知識(shí)資料數(shù)學(xué)空間解析幾何(四)(新版)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁(yè)/共頁(yè)7（二）兩平面的夾角兩平面的法向量的夾角稱(chēng)為兩平面的夾角（通常指銳角）。設(shè)有平面Ⅱ1,:Alx+B1y＋Clz+D1=0和平面Ⅱ2:A2x+B2y＋C2z+D2=0，則Ⅱ1和Ⅱ2的夾角θ由下式?jīng)Q定：由此可得Ⅱ1與Ⅱ2互相垂直相當(dāng)于A1A2+B1B2+C1CⅡ1與Ⅱ2平行相當(dāng)于空間一點(diǎn)P0（x0，y0，z0）到平面的距離，有以下公式：（三）例題【例1-1-5】求過(guò)三點(diǎn)Ml(2,-1，4)、M2（-l,3，-2）和M3(0,2,3）的平面的方程。由平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面方程為【例1-1-6】求兩平面x-y+2z-6=0,2x+y+z-5＝0的夾角?！窘狻恳?yàn)楣仕髪A角?！纠?-1-7】平行于x軸且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（4,0，-2）和點(diǎn)（2,1,1）的平面方程是【解】由平面平行于x軸知，平面方程中x的系數(shù)為0，故（A）、（B）不準(zhǔn)確。由平面經(jīng)過(guò)兩已知點(diǎn)，知（C）滿(mǎn)意，故選（C）.三、直線（一）空間直線的方程設(shè)空間直線L是平面Ⅱ1:Alx+B1y＋Clz+D1=0和平面Ⅱ2:A2x+B2y＋C2z+D2=0，的交線，則L的方程為。此方程稱(chēng)為空間直線的普通方程。設(shè)直線L過(guò)點(diǎn)M0（x0,y0,z0)，它的一個(gè)方向向量為s=（m,n,p)，則直線L的方程為此方程稱(chēng)為直線的對(duì)稱(chēng)式方程。如設(shè)參數(shù)t如下：此方程組稱(chēng)為直線的參數(shù)式方程。（二）兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角叫做兩直線的夾角（通常指銳角）。設(shè)直線L1：和直線L2:則L1和L2的夾角可由下式?jīng)Q定：由此可得L1和L2互相垂直相當(dāng)于L1和L2平行相當(dāng)于（三）直線與平面的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角稱(chēng)為直線與平面的夾角，通常規(guī)定。設(shè)直線的方程是平面的方程是則直線與平面的夾角φ由下式?jīng)Q定：由此可得直線與平面垂直相當(dāng)于直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于Am+Bn+CP=0（四）例題【例1-1-8】求過(guò)兩點(diǎn)M1(3,-2,1)和M2(-1,0,2)的直線方程?！窘狻咳?（-4,2,1)為直線的方向向量，由直線的對(duì)稱(chēng)式方程得所求直線方程為【解】直線L1和L2的方向向量依次為s1=(1,-4,1)、s2=(2,-2,-1).設(shè)直線L1和L2的夾角為,則所以則L的參數(shù)方程是【解】因?yàn)閮善矫娴慕痪€L與這兩平面的法線向量nl=（1，-1,1),n2=（2，1,1）都垂直，所以直線L的方向向量s可取nlXn2，即由此可知（C）與（D）不準(zhǔn)確。而點(diǎn)（1,1,1）是直線L上的一點(diǎn)，故應(yīng)選（A）。四、二次曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱面（一）二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。例如球面：橢球面：橢圓拋物面：雙曲拋物面：?jiǎn)稳~雙曲面：雙葉雙曲面：注重：以上方程是二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，還應(yīng)該知道它們的各種變形。（二）旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。例如，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為α的圓錐面以x軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)雙曲面已知旋轉(zhuǎn)曲面的母線C的方程為旋轉(zhuǎn)軸為z軸，只要將母線的方程f(y，z）＝0中的y換成，便得曲線c繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程，即同理，可得其他情形的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。（三）柱面平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面，定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線L叫做柱面的母線。例如，以xOy平面上的圓x2+y2＝R2為準(zhǔn)線，平行于z軸的直線為母線的圓柱面以xOy平面上的拋物線y2＝2x為準(zhǔn)線，平行于z軸的直線為母線的拋物柱面在空間直角坐標(biāo)系中，倘若曲面方程F(x,y，z)＝0中，缺少某個(gè)變量，那么該方程普通表示