平面向量復(fù)習(xí)講義兩份

平面向量復(fù)習(xí)一．向量有關(guān)概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。2．零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3．單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。注：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無(wú)傳遞性！（因?yàn)橛?；④三點(diǎn)共線共線；6．相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－?！揪毩?xí)】1、下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______二．向量的表示方法：1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2．符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，，等；3．坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1＋e2。ABABCDEF1、若，如何用，表示？2、下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.3、已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_(kāi)____（答：）；4、在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，且eq\o(AC,\d\fo1()\s\up14(→))＝meq\o(AE,\d\fo1()\s\up14(→))＋neq\o(AF,\d\fo1()\s\up14(→))，其中m，n∈R，則m＋n＝.5、在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，BAD＝60，E為CD中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F，（1）用，表示。（2）求出eq\o(\s\up8(),\s\do1(AE))eq\o(\s\up8(),\s\do1(BD))．四．實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時(shí)，，注意：≠0。五．平面向量的數(shù)量積：1．兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，，垂直。2．平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如【練習(xí)】1、△ABC中，，，，則_________（答：－9）；2、已知，與的夾角為，則等于____（答：1）；3、已知，則等于____（答：）；4、已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_(kāi)___（答：）3．在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。練習(xí)：已知，，且，則向量在向量上的投影為_(kāi)_（答：）4．的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。5．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則：①；②當(dāng)，同向時(shí)，＝，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，＝－；當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量，夾角的計(jì)算公式：；④。1、已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；2、已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，則△ABC為（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不等邊三角形3、已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_________（答：）；六．向量的運(yùn)算：1．幾何運(yùn)算：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。【練習(xí)】1、化簡(jiǎn)：①___；②____；③_____2、若正方形的邊長(zhǎng)為1，，則＝_____2．坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：①向量的加減法運(yùn)算：，。②實(shí)數(shù)與向量的積：。③若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)?！揪毩?xí)】1、設(shè)，且，，則C、D的坐標(biāo)分別是_____2、已知點(diǎn)，，若，則當(dāng)＝____時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上3、已知，，則④平面向量數(shù)量積：。如1、已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值⑤向量的模：。如1、已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____（答：）；2、（2009年廣東卷）一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)．已知成角，且，的大小分別為２和４，則的大小為3、已知共面向量，均為單位向量，它們的夾角兩兩相同，求的值。⑥兩點(diǎn)間的距離：若，則。七．向量的運(yùn)算律：1．交換律：，，；2．結(jié)合律：，；3．分配律：，。練習(xí)：下列命題中：①；②；③；④若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______注：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即，為什么？八．向量平行(共線)的充要條件：＝0。【練習(xí)】1、若向量，當(dāng)＝_____時(shí)與共線且方向相同2、已知，，，且，則x＝______3、設(shè)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線九．向量垂直的充要條件：.1、已知，若，則2、已知向量，且，則的坐標(biāo)是________十一、向量中一些常用的結(jié)論：（1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；（2），特別地，當(dāng)同向或有；當(dāng)反向或有；當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類似).平面向量復(fù)習(xí)講義一．向量有關(guān)概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。2．零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；3．單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；4．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無(wú)傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；6．相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2．符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，，等；3．坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三．平面向量的線性運(yùn)算：（1）向量加法：①三角形法則:（“首尾相接，首尾連”）,如圖，已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作＝，＝，則向量叫做與的和，記作定：a+0-=0+aaa=a,aa當(dāng)向量與不共線時(shí)，+的方向不同向，且|+|<||+||；當(dāng)與同向時(shí)，則+、、同向，且|+|=||+||，當(dāng)與反向時(shí)，若||>||，則+的方向與相同，且|+|=||-||；若||<||，則+的方向與相同，且|+b|=||-||.結(jié)論：②平行四邊形法則:以同一起點(diǎn)的兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，則以公共起點(diǎn)為起點(diǎn)的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)向量就是和向量。③加法的運(yùn)算律1）向量加法的交換律：+=+2）向量加法的結(jié)合律：(+)+=+(+)（2）向量減法：向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差.即：ab=a+(b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.1.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：若b+x=a，則x叫做a與b的差，記作abOabBababOabBabab∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作=a，=b則=ab即ab可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。OABaB’bbbBa+(b)OABaB’bbbBa+(b)ab2用“相反向量”定義法作差向量，ab=a+(b)課堂練習(xí)：1.化簡(jiǎn)：①___；②____；③_____（答：①；②；③）；2.若正方形的邊長(zhǎng)為1，，則＝_____（3）向量數(shù)乘：求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算1．.λa|＝|λ|_|a|_______；2．當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向___相同_；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反____；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0____3．向量數(shù)乘的運(yùn)算律λ(μa)＝_（λμ）a______；(λ＋μ)a＝___λa＋μa__；λ(a＋b)＝__λa＋λb_____。（4）共線向量定理a是一個(gè)非零向量，若存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．（證明三點(diǎn)共線）三點(diǎn)共線共線。注意：(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的`區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，則向量a、b不共線．例1.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e1＋e2我們把不共線的向量e1和e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。向量的夾角:已知兩個(gè)非零向量、，作，，則∠AOB＝，叫向量、的夾角，當(dāng)，、同向，當(dāng)，、反向，當(dāng)，與垂直，記作⊥。例1如圖，在△ABC中，E、F分別為AC、AB的中點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).用方程思想解決平面向量的線性運(yùn)算問(wèn)題：例2如圖所示，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.試用a和b表示向量eq\o(OM,\s\up6(→)).解設(shè)eq\o(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b. 又∵A、M、D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))共線．∴存在實(shí)數(shù)t，使得eq\o(AM,\s\up6(→))＝teq\o(AD,\s\up6(→))，即(m－1)a＋nb＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b)). ∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq\f(1,2)tb.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1＝－t,n＝\f(t,2)))，消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1. 又∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝ma＋nb－eq\f(1,4)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb，eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,4)a＝－eq\f(1,4)a＋b.又∵C、M、B三點(diǎn)共線，∴eq\o(CM,\s\up6(→))與eq\o(CB,\s\up6(→))共線． ∴存在實(shí)數(shù)t1，使得eq\o(CM,\s\up6(→))＝t1eq\o(CB,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))a＋nb＝t1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)a＋b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1,n＝t1))，消去t1得，4m＋n＝1. 由①②得m＝eq\f(1,7)，n＝eq\f(3,7)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,7)a＋eq\f(3,7)b. 課堂練習(xí)：（1）若，則______（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.（答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_(kāi)____（答：）；（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是___（答：0）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若在平面直角坐標(biāo)系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)(2)減法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)(3)數(shù)乘：a＝(x1，y1)（4）向量的坐標(biāo)：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。（5）中點(diǎn)坐標(biāo)：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（6）向量相等：:若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則（7）向量共線或平行：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若，則.題型一求向量的坐標(biāo)OxAy【例題1】如圖所示，若,與軸正方向夾角為30°，求向量的坐標(biāo).OxAy【例題2】的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，為的中點(diǎn)，求向量.題型二由向量相等求參數(shù)的值【例題3】已知向量，若，求的值.題型三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.向量坐標(biāo)運(yùn)算的直接應(yīng)用【例題4】已知平面向量，則向量=（）A.B.C.D.2.利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo)【例題5】已知且,求的坐標(biāo).題型四平面向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算【例題6】(1)若向量，當(dāng)＝_____時(shí)與共線且方向相同（答：2）；（2）已知，，，且，則x＝______（答：4）；（3）設(shè)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線（答：－2或11）平面向量的數(shù)量積（1）兩個(gè)非零向量夾角的概念：已知非零向量ａ與ｂ，作＝ａ，＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角.說(shuō)明：1．當(dāng)θ＝０時(shí)，ａ與ｂ同向；2．當(dāng)時(shí)，ａ與ｂ反向；3．當(dāng)時(shí)，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ；4．注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0≤≤180（2）平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量，它們的夾角是θ，則數(shù)量叫的數(shù)量積，記作，即有=，（０≤θ≤π）.注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。其中是的夾角，叫做向量方向上（方向上）的投影。我們規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，1．a(chǎn)bab=02．當(dāng)a與b同向時(shí)，ab=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，ab=|a||b|.特別的aa=|a|2或|ab|≤|a||b|cos=3．當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；當(dāng)為直角時(shí)，=0.向量的投影：“投影”的概念：作圖定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng)=0時(shí)投影為|b|；