2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-2跟蹤訓(xùn)練：模塊綜合測評

模塊綜合測評

時間：120分鐘滿分：150分

一'選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的)

1.(l+i)l6-(l-i)l6=()

A.—256B.256i

C.0D.256

解析：(l+i),6-(l-i),6=[(l+i)2]8-[(l-i)2]8=(2i)8-(-2i)8=0.

答案：C

2.一質(zhì)點運動的方程為s⑺=5—3巴若該質(zhì)點在時間段[1,1+/力內(nèi)相應(yīng)的平均速

度為一34—6,則該質(zhì)點在f=l時的瞬時速度是()

A.-3B.3

C.6D.-6

解析：r=l時，瞬時速度

v=s'(l)=lim(―3//-6)=-6.故選D.

J/-0

答案：D

3.曲線?r)=sinx+&t在點(0,1)處的切線方程是()

A.x—3y+3=0B.x—2y+2=0

C.2x—y+l=0D.3x—y+1=0

解析：因為.*x)=sinx+e\所以/'(%)=&，+(：05彳，

所以在尤=0處的切線斜率％=/'(0)=1+1=2,

所以》:)=sinx+e',在(0,1)處的切線方程為y-l=2x,即2x—y+l=0.故選C.

答案：C

4.如圖是某年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形，照此規(guī)

律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的的圖形是()

ABCD

解析：觀察圖形可知，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是A選項中的圖形.

答案：A

5.已知復(fù)數(shù)zi=2+i,Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x=l上，且滿足Trz2是純

虛數(shù)，則復(fù)數(shù)Z2等于()

A.l-2iB.l+2i

C.2-iD.2+i

解析：由zi=2+i得zi=2—i.由Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x=l上，可設(shè)Z2

=14-M(Z?GR),則》rz2=(2—i)(l+〃)=2+8+(2/?—l)i.由》i-Z2為純虛數(shù)得2+Z?

=0,且%一1#0,解得b=-2,故Z2=l-2i.

答案：A

12

6.已知a<0,函數(shù),外幻=加+￡111%,且/'(1)的最小值是一12,則實數(shù)a的值為

()

A.2B.-2

C.4D.-4

12124

解析：/'。)=3加+—,所以/'(l)=3a+—2—12,即。+-2—4.又aVO,有a

axaG-

44

+一<—4,所以。+-=-4,故a=-2.

aa

答案：B

解析：_/U)=*+cosx,(九)=gx—sinx,令g(九)=f(x),則g(x)為奇函數(shù),

排除B,D：由g'(x)=；—cosx知g(x)在y軸右側(cè)先單調(diào)遞減，排除C.故選A.

答案:A

-J3

8.我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三條邊的距離之和為定值尊，

類比上述結(jié)論可得，在棱長為a的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為定值

（）

A.當(dāng)aB.乎a

C.坐aD坐a

解析：正四面體內(nèi)任一點與四個面組成四個三■?棱錐，它們的體積之和為正四面體

的體積.設(shè)該點到四個面的距離分別為力1,hi,例，加，由于每個面的面積均為號-

CT,正四面體的體積為番/，則有;X乎”2（加+〃2+63+。4）=杏。3,得歷+比+自

+/Z4=^a.

答案:A

9.設(shè)a,匕是兩個實數(shù)，給出下列條件：

@a+b>l；②a+/?=2；③a+b>2；④/+〃>2；⑤

其中能推出“a,b中至少有一個大于1”的條件是（）

A.②③B.①②③

C.③D.③④⑤

1?

解析：若a=1,b=g則a+〃>l,但b<1,故①推不出；若。=/?=1,

則a+Z?=2,故②推不出；若。=-2,b=~3,則/+〃>2,故④推不出；若a

=-2,b=~3,則必>1,故⑤推不出；對于③，若a+0>2,則a,b中至少有

一個大于1.可用反證法證明：假設(shè)aWl且。W1,則a+0W2,與a+8>2矛盾，

因此假設(shè)不成立，故a,萬中至少有一個大于1.故選C.

答案：C

10.把一段長為12cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個

正三角形面積之和的最小值是（）

A.^^cm2B.4cm2

C.3^/2cm2D.2小cm2

解析：設(shè)一段為xcm,則另一段為(12—x)cm(0V%V12),

則小S(X)=E1XG(元}\X苧小+?51義(〔了12—}*苧A/3

一，小，48、

所以SW=7\9x-3j-

令S'(x)=0,得x=6,

當(dāng)(0,6)時,S'(x)<0,

當(dāng)(6,12)時，S'(x)>0,

所以當(dāng)x=6時，S(x)最小.

所以S=乎，x/x6?一lX6+16)=2，5(cm2).故選D.

答案：D

11.若不等式2xlnf+or—3對尤6(0,+8)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍

是()

A.(―0°,0)B.(—8,4]

C.(0,+8)D.[4,+0°)

33

解析：由2xlnf+ax—3,得aW21nx+x+j設(shè)/"x)=21nx+x+3x>0),

(x+3)(尤—1)

則力'(x)=------3----2.當(dāng)xe(0,l)時，h'(x)<0,函數(shù)//(x)單調(diào)遞減；當(dāng)XW(1,

+8)時，h'(%)>0,函數(shù)/z(x)單調(diào)遞增，所以力。1皿=/如口二人所以aW/?(X)min=

4故選B.

答案：B

12.設(shè)大冷=￥+砧2+5尤+6在區(qū)間”,3]上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

()

A.[―A/5,+0°)

B.(―00,—3]

C.(—8,—3]“一小，+8)

D.［一?。?/p>

解析：/'(AOnf+Ztu+S,若兀r)在［1,3］上為單調(diào)函數(shù)且單調(diào)遞增，則xG［l,3］時，

f+Zor+SNO恒成立，即2a2—Q+9，而xG［1,3］時，x+122小，所以一j+J

W—2小，所以2a2—2小，。2一小，若火x)在［1,3］上單調(diào)遞減，則xC［l,3］時，

f+2以+5<0恒成立，即2aW—卜+丹，而x￡［1,3］時，記％(x)=x+；,/?max=/?(1)

=6,所以一(x+1^2—6,所以2aW—6,aW—3,所以a的取值范圍是(一8,—

3)U［—小，+°°),故選C.

答案：C

二'填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)

13.設(shè)i為虛數(shù)單位，若2+ai=b—3i(a,b^R),則a+bi=.

解析：由2+ai=/?-3i(a,〃WR),得。=一3,b=2,則a+Z?i=-3+2i.

答案：一3+2i

x+1,—IWJVVO,

14.函數(shù)/)=￡0&Q的圖象與直線x=l及x軸所圍成的封閉圖形

的面積為.

解析：由題意知所求面積為

?()rl

r

(JC+1)CIJC+e*dx=

J—1Jo

(}N+1)L+e1：=一(十—l)+(e—l)=e—十.

答案：e—1

15.已知函數(shù)_/U)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)xd(—8,0)時，寅心一^'(x)V0,

寸［/log25),7的+,|丫?玄日/用“一”

在m—"-1'k—log，59則〃’卜的大小關(guān)系zc_______(用V

ln2

連接).

解析：設(shè)g(X)=A；,則g(x)=--------2-----.

人人

因為當(dāng)xW(—8,0)時，j{x)-xf'(x)<0,

所以當(dāng)xW(—8,0)時，g'(%)>0,g(x)單調(diào)遞增，

而函數(shù)人尤)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以g(x)在R上單調(diào)遞增.

因為In1<V3<log25,

所以g(ln，Vg(小)Vg(log25),

所以n<.m<k.

答案：n<m<k

16.若直線/與曲線C滿足下列兩個條件：

⑴直線/在點P(xo,yo)處與曲線C相切；(2)曲線。在點P附近位于直線I的兩側(cè)，

則稱直線/在點尸處“切過”曲線C

下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號).

①直線/：y=0在點P(0,0)處“切過”曲線C：尸旦

②直線/：x=T在點尸(一1,0)處“切過”曲線C：y=(x+l)2；

③直線/：y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C：y=sinx；

④直線/：y=x在點P(0,0)處“切過”曲線C：y=tanx；

⑤直線/：y=x-1在點尸(1,0)處“切過”曲線C：y=\nx.

解析：對于①，y'=3吐y'|.r=o=O,所以/：y=0是曲線C：)>=/在點P(0,0)

處的切線，畫圖可知曲線C：y=%3在點p(o,o)附近位于直線/的兩側(cè)，①正確；對

2

于②，因為y'=2(x+1),y'|,v=-i=0,所以/:x=~\不是曲線C:y=(x+l)

在點P(—1,0)處的切線，②錯誤；對于③，y'=cosx,y'|x=o=l,所以/:y=x

是曲線C:y=sinx在點P(0,0)處的切線，畫圖可知曲線C：)=sinx在點尸(0,0)附

近位于直線/的兩側(cè)，③正確：對于④，y=添公，V1=。=馬幣=1，所以/：

y=x是曲線C:y=tanx在點尸(0,0)處的切線，畫圖可知曲線C:y=tanx在點尸(0,0)

附近位于直線/的兩側(cè)，④正確；對于⑤，yf=：,k=i=l,所以/:y=x—1

是曲線C:y=lnX在點P(l,0)處的切線.令〃(x)=x-l—Inx(x>0),可得〃'(x)

1元—1

=1--=-^-,當(dāng)OVxVl時，h'(X)<0,當(dāng)X>1時，h'(X)>0,所以/?(X)min=

/z(l)=O,故x-ieinx,可知曲線C:y=lnx在點P(1,O)附近位于直線/的下側(cè)，

⑤錯誤.

答案：①③④

三'解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟)

17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)外)=/一初一1.

⑴若火x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實數(shù)。的取值范圍；

⑵是否存在實數(shù)a,使?r)在(-1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若

不存在，說明理由.

解析：⑴由已知/'(x)=3/一a.

因為兀r)在(一8,+8)上是增函數(shù)，

所以，(x)=3/—在(-8,+8)上恒成立.

即對xWR恒成立.

因為3/20,所以只要aWO.

又因為a=0時，f。)=3/?0,

所以人幻二%3—1在R上是增函數(shù)，

所以aWO.即a的取值范圍為(-8,0].

(2)由/'(x)=3f—aW0在上恒成立.

所以4Z23X2在上恒成立.

因為一IVxVl,所以3/V3,只需a23.

當(dāng)a=3時，/'(x)=3(f-l),在xG(—l,l)上，

f(x)<0,即/U)在(一1,1)上為減函數(shù)，

所以a23.故存在實數(shù)a的取值范圍為[3,+~),

使;(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.

18.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)z滿足回=啦，z2的虛部是2.

⑴求復(fù)數(shù)z；

(2)設(shè)z,z2,z—z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點分別為A,B,C,求AABC的面積.

解析：(1)設(shè)z=a+/?i(a,86R),則z2=q2—32+24/7],由題意得/+扶=2且2出?

=2,解得a=/?=l或a=/?=-1,所以z=l+i或z=-1—i.

(2)當(dāng)z=l+i時，z2=2i,z—z2=1—i,

所以4(1,1),5(0,2),C(l,-1),

所以SAA8c=L

當(dāng)z=-1—i時，z2=2i,z—z2=—1—3i,

所以4-1,-1),8(0,2),C(-l,-3),

所以S^ABC=1.

綜上，△ABC的面積為1.

19.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)4x)=—i)x(x￡R),其中〃z＞0.

(1)當(dāng)〃z=l時，求曲線y=/(x)在點(1,(1))處的切線的斜率;

⑵求函數(shù)次x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

解析：(1)當(dāng)m=\時，y(x)=-l^+x2,

f'(x)=-f+2x,故，(1)=1.

所以曲線y=?X)在點(1,11))處的切線的斜率為1.

(2)f(x)=_j?+lx+m2-1.

令/'(X)=O,解得X=1—機或X=l+"2.

因為機＞0,所以"2.

當(dāng)無變化時，f(x),/(x)的變化情況如下表：

X(一°°,1—m)1—m(1—m,1+機)1+m(1+m,+°°)

f'W—0+0—

於)極小值極大值

所以犬幻在(?一8,1—⑼，(1+m,+8)上是減函數(shù)，在(1—機,1+加)上是增函數(shù).

函數(shù)?r)在x=i一加處取得極小值yy—㈤，

21

且.*］一機)=.亨"+nr—y

函數(shù)兀￥)在X=1+"2處取得極大值7(1+m)，

21

且11+機)=§"戶+機2-,

20.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)“x)=lnx+ln(2—x)+ax(a＞。).

(1)當(dāng)a=l時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若/U)在(0,1］上的最大值為:，求。的值.

解析：函數(shù)./U)的定義域為(0,2),

/㈤+士+。

-f+2

⑴當(dāng)。=1時，f(Mg二*),令/'(x)=。，得當(dāng)OVxV也時，f'(x)>

0;當(dāng)啦VxV2時，/'(x)VO.所以次x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,乖,單調(diào)遞減區(qū)間

為他,2).

2—2x

⑵當(dāng)XG(O,1］時，/(x)=~TL；-+a>0即7U)在(0,1］上單調(diào)遞增，故?r)在(0,1］

人I441,

上的最大值為/(l)=a,因此。=；.

21.(本小題滿分12分)(1)在Rtz^ABC中，ABLAC,ADL8C于。，求證：/=

_L,_L

AB-AC2i

⑵類比(1)中的結(jié)論，在四面體ABC。中，你能得到怎樣的猜想？并說明理由.

解析：(1)證明：如圖⑴所示，由射影定理可知，

AD1=BDDC,AB1=BDBC,

AC2=BCDC,

.1_1_BC?_Be。

*DC=BD-BC-DC-BC=AB2-AC2-

又BC2=AB2+AC2,

.J__A4+AC2__1_J_

,,訪=府衣=而+苑?

(2)猜想：在四面體ABC。中，若A3,AC,AO兩兩垂直，且AEJ"平面BC。于E,

nlJ____1,1,1

AE^~AB2+AC-AD2-

A

圖⑵

證明：如圖⑵所示，

連接BE并延長交CO于￡連接AF.

"：AB±AC,ABA.AD,AC^AD=A,

■平面ACD

又AFU平面ACO,：.AB±AF.

在RtAAB/*中，AE-LBF,，彳區(qū)=彳屏+彳尸.

在RtZ\AC￡>中，A