2023-2024學(xué)年湖南省永州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年湖南省永州市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，a2aA.8 B.4 C.2 D.12.直線l的方程為y?3x+2024A.30° B.45° C.60°3.橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，長軸長等于4，離心率e=12，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A.x24+y23=1 4.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A(1,2,3)，點(diǎn)A.5 B.22 C.5.拋物線C：y2=2px(p>0)上的點(diǎn)A.1 B.2 C.3 6.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)E為正方形ABB1AA.255

B.52

7.雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為A.y=±2x B.y=8.各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=?1，a3∈A.23×(4506?1) 二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知平面α與平面β平行，若平面α的一個(gè)法向量為n=(?1,2A.(1,?2,3) B.10.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀诺男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖1，圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，如圖2，圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)為數(shù)列{an}，正方形數(shù)為數(shù)列{bn}A.a5=15 B.b5=2011.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA.若D1E/?/平面ABB1A1，則E∈CC1

B.不存在點(diǎn)E，使得CE⊥AD1

12.已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，過其右焦點(diǎn)F2(4,0A.|PQ|的最小值為定值

B.若t=32，則||PF1|?|PF2||=3

C.若t=2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知a=(2,2,1)，14.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S2=?3，15.已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，若在直線l：y16.(x?m)2a2+(y?n)2b2=1表示以點(diǎn)(m,n)為中心的橢圓，如圖所示，F(xiàn)(0,?1)

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

△ABC的頂點(diǎn)是A(0,0)，B(?1,?1)，C(318.(本小題12分)

如圖，在多面體ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD⊥DC，AF/?/DE，AB//DC，A19.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，a1=2，a3是a1與a7的等比中項(xiàng)．

(1)求{an}20.(本小題12分)

如圖，矩形BCC1B1是圓柱OO1的一個(gè)軸截面，O1、O分別為上下底面的圓心，E為CO1的中點(diǎn)，BC=8，BB1=4．

(1)當(dāng)點(diǎn)A為弧BC21.(本小題12分)

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn+1=an2+n，數(shù)列{bn}滿足bn=(22.(本小題12分)

已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，|AB|=1，圓M過點(diǎn)A，B且與直線y+12=0相切，記圓心M的軌跡為曲線Γ．

(1)求曲線Γ的方程；

(2)過曲線Γ上的動(dòng)點(diǎn)P作圓G：x2+(y?t)2答案和解析1.【答案】B

【解析】解：正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，a2a6=16，

則a42.【答案】C

【解析】解：由于直線l的方程為y?3x+2024=0，

所以直線的傾斜角α滿足：k=tanα=3，3.【答案】A

【解析】解：由于e=ca=12，故a=2c，由于2a=4，故a=2；

c=4.【答案】C

【解析】解：由于點(diǎn)C是點(diǎn)B(2,0,1)關(guān)于z軸的對稱點(diǎn)，

故C(?2,0,1)；

由點(diǎn)5.【答案】D

【解析】解：拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為x=?p2，拋物線C：y2=2px(p>06.【答案】D

【解析】解：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，取A1B1中點(diǎn)G，連接FG，EG，BG，

由點(diǎn)E為正方形ABB1A1的中心，得EG/?/BB1，EG=12BB1，

而BB1//CC1，BB1=CC1，于是EG//CC1，EG=12CC1，

由F為棱CC7.【答案】B

【解析】解：設(shè)直線BF1的方程為y=bc(x+c)，因?yàn)镼P=2PE1，

可得yP?yQ=2(?yP)，即yQ=3yP，

雙曲線的漸近線的方程為y=±bax，

聯(lián)立y=bc(x+c)y=bax，可得x=acc?a，y8.【答案】D

【解析】解：由2an+2an+1+an+3an=0，可得2anan+2+an+1an+3=0，即有2a1a3+a2a4=0，

設(shè)bn=anan+2，則bn+1=?2bn，b9.【答案】AC【解析】解：∵平面α與平面β平行，平面α的一個(gè)法向量為n=(?1,2,?3)，

則平面β的法向量是λn，(λ≠0)，

?n=(1,?2,3)，故A正確；

?10.【答案】AC【解析】解：根據(jù)三角形數(shù)可知，an?an?1=n(n≥2)，

則a2?a1=2，a3?a2=3，…，an?an?1=n，

累加得，an?a1=2+3+4+…+n，

∴a11.【答案】AD【解析】解：對于選項(xiàng)A：

因?yàn)槠矫鍯DD1C1//平面ABB1A1，

若D1E/?/平面ABB1A1，則E∈平面CDD1C1，

又因?yàn)镋∈平面BCC1B1，且平面∩平面BCC1B1=CC1，所以E∈CC1故A正確；

對于選項(xiàng)B：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

因?yàn)锳B=8，AD=6，點(diǎn)E是正方形BCC1B1內(nèi)部或邊界上異于C的一點(diǎn)，

所以D(0,0,0)，A(6,0,0)，B(6,8,0)，C(0,8,0)，D1(0,0,6)，

A1(6,0,6)，B1(6,8,6)，C1(0,8,6)，E(a,8,b)，0≤a，b≤6，但a，b不同時(shí)為0，

CE=(a,12.【答案】BD【解析】解：因?yàn)椤鱌AF2的內(nèi)切圓與邊AF2相切于點(diǎn)B，如圖，M，N為另外兩個(gè)切點(diǎn)，

由切線長定理可知|PM|=|PN|，|F2B|=|F2N|，|AM|=|AB|，

因?yàn)锳在y軸上，所以|AF1|=|AF2|，

所以|PF1|?|PF2|=|PM|+|AM|+|AF1|?(|PN|+|F2N|)

=|AM|+|AF1|?|F2N|=|AB|+|AF2|?|F2B|=2|AB|=2t，

所以a=t，c=4，b2=16?t2，

雙曲線E的方程為：x2t2?y216?t2=1，

對于A，因?yàn)橹本€l與雙曲線的右支交于P、Q兩點(diǎn)，

則當(dāng)PQ垂直于x軸時(shí)，|PQ|最短且最小值為2b2a=2(16?t2)t，

所以|PQ|的最小值不是定值，故A錯(cuò)誤；

對于B，若t=32，則a=32，所以||PF1|?|PF2||=2a=3，故B正確；

對于C，若t=2，則a=2，c=4，b2=12，雙曲線的方程為x24?y212=1，

直線13.【答案】2【解析】解：由于a=(2,2,1)，b=(114.【答案】3

【解析】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，S2，S4?S2，S6?S4，……也成等差數(shù)列，

其首項(xiàng)S2=?3，第二項(xiàng)S4?S2=(?2)?(?3)15.【答案】[?【解析】解：當(dāng)a=0時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，∴a≠0，

如圖，△PAB為直角三角形，有三種情況：

當(dāng)A是直角頂點(diǎn)時(shí)，直線上有唯一點(diǎn)P1滿足條件，

當(dāng)B是直角頂點(diǎn)時(shí)，直線上有唯一點(diǎn)P3滿足條件，

當(dāng)P2是直角頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)至少有一個(gè)點(diǎn)P滿足條件，

由直徑對的圓周角是直角，知直線和以AB為直徑的圓有公共點(diǎn)即可，

∴|?5a|a2+1≤2，解得?2≤a≤2，

∵a≠16.【答案】6【解析】解：由題意將橢圓C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2，

得到y(tǒng)22+x2=1為動(dòng)點(diǎn)B的軌跡方程，

設(shè)與已知直線平行的直線為y=?x+t，

聯(lián)立得y22+x2=1y=?x+t，化簡得3x2?2t17.【答案】解：(1)∵A(0,0)，B(?1,?1)，C(3,1)，

∴kAB=?1?0?1?0=1，

∴邊AB上的高斜率為?1，過C(3,1)，

∴【解析】(1)根據(jù)題意，計(jì)算kAB=1，邊AB上的高斜率為?1，過C(3,1)，利用點(diǎn)斜式計(jì)算，最后整理成一般式即可；

(2)設(shè)△AB18.【答案】解：(1)證明：取CD中點(diǎn)O，連接BO，HO，

∵在多面體ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD⊥DC，AF/?/DE，AB//DC，

AB=AD=2，AF=3，DE=DC=4，H為CE的中點(diǎn)，

∴BO//AD，HO//DE，

∵AD∩DE=D，BO∩HO=O，∴平面ADEF/【解析】(1)取CD中點(diǎn)O，連接BO，HO，推導(dǎo)出BO/?/AD，HO//DE，從而平面ADEF//平面BOH，由此能證明BH//19.【答案】解：(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，

則a3=2+2d，a7=2+6d，

∵a3是a1與a7的等比中項(xiàng)，

∴a32=a1a7，即(2+2d)2=2(2+6d)【解析】(1)先設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于公差d的方程，解出d的值，即可計(jì)算出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(20.【答案】(1)證明：結(jié)合題意：易知底面是以O(shè)為圓心，以BC為直徑的半圓，

因?yàn)辄c(diǎn)A為弧BC的中點(diǎn)，

所以AO⊥BC，

因?yàn)榫匦蜝CC1B1是圓柱OO1的一個(gè)軸截面，

所以BB1⊥面ABC，

因?yàn)镺A?面ABC，

所以BB1⊥AO，

因?yàn)锽B1∩BC=B，且BB1，BC?平面BB1C1C1，

所以AO⊥平面BB1C1C.

(2)解：取弧BC的中點(diǎn)A1，

連接OA1，

由(1)可知：A1O⊥平面BB1C1C，且易得A1O⊥O1O，O1O⊥BC，A1O⊥BC，

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C，O【解析】(1)結(jié)合線面垂直的判定定理證明．

(2)先以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)C，OA1，OO121.【答案】解：(1)由題意：2Sn+1=an2+n，①

當(dāng)n=1時(shí)，有2a1+1=a12+1，解得a1=2，(a1=0舍去)，

當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn?1+1=an?12+(n?1)，②

由①?②得：2an=an2?an?12+1，即(an?1)2=an?12，

因?yàn)閍n>0，所以an?1=±an?1，

當(dāng)an?1=?an?【解析】(1)根據(jù)an=S1,n=122.【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由圓M過點(diǎn)A，B，得|MA|=|MB|，

又圓M與直線y+12=0相切，則|MB|=|y+12|，

連接OM，而O是AB的中