多項(xiàng)式理論在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用-畢業(yè)設(shè)計(jì)論文正稿

.①比較等式兩端對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù),得方程組上面=4\*GB3④的同是原式常數(shù)項(xiàng)的因數(shù),因此和的值可能有下面四組.或或或?qū)⒋?3\*GB3③式得=5\*GB3⑤將=1\*GB3①、=5\*GB3⑤聯(lián)立,解得.但是不滿足=2\*GB3②式,因此不是方程的解.將代入=3\*GB3③,得=6\*GB3⑥將=1\*GB3①、=6\*GB3⑥聯(lián)立,解得.并且滿足=2\*GB3②,因此是方程組的解.所以待定系數(shù)法比較簡(jiǎn)單,也容易理解,但會(huì)涉及到解多個(gè)方程組,計(jì)算量往往會(huì)加大.只有在分解因式前先觀察最高次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)系數(shù),再找出多項(xiàng)式的所有有理根,才能有效降低待定系數(shù)法的難度.2.3分離重因式法設(shè)有典型分解式,若,有且不能被整除.利用最大公因式法得.令比較上述有關(guān)式子可知.上述意思是若用除以,則得商是一個(gè)與具有完全相同的不可約因式而沒(méi)有重因式的多項(xiàng)式.由此得思想：若將能分解的話,便知的不可約因式,再確定每個(gè)不可約因式在的重?cái)?shù)〔作帶余除法直至不能整除例5在有理數(shù)域上分解多項(xiàng)式.解第一步：求,第二步：求,第三步：由帶余除法得：第四步：分解：第五步：確定每個(gè)因數(shù)的重?cái)?shù),︳,分離重因式法是線性代數(shù)中的一種基本方法,用途十分廣泛,但它必須建立在多項(xiàng)式有重因式的基礎(chǔ)上,否則就無(wú)法使用.因式分解是一項(xiàng)重要的基本技能訓(xùn)練,在分式運(yùn)算,解方程和各種恒等變換中都要經(jīng)常用到因式分解,所以對(duì)因式分解我們應(yīng)給予足夠重視.3一元高次方程定理2設(shè)中次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域C中有個(gè)根則根與系數(shù)的關(guān)系是定理3〔代數(shù)基本定理任何次多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上至少有一個(gè)根.定理4若實(shí)數(shù)多項(xiàng)式有一個(gè)非實(shí)的復(fù)數(shù)根,那么的共軛根也是的根,并且與有同一重?cái)?shù).換句話說(shuō),實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的非實(shí)的復(fù)數(shù)根兩兩成對(duì).3.1已知方程的所有的根,求方程.例6求所有以有理數(shù)為根的方程解利用根與系數(shù)的關(guān)系知滿足〔=1\*romani若<或>,由=3\*GB3③知,代入=1\*GB3①得〔或〔=2\*romanii若,但,由=2\*GB3②得,代入=1\*GB3①得,顯然,是方程的根；〔=3\*romaniii若均不為0,由=3\*GB3③得代入=1\*GB3①=2\*GB3②得這個(gè)方程有且僅有一個(gè)有理根,從而,.顯然有根1和重根.綜上所述,所求方程為或或例7求有單根與以及二重根的四次多項(xiàng)式.解由根與系數(shù)的關(guān)系知：,,,.因此所求多項(xiàng)式是或〔.3.2已知方程的部分根,求解方程.例8已知方程有一個(gè)根是,解此方程.解因?yàn)閷?shí)系數(shù)方程的虛根成對(duì)出現(xiàn),故也是上述方程的根,由代數(shù)基本定理可知此方程有個(gè)根,設(shè)此方程其余兩根為、,由根與系數(shù)的關(guān)系得此題還可用綜合除法求得是所給方程的二重根,然后再利用實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的非實(shí)復(fù)根兩兩成對(duì)理論求出方程的另一根.3.3已知方程組,求方程組的解.形如方程組其中,都是一元高次方程,求方程的解.對(duì)于這類(lèi)題,我們可以考慮從方程組的公共根出發(fā),利用輾轉(zhuǎn)相除法求和的最大公因式,再令其等于零.例9解方程組解令,,對(duì),施行輾轉(zhuǎn)相除法,求得,令,得.即原方程組的解是.4多項(xiàng)式的恒等定理5〔多項(xiàng)式恒等定理數(shù)域F上的兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的充要條件是它們的次數(shù)相同,且同次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等即,且例10對(duì)于任意的實(shí)數(shù),不等式恒成立,求滿足條件的.解要使上述不等式成立,只要是一個(gè)實(shí)數(shù)式的平方加上一個(gè)正數(shù),于是令則由定理5知所以當(dāng),且時(shí),原不等式恒成立.例11若為任意實(shí)數(shù),證：直線系必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)證明將上述直線系轉(zhuǎn)化成關(guān)于的恒等式此恒等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)是恒成立的,所以由定理5知解得故直線系必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)〔1,-2.定理6如果數(shù)域上有兩個(gè)次數(shù)不大于的多項(xiàng)式和,對(duì)于的個(gè)不同的值都有相等的值,那么它們恒等,即.例12求證其中為互不相等的復(fù)數(shù).證明令它是一個(gè)二次式,但當(dāng)分別以代入時(shí)有且,根據(jù)定理6,有定理7〔拉格朗日插值恒等式對(duì)于給定數(shù)域F里的個(gè)互不相同的數(shù)以及個(gè)不全為0的數(shù),總有一個(gè)次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式使得且這個(gè)多項(xiàng)式可以唯一表示為例13求一個(gè)次多項(xiàng)式,使它在處與函數(shù)有相同的值.解由題意得,,,由定理得.例14已知函數(shù),滿足,,那么應(yīng)滿足解由拉格朗日插值多項(xiàng)式有從而又,5證明一類(lèi)數(shù)是無(wú)理數(shù)在初等代數(shù)中,我們是利用有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的區(qū)別來(lái)證明無(wú)理數(shù)的〔見(jiàn)證法二這里我們可以考慮用多項(xiàng)式理論中的方法來(lái)解決.我們可以先構(gòu)造等式,然后利用艾森斯坦判斷法或待定系數(shù)法證明其在有理數(shù)域上的不可約性,說(shuō)明多項(xiàng)式?jīng)]有有理根,但它又是多項(xiàng)式的根,從而得出這個(gè)數(shù)是無(wú)理數(shù).定理8若,是個(gè)不相同的素?cái)?shù),而是一個(gè)大于1的整數(shù),那么是一個(gè)無(wú)理數(shù).證明設(shè)令則,,取素?cái)?shù),,|,但由艾森斯坦判斷法知在有理數(shù)域上不可約,故無(wú)有理根,但是的根,從而只能是無(wú)理數(shù).例15證明是無(wú)理數(shù).證法1設(shè)令,則,,.令,則,|,.故在有理數(shù)域上不可約,即無(wú)有理根,但是的根,從而只能是無(wú)理數(shù).證法2設(shè)不是無(wú)理數(shù),而是有理數(shù).既然是有理數(shù),它必然可以寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比的形式：,再假設(shè)和沒(méi)有公因數(shù)可以約,所以可以認(rèn)為為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),即最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)形式.把兩邊平方得即.由于是偶數(shù),必定是偶數(shù),設(shè),由得.同理必然也為偶數(shù).設(shè),既然和都是偶數(shù),它們必定有公因數(shù),這與前面假設(shè)是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)矛盾.這個(gè)矛盾是由是有理數(shù)引起的.因此是無(wú)理數(shù).例16證明是無(wú)理數(shù).證明設(shè)令,為了能夠利用艾森斯坦判斷法,需把變形,為此令,故.取,,|,|,|,由艾森斯坦判斷法知,在有理數(shù)域上不可約.即無(wú)有理根,但是的根,所以只能是無(wú)理數(shù).例17證明是無(wú)理數(shù).證明設(shè)兩邊平方得即.令,取,,︱.由艾森斯坦判斷法知,在有理數(shù)域上不可約.即無(wú)有理根,但是的根,所以只能是無(wú)理數(shù).6結(jié)術(shù)語(yǔ)本論文主要是運(yùn)用多項(xiàng)式理論知識(shí)對(duì)初等數(shù)學(xué)中的若干問(wèn)題的進(jìn)一步探討,通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式的理論和方法的介紹以及這些理論和方法在例題中的應(yīng)用,我們看到在初等數(shù)學(xué)中我們認(rèn)為棘手或無(wú)法解決的問(wèn)題,用高等代數(shù)中的方法,得到了很好地解決.從而看出多項(xiàng)式理論在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是十分廣泛的.對(duì)于教師來(lái)說(shuō),掌握相當(dāng)程度的高等數(shù)學(xué)知識(shí)并在教學(xué)中適當(dāng)?shù)丶右詽B透并運(yùn)用,對(duì)提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量是非常有益的,而且只有用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)、觀點(diǎn)和方法以一種居高臨下的態(tài)勢(shì),審視初等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容,才能使初等數(shù)學(xué)的教學(xué)達(dá)到理想的境界.對(duì)于〔特別是學(xué)有余力的學(xué)生來(lái)說(shuō),體會(huì)并掌握解題的不同方法,不僅可以提高學(xué)生快速解題的能力,還有助于學(xué)生思維的發(fā)展,從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情.參考文獻(xiàn)[1]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2007:38-80.[2]李長(zhǎng)明,周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京:高等教育出版社,1995:69-82.[3]張宗標(biāo),徐偉.一類(lèi)一元多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式的解法[J].考試周刊,2008,12<5>:41.[4]楊琴.關(guān)于一元多項(xiàng)式的因式分解[J].XX民族大學(xué)學(xué)報(bào)<教育科學(xué)版>,2010,30<5>:14-17.[5]XX,高等代數(shù)同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解[M].XX:中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社,2009:51-65.[6]潘鐵.淺談應(yīng)用多項(xiàng)式的拉格朗日插值公式解題[J].中等數(shù)學(xué),2010,8<10>:7-10.[7]張同君,陳傳理.競(jìng)賽數(shù)學(xué)解題研究[M].北京:高等教育出版社,2006:69-73.[8]唐劍.淺談高師高等代數(shù)課程對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用[J].中國(guó)西部科技,2011,10<34>:72-73.[9]OrueHalilandPhillipsMG,ExplicitfactorizationoftheVanderm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