx.dV=2

xf(x)dxf(x)求旋轉(zhuǎn)體體積—柱殼法曲邊梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0繞y

軸43f(x)Yx0bdx0yz.a.dV=2

xf(x)dx4445例13求由拋物線所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積。自己思考！46解體積元素為1447例1548解491650

極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間那么對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為51幾個常見極坐曲線

a

52xyoaa一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。心形線(圓外旋輪線)53xyoa來看動點的慢動作.a一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。心形線(圓外旋輪線)54xyoaa2a來看動點的慢動作.一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。心形線(圓外旋輪線)55xyo2ar=a(1+cos

)0

20

r2aP

r.一圓沿另一圓外緣無滑動地滾動，動圓圓周上任一點所畫出的曲線。心形線(圓外旋輪線)56例.計算心形線所圍圖形的面積.

解:(利用對稱性)57那么該產(chǎn)品的總產(chǎn)量函數(shù)為1.總產(chǎn)量變化率求總產(chǎn)量某產(chǎn)品的總產(chǎn)量Q的變化率是時間t的連續(xù)函數(shù)f(t),即這時Q〔0〕=0，即剛投產(chǎn)時產(chǎn)量為零。三、定積分在經(jīng)濟(jì)中的簡單應(yīng)用582.由邊際函數(shù)求總函數(shù)總本錢函數(shù)C=C(Q),總收益函數(shù)R=R(Q),由微分學(xué)可得邊際本錢函數(shù)MC=邊際收益函數(shù)MR=因此，總本錢函數(shù)可以表示為

總收益函數(shù)總利潤函數(shù)(其中C0為固定本錢)59〔1〕假設(shè)固定本錢C〔0〕=1，求總本錢函數(shù)，總收益函數(shù)，總利潤函數(shù)；〔2〕當(dāng)產(chǎn)量從100臺增加到500臺時，求總本錢與總收益；例1生產(chǎn)某產(chǎn)品x單位〔百臺〕的邊際本錢函數(shù)和邊際收益分別為〔3〕產(chǎn)量為多少時，總利潤最大，最大利潤是多少？60解〔1〕總本錢為固定本錢與可變本錢之和，即總收益函數(shù)注：產(chǎn)量為零時，總收益為零總利潤函數(shù)為61〔2〕當(dāng)產(chǎn)量從100臺增加到500臺時，求總本錢與總收益分別為C〔5〕-C〔1〕=16R〔5〕-R〔1〕=16〔3〕因故x=3時，總利潤取極大值，也是最大值，最大利潤為L〔3〕=5。62例2生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定本錢為50萬元，邊際本錢與邊際收益分別為MC=Q2–14Q+111(萬元/單位〕MR=100–2Q〔萬元/單位〕試確定廠商的最大利潤。解先確定獲得最大利潤的產(chǎn)出Q0.由極值存在的必要條件MC=MR,即Q2–14Q+111=100–2Q解方程可得Q1=1,Q2=